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【高考领航】2017届高三数学(理)大一轮复习课件第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入 第1课时


高三大一轮复习学案

主干回顾 考点研析 素能提升

夯基固源 题组冲关 学科培优

课时规范训练

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第1课时 平面向量的概念及线性运算

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1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念和向量相等的含义. 3.理解向量的几何表示. 4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线 的含义. 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
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1.向量的有关概念及表示方法 名称 向量 零向量 定义 具有 大小 和 方向的量;向量的大 小叫作向量的长度(或模) 备注 → 如a,AB 记作0 a a0= |a|

长度为零 的向量;其方向不确定
与a同方向且长度为单位1的向量,叫

单位向量 作向量a方向上的单位向量,可记作 a0 .
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共线(平 行)向量

向量a与b平行 方向 相同 或 相反 的非零向量 或共线,记作a ∥b 如a=b 记作-a

相等向量 长度相等、方向 相同 的向量 相反向量 与向量a长度相等、方向 相反 的向 量,叫作a的相反向量

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2.向量的线性运算

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3.向量共线的判定定理和性质定理 (1)判定定理:a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使 得 b=λa ,则向量b与非零向量a共线.

(2)性质定理:若向量b与非零向量a共线,则存在一个实 数λ,使得 b=λa .

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[基础自测] 1.设a0,b0分别是与a,b同向的单位向量,则下列结论中正 确的是( ) B.a0· b0=1 D.|a0+b0|=2

A.a0=b0 C.|a0|+|b0|=2

解析:因为a0,b0是单位向量,所以|a0|=|b0|=1. 答案:C

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2.下列命题中正确的是( → → → A.OA-OB=AB

) → → B.AB+BA=0

→ → → → → C.0· AB=0 D.AB+BC+CD=AD → -OB → =BA → ;AB → 、BA → 是一对相反向量,它们的和应 解析:OA → + BA → =0;零向量与任意向量的数量积都为 该为零向量,即 AB 0,故选D.
答案:D
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3.判断下列四个命题: ①若a∥b,则a=b;②若|a|=|b|,则a=b;③若|a|=|b|,则a ∥b;④若a=b,则|a|=|b|. 正确的个数是( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:只有④正确. 答案:A
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→ → 4.(教材改编题)在平行四边形ABCD中, AB =a, AD =b, → =3NC → ,M为BC的中点,则MN → =________.(用a,b表示) AN → 解析:∵AC=a+b,
1 → ∴CN=-4(a+b), 1 1 1 → → → ∴MN=MC+CN=2b-4(a+b)=4(b-a).

1 答案:4(b-a)
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5.设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与2a-b共线, 则λ=________.
解析:由题意知:a+λb=k(2a-b),
? ?1=2k, 则有? ? ?λ=-k,

1 1 ∴k=2,λ=-2.

1 答案:- 2
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考点一 [例1] 给出下列六个命题

平面向量的概念

→ → ①向量AB的长度与向量BA的长度相等; ②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反; ③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同; ④两个有公共终点的向量,一定是共线向量;

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→ 与向量 CD → 是共线向量,则点A、B、C、D必在同一 ⑤向量 AB 条直线上; ⑥有向线段就是向量,向量就是有向线段. 其中假命题的个数为( A.2 B.3 ) C.4 D.5

审题视点 理解向量基本概念的内涵,按照定义逐个判定, 注意到特殊情况,否定某个命题只要举出一个反例即可.

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解析

①真命题;②假命题,若a与b中有一个为零向量时,

其方向是不确定的;③真命题;④假命题,终点相同并不能说明 这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题,共线向量所在直线可 以重合,也可以平行;⑥假命题,向量可用有向线段来表示,但 并不是有向线段.

答案 C

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解决这类与平面向量的概念有关的命题真假判定问题,其关 键在于透彻理解平面向量的概念,还应注意零向量的特殊性,以 及两个向量相等必须满足;(1)模相等;(2)方向相同.

