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2015.3丰台区高三数学第二学期统一练习(一)(理科)


丰台区 2014—2015 学年度第二学期统一练习(一) 高三数学(理科)
第一部分 (选择题 共 40 分)

2015.3

选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内,复数 (A) (1, ?1)

7?i 对应的点的坐标为 3 ? 4i
(B) (?1,1) (C) (

17 , ?1) 25

(D) (

17 , ?1) 5

2.在等比数列 {an } 中, a3 ? a4 ? 4 , a2 ? 2 ,则公比 q 等于 (A) -2 3.已知双曲线 (B) 1 或-2 (C) 1 (D)1 或 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3x ,它的一个焦点坐标为(2,0) ,则 a 2 b2

双曲线的方程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 2 6

(B)

x2 y 2 ? ?1 6 2

(C) x ?
2

y2 ?1 3

(D)

x2 ? y2 ? 1 3

4.当 n=5 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值是 (A) 7 (B)10 (C) 11

(D) 16

3

3
正视图

1

3
侧视图

俯视图

5.在极坐标系中,曲线 ? ? 6? cos? ? 2? sin ? ? 6 ? 0 与极轴交于 A,B 两点,则 A,B 两点间的距离等
2

于 (A)

3

(B) 2 3

(C) 2 15

(D) 4

6.上图是一个几何体的三视图,则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是 (A) 4 (B) 5 (C) 3 2 (D) 3 3

2015.3 丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 1 页 共 10 页

7.将函数 y ? cos( x ?

1 2

?
6

) 图象向左平移

? 个长度单位,再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一 3

半(纵坐标不变) ,所得图象的函数解析式是 (A) y ? cos( x + (C) y ? cos x

?
6

)

1 x 4 1 ? (D) y ? cos( x ? ) 4 3
(B) y ? cos

8.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,点 B , C 分别在 x 轴和 y 轴非负半轴上,点 A 在第一象限,且

?BAC ? 90? , AB ? AC ? 4 ,那么 O , A 两点间距离的
(A) 最大值是 4 2 ,最小值是 4 (C) 最大值是 4 2 ,最小值是 2 (B) 最大值是 8 ,最小值是 4 (D) 最大值是 8 ,最小值是 2

第二部分 (非选择题 共 110 分)
一、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.定积分

?

?

0

( x ? cos x)dx ? ____.
2 n ) 的展开式中各项二项式系数和是 16,则 n=____,展开式中的常数项是____. x

10.已知二项式 ( x ?

? y ? 4 ? 0, ? 11.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是____. ? x ? y ? 0, ?
12.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x , 如果函数 g ( x) ? f ( x) ? m ( m∈R) 恰有 4 个零点,则 m 的取值范围 是____. 13.如图,AB 是圆 O 的直径,CD 与圆 O 相切于点 D ,AB=8,BC=1,则 CD=____;AD=____. 14.已知平面上的点集 A 及点 P ,在集合 A 内任取一点 Q ,线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到集合 A 的 距 离 , 记 作 d ( P, A) . 如 果 集 合 A={(x, y) | x ? y ? 1(0 ? x ? 1)} , 点 P 的 坐 标 为 (2, 0) , 那 么
A O D

B

C

d ( P, A) ? ____ ; 如 果 点 集 A 所 表 示 的 图 形 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 及 其 内 部 , 那 么 点 集 D ? {P | 0 ? d ( P, A) ? 1} 所表示的图形的面积为____.
二、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题共 13 分)
2015.3 丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 2 页 共 10 页

已知函数 f ( x) ? cos

2

?x
2

? 3 sin

?x
2

cos

?x 1
2 ? 2

(? ? 0) 的最小正周期为 ? .

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的最大值和最小值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

16. (本小题共 13 分) 甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召,决定各购置一辆纯电动汽车.经了解目前市场上销售 的主流纯电动汽车,按续驶里程数 R(单位:公里)可分为三类车型,A:80≤R<150,B:150≤R<250, C:R≥250.甲从 A,B,C 三类车型中挑选,乙从 B,C 两类车型中挑选,甲、乙二人选择各类车型的概 率如下表:
概率 人 甲 乙 车型

A
1 5

B p
1 4

C q
3 4

若甲、乙都选 C 类车型的概率为 (Ⅰ)求 p , q 的值;

3 . 10

(Ⅱ )求甲、乙选择不同车型的概率; (Ⅲ)某市对购买纯电动汽车进行补贴,补贴标准如下表: 车型 补贴金额(万元/辆) A 3 B 4 C 5

记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和 为 X,求 X 的分布列. .