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1.给出下列命题: ①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小; ③λa=0(λ为实数),则λ必为零; ④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线. 其中错误的命题的个数为( A.1
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) C.3 D.4

B.2
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解析:①错误,两向量共线要看其方向而不是起点与终点. ②正确.因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大 小,但它们的模均为实数,故可以比较大小. ③错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0. ④错误,当λ=μ=0时, 意向量. λa=μb=0,此时,a与b可以是任

答案:C
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2.给出下列命题: → → ①若A,B,C,D是不共线的四点,则 AB = DC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件; ②若a=b,b=c,则a=c; ③a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b; ④若a与b均为非零向量,则|a+b|与|a|+|b|一定相等. 其中正确命题的序号是________.

解析:①②正确,③④错误. 答案:①②
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考点二

平面向量的线性运算

[例2] (1) 如图,已知AB是圆O的直径,点C、D是半圆弧的 → → → 两个三等分点,AB=a,AC=b,则AD=( 1 A.a-2b 1 C.a+2b 1 B.2a-b 1 D.2a+b )

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(2)(2016· 烟台模拟)若O是△ABC所在平面内一点,D为BC边 → +OB → +OC → =0,那么( 的中点,且2OA → → A.AO=OD → → C.AO=3OD → → B.AO=2OD → → D.2AO=OD )

审题视点 (1)用平行四边形法则求解. (2)利用三角形性质及向量的运算法则求解.

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解析 (1)连接OC、OD、CD,由点C、D是半圆弧的三等分

点,有∠AOC=∠COD=∠BOD=60° ,且OA=OC=OD,则△ OAC与△OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形,所以四边 1→ → 1 → → → 形OACD为菱形,所以AD=AO+AC=2AB+AC=2a+b.

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→ +OC → =2OD →, (2) 如图,OB → +OB → +OC → =0, 又∵2OA → → → ∴OB+OC=-2OA. → → → → ∴2OD=-2OA,∴OD=AO.

答案 (1)D (2)A

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1.平面向量的线性运算法则的应用 三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法, 共起点的向量和用平行四边形法则,差用三角形法则.

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2.两个重要结论 (1)向量的中线公式:若P为线段AB中点, → 1 → → 则OP=2(OA+OB). (2)向量加法的多边形法则 → → → A→ A + A A + A A +?+ A A = A - 1 2 2 3 3 4 n 1 n 1An.

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1.(2016· 衡水中学质检)若点M是△ABC所在平面内的一点, → - AB → - AC → |=0,G为BC的中点,则△ABM与△ABC 且满足|3 AM 的面积之比等于( 3 A.4 1 C.3 ) 1 B.4 1 D.2

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→ +AC → =2 AG →, 解析:如图,G为BC的中点,则AB → -AB → -AC → |=0, ∵|3 AM → -AB → -AC → =0, ∴3 AM → → → → ∴3 AM=AB+AC=2 AG, → S△ABM 2 |AM| 2 1 ∴ = ,∴ = ,又S△ABG=2S△ABC, → 3 S△ABG 3 |AG| 1 2 1 ∴△ABM与△ABC的面积之比等于2×3=3,故选C. 答案:C
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2.(2016· 大连高三检测)如图,在△ABC中,AB=2,BC= → → 3,∠ABC=60° ,AH⊥BC于点H,M为AH的中点.若 AM =λ AB → ,则λ+μ=________. +μBC

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解析:因为AB=2,∠ABC=60° ,AH⊥BC,所以BH=1.因 1? → 1 → ? → 1→ 1 → → 为点M为AH的中点,所以AM=2AH=2(AB+BH)=2?AB+3BC?=
? ?

1→ 1→ 1 1 2 → → → 2AB+6BC,又AM=λAB+μBC,所以λ=2,μ=6,所以λ+μ=3. 2 答案:3

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考点三 共线向量定理及其应用 → =a, OB → =b, OC → =c, OD →= [例3] 已知a、b不共线, OA → =e,设t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在实 d, OE 数t使C,D,E三点在一条直线上?若存在,求出实数t的值,若 不存在,请说明理由.
审题视点 先假设存在,再利用a,b表示目标向量,最后判 → → 断是否有CE=kCD成立即可.
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解 → =d-c=2b-3a, CE → =e-c=(t-3)a+ 由题设知, CD

tb,C,D,E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得 → =kCD →, CE 即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b.
? ?t-3+3k=0, 因为a,b不共线,所以有? ? ?t-2k=0,

6 解之得t=5.

6 故存在实数t=5使C,D,E三点在一条直线上.
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(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有 非零向量才能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法的运 用和方程思想. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决.但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且存在公共点时, 才能得出三点共线.

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→ → 1.(2016· 四川资阳模拟)已知向量 AB =a+3b, BC =5a+ → 3b,CD=-3a+3b,则( A.A,B,C三点共线 C.A,C,D三点共线 ) B.A,B,D三点共线 D.B,C,D三点共线

→ → → → 解析:∵ BD = BC + CD =2a+6b=2(a+3b)=2 AB ,∴A, B,D三点共线.故选B.
答案:B
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2.(2015· 高考课标卷Ⅱ)设向量a,b不平行,向量λa+b与a +2b平行,则实数λ=__________.
解析:依据共线向量定理列方程组求解. ∵λa+b与a+2b平行, ∴λa+b=t(a+2b), ? 1 ? ?λ=2, ?λ=t, 即λa+b=ta+2tb,∴? 解得? ? ?1=2t, ?t=1. 1 ? 2 答案:2
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以向量为背景的新定义问题 [典例] 设A1、A2、A3、A4是平面直角坐标系中两两不同的

1 1 → → → → 四点,若 A1A3 =λ A1A2 (λ∈R), A1A4 =μ A1A2 (μ∈R),且 λ + μ =2, 则称A3,A4调和分割点A1,A2,已知平面上的点C,D调和分割点 A,B则下面说法正确的是(
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)

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A.C可能是线段AB的中点 B.D可能是线段AB的中点 C.C,D可能同时在线段AB上 D.C,D不可能同时在线段AB的延长线上 → → 解题指南 本题为信息题,由 A→ 1A3 =λ A1A2 (λ∈R), A1A4 =

→ μ A1A2 (μ∈R)知:A1,A2,A3,A4四点共线,且不重合.因为C, → D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直线上,设 AC 1 1 → → → =cAB,AD=dAB,则c+d=2,然后逐项代入验证.
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解析 → → → → 由 A1A3 =λ A1A2 (λ∈R), A1A4 =μ A1A2 (μ∈R)知:四点

A1,A2,A3,A4在同一条直线上,且不重合. 因为C,D调和分割点A,B,所以A,B,C,D四点在同一直 1 1 1 → → → → 线上,设AC=cAB,AD=dAB,则 c +d=2,选项A中c=2,此时 d不存在,故选项A不正确;同理选项B也不正确;选项C中, 1 1 0<c<1,0<d<1,c+d>2,也不正确,故选D. 答案 D
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阅卷点评

本小题考查了对向量共线的理解及应用、利用

所学知识分析解决问题的能力以及推理论证能力,求解时应明 → =λ AB → 时,0<λ<1,而当点C在线 确,若点C在线段AB上,则当 AC → =λ AB → ,则有λ>1,求解本题时还要注 段AB的延长线上时,若 AC 意不等式性质及反证法思想的应用.难度适中.

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创新点评

本题有以下创新点:

(1)命题背景新颖,本题为新定义题目,用新定义考查阅读能 力与知识迁移能力; (2)考查内容创新:以共线向量为背景,结合不等式,通过创 新情境,考查化归与转化的数学思想方法和分析问题、解决问题 的能力.

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备考建议

(1)可通过特例、验证等方法理解新定义问题;

(2)化生为熟、化新为旧,设法把新定义问题转化为熟悉的问 题来解决; (3)“按规则办事”,新定义问题怎么规定,就怎么办.

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◆一条规律 一般地,首尾顺次连接的多个向量的和等于从第一个向量起 点指向最后一个向量终点的向量. ◆向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线和重合的情况,而直线平行不包括共 线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说 明这两条直线不重合.
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课时规范训练

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