17. (本小题共 14 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为正方形, PA ? 平面 ABCD , PA // BE ,AB=PA=4,BE=2. (Ⅰ)求证: CE //平面 PAD ; P (Ⅱ)求 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值; (Ⅲ)在棱 AB 上是否存在一点 F ,使得 平面 DEF ? 平面 PCE ?如果存在,求 如果不存在,说明理由.

AF 的值; AB

E

A

D

18.(本小题共 13 分) 设函数 f ( x) ? e x ? ax , x ? R .

B

C

2015.3 丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 3 页 共 10 页

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证: f ( x) ? 0 ; (Ⅲ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值.

19.(本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

3 x2 y 2 ,右顶点 A 是抛物线 y 2 ? 8x 的焦点.直线 l : ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如果 AM ? AP ? AQ ,点 M 关于直线 l 的对称点 N 在 y 轴上,求 k 的值.

20.(本小题共 13 分) 如果数列 A :a1 ,a2 ,?,am (m ? Z ,且 m ? 3) ,满足:① ai ? Z ,? ② a1 ? a2 ?

m m ? ai ? (i ? 1, 2, 2 2

, m) ;

? am ? 1,那么称数列 A 为“Ω”数列.

(Ⅰ )已知数列 M :-2,1,3,-1;数列 N :0,1,0,-1,1.试判断数列 M , N 是否为“Ω”数 列; (Ⅱ)是否存在一个等差数列是“Ω”数列?请证明你的结论; (Ⅲ)如果数列 A 是“Ω”数列,求证:数列 A 中必定存在若干项之和为 0.

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

丰台区 2015 年高三年级第二学期数学统一练习(一)



学(理科)参考答案

2015.3 丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 4 页 共 10 页

选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 C 5 B 6 D 7 C 8 A

一、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.

?2 2

10.4,24

11.6 14.1, 6 ? ?

12. (?1, 0)

13.3,

12 10 5

注:第 10,13,14 题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 二、解答题: 15.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? cos
2

?x
2

? 3 sin

?x
2

cos

?x 1
2 ? 2

?

1 ? cos?x 3 1 ? sin ?x ? 2 2 2

?

? 3 1 (x ? ) . sin ?x ? c o ? s x ? s i n? 6 2 2
2?

因为 T ?

?

? ? , ? ? 0 ,所以 ? ? 2 .

因为 f ( x ) ? sin( 2 x ? 所以 ? 1 ? sin( 2 x ?

?
6

), x?R ,

?
6

) ?1.
????????8 分

所以函数 f ( x ) 的最大值为 1,最小值为-1. (Ⅱ)令 2k? ?

(k ? Z ) , 2 6 2 2? ? ? 2 x ? 2k? ? (k ? Z ) , 得 2k? ? 3 3
所以 k? ?

?

? 2x ?

?

? 2k? ?

?

?

3

? x ? k? ?

?

6

(k ? Z ) .

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [ k? ?

?
3

, k? ?

?
6

] (k ? Z ) .????????13 分

16.(本小题共 13 分)

3 ?3 q? ? ?4 10 解: (Ⅰ)因为 ? ?p ? q ? 1 ?1 ? 5 ?
2015.3 丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 5 页 共 10 页

所以 p ?

2 2 ,q ? . 5 5

????????4 分

(Ⅱ )设“甲、乙选择不同车型”为事件 A, 则 P ( A) ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 .

5

5 4

5 4

5

答:所以甲、乙选择不同车型的概率是 3 .

5
(Ⅲ)X 可能取值为 7,8,9,10.

????????7 分

1 1 1 P( X ? 7) ? ? ? , 5 4 20 2 1 2 3 2 P( X ? 9) ? ? ? ? ? ; 5 4 5 4 5
所以 X 的分布列为: X P 7

1 3 2 1 1 P( X ? 8) ? ? ? ? ? , 5 4 5 4 4 2 3 3 P( X ? 10) ? ? ? . 5 4 10
8 9 10

1 20

1 4

2 5

3 10
????????13 分

17.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)设 PA 中点为 G,连结 EG , DG . 因为 PA // BE ,且 PA ? 4 , BE ? 2 , 所以 BE // AG 且 BE ? AG , 所以四边形 BEGA 为平行四边形. 所以 EG // AB ,且 EG ? AB . 因为正方形 ABCD ,所以 CD // AB , CD ? AB , 所以 EG // CD ,且 EG ? CD . 所以四边形 CDGE 为平行四边形. 所以 CE // DG . 因为 DG ? 平面 PAD , CE ? 平面 PAD , 所以 CE //平面 PAD . ????????4 分 (Ⅱ)如图建立空间坐标系,则 B(4,0,0) , C (4,4,0) ,

P

G

E

A

D

B

C

z P

E (4,0,2) , P(0,0, 4) , D(0,4,0) ,
所以 PC ? (4,4, ?4) , PE ? (4,0, ?2) ,
E A D y

PD ? (0,4, ?4) .
B

C

设平面 PCE 的一个法向量为 m ? ( x, y, z) , 所以 ?

x

? ?m ? PC ? 0

?x ? y ? z ? 0 ?? . ? ? m ? PE ? 0 ? 2 x ? z ? 0

2015.3 丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 6 页 共 10 页

?x ?1 ? 令 x ? 1 ,则 ? y ? 1 ,所以 m ? (1,1, 2) . ?z ? 2 ?
设 PD 与平面 PCE 所成角为 ? , 则 sin ? ? cos ? m, PD ? ?

m ? PD PD m

?

?4 3 ? . 6 6 ?4 2

所以 PD 与平面 PCE 所成角的正弦值是

3 . 6

????????9 分

(Ⅲ)依题意,可设 F (a,0,0) ,则 FE ? (4 ? a,0, 2) , DE ? (4, ?4,2) . 设平面 DEF 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,

? ?n ? DE ? 0 ? 2 x ? 2 y ? z ? 0 ?? 则? . ? ? n ? FE ? 0 ?(4 ? a) x ? 2 z ? 0

z P

? x?2 ? a ? 令 x ? 2 ,则 ? y ? , 2 ? ? ?z ? a ? 4
a 所以 n ? (2, , a ? 4) . 2 因为平面 DEF ? 平面 PCE , a 所以 m ? n ? 0 ,即 2 ? ? 2a ? 8 ? 0 , 2 12 12 ? 4 , 点 F ( , 0, 0) . 所以 a ? 5 5 AF 3 ? . 所以 AB 5
18.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? e x ? 2 x , f (0) ? 1 , 所以 f ? ( x) ? ex ? 2 . 因为 f ? (0) ? e0 ? 2 ? ?1 ,即切线的斜率为 ?1 , 所以切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 0) ,即 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 f ? ( x) ? ex ? 2 . 令 f ? ( x) ? 0 ,则 x0 ? ln 2 .

E

A

D y

F B x C

????????14 分

????????4 分

2015.3 丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 7 页 共 10 页

当 x ? (??, ln 2) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (??,ln 2) 上单调递减, 当 x ? (ln 2, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (ln 2, ??) 上单调递增, 所以当 x ? ln 2 时,函数最小值是 f (ln 2) ? eln 2 ? 2ln 2 ? 2 ? 2ln 2 ? 0 . 命题得证. (Ⅲ)因为 f ( x) ? e x ? ax ,所以 f ? ( x) ? ex ? a . 令 f ? ( x) ? 0 ,则 x ? ln a ? 0 . ????????8 分

1 a ?1 ? ? 0, a a 所以 M (a) ? a ? ln a 在 (1, ??) 上单调递增,且 M (1) ? 1 ? ln1 ? 1 ,
当 a ? 1 时,设 M (a) ? a ? ln a ,因为 M ?(a ) ? 1 ? 所以 M (a) ? a ? ln a ? 0 在 (1, ??) 恒成立,即 a ? ln a . 所以当 x ? (0,ln a) , f ? ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,ln a) 上单调递减; 当 x ? (ln a, a) , f ? ( x) ? 0 , f ( x) 在 (ln a, a) 上单调递增. 所以 f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值等于 max{ f (0), f (a)} , 因为 f (0) ? e0 ? a ? 0 ? 1 , f (a ) ? ea ? a 2 , 不妨设 h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a 2 ? 1( a ? 1 ), 所以 h?(a) ? ea ? 2a . 由(Ⅱ)知 h?(a) ? ea ? 2a ? 0 在 (1, ??) 恒成立, 所以 h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a2 ?1 在 (1, ??) 上单调递增. 又因为 h(1) ? e1 ?12 ?1 ? e ? 2 ? 0 , 所以 h(a) ? f (a) ? f (0) ? ea ? a 2 ?1 ? 0 在 (1, ??) 恒成立,即 f (a ) ? f (0) . 所以当 a ? 1 时, f ( x ) 在 [0, a ] 上的最大值为 f (a ) ? ea ? a 2 . 19.(本小题共 14 分) 解: (Ⅰ)抛物线 y 2 ? 8x , 所以焦点坐标为 (2, 0) ,即 A(2, 0) , 所以 a ? 2 . 又因为 e ? ????????13 分

c 3 ? ,所以 c ? 3 . a 2
2015.3 丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 8 页 共 10 页

所以 b ? a ? c ? 1 ,
2 2 2

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

????????4 分

(Ⅱ)设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,因为 AM ? AP ? AQ , A(2, 0) , 所以 AP ? ( x1 ? 2, y1 ) , AQ ? ( x2 ? 2, y2 ) , 所以 AM ? AP ? AQ ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 +y2 ) , 所以 M ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? .

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 2 由? 4 ,得 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 (判别式 ? ? 0 ) , ? y ? k ( x ? 1) ?
得 x1 ? x2 ? 2 ? 即M(

?2k 8k 2 ?2 ?2? 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? , 2 4k 2 +1 4k ? 1 4k ? 1

?2 ?2 k , 2 ). 2 4k ? 1 4k ? 1

设 N (0, y3 ) , 则 MN 中点坐标为 ( 因为 M , N 关于直线 l 对称, 所以 MN 的中点在直线 l 上,

y ?1 ?k , 2 ? 3), 2 4k ? 1 4k ? 1 2

?k y ?1 ? 3 ? k( 2 ? 1) ,解得 y3 ? ?2k ,即 N (0, ?2k ) . 2 4k ? 1 2 4k ? 1 由于 M , N 关于直线 l 对称,所以 M , N 所在直线与直线 l 垂直, ?2k ? (?2k ) 2 2 4 k ? 1 ? k ? ?1 ,解得 k ? ? 所以 . ????????14 分 ?2 2 ?0 4k 2 ? 1
所以 20.(本小题共 13 分) 解: (Ⅰ)数列 M 不是“Ω”数列;数列 N 是“Ω”数列. (Ⅱ)不存在一个等差数列是“Ω”数列. 证明:假设存在等差数列是“Ω”数列, 则由 a1 ? a2 ? ????????2 分

? am ? 1 得 a1 ? am ?

2 ? Z ,与 ai ? Z 矛盾, m
????????7 分

所以假设不成立,即不存在等差数列为“Ω”数列. (Ⅲ)将数列 A 按以下方法重新排列: 设 Sn 为重新排列后所得数列的前 n 项和( n ? Z 且 1 ? n ? m ) , 任取大于 0 的一项作为第一项,则满足 ?

m m ? 1 ? S1 ? , 2 2

2015.3 丰台区高三数学第二学期统一练习(一) (理科)第 9 页 共 10 页

假设当 2 ? n ? m, n ? N 时, ?

m m ? 1 ? Sn ?1 ? 2 2

若 Sn?1 ? 0 ,则任取大于 0 的一项作为第 n 项,可以保证 ?

m m ? 1 ? Sn ? , 2 2

若 Sn?1 ? 0 ,则剩下的项必有 0 或与 S n ?1 异号的一项,否则总和不是 1, 所以取 0 或与 S n ?1 异号的一项作为第 n 项,可以保证 ? 如果按上述排列后存在 Sn ? 0 成立,那么命题得证; 否则 S1 , S2 ,?, Sm 这 m 个整数只能取值区间 [ ? 因为区间 [ ?

m m ? 1 ? Sn ? . 2 2

m m ? 1, ] 内的非 0 整数, 2 2

m m ? 1, ] 内的非 0 整数至多 m-1 个,所以必存在 Si ? S j (1 ? i ? j ? m) , 2 2

那么从第 i ? 1 项到第 j 项之和为 Si ? S j ? 0 ,命题得证. 综上所述,数列 A 中必存在若干项之和为 0. ????????13 分

(若用其他方法解题,请酌情给分)

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