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人教版高中数学课件 第三册:圆锥曲线_图文

§8.3 双 曲 线 及 其 标 准方程

1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a

( 2a>|F1F2|>0) 的点M的轨迹.

注意:
①、数学表达式: |MF1|+|MF2|=2a
②、a2=b2+c2 , a>b>0 2a > | F1F2 | 2a = | F1F2 | 2a< | F1F2 | 椭圆 线段 不存在

思考题:
平面内与两定点F1、F2的距离的差等于常数的点 的轨迹是什么呢?

分析总结:

y
M F1

o

F2

x

|MF1|-|MF2|= - 2a
| |MF1|-|MF2| | = 2a (差的绝对值)

|MF1|-|MF2| =2a

定义: 平面内与两个定点F1,F2的距离的差 的绝对值 等于常数 (小于︱F1F2︱)的点M的轨迹叫做双曲线. 焦点:定点F1、F2 焦距: |F1F2|=2c

说明:

①.数学表达式
| |MF1|-|MF2| | = 2a

2a < |F1F2 | 2a= |F1F2 |

双曲线
两条射线 无轨迹

2a> |F1F2 |

②. M在右支上

|MF1|-|MF2| =2a

M在左支上

|MF1|-|MF2|= - 2a

方程的推导 求轨迹方程的一般步骤:
建系 设点 列式 化简

y
M

解: 以F1,F2所在的直线为X轴,线段 设M(x , y),F1(-c,0),F2(c,0) | |MF1| - |MF2| | = 2a 化简得
x a
2 2

F1F2的中点为原点建立直角坐标系。

F1

o

x
F2

?

y b

2 2

? 1(a ? 0, b ? 0)

思考:

y
F2

o
F1

x

焦点在y轴上的双曲线的标准方程 是什么呢?

y
M

y M




F1
O

F2 x
O

x

F2

F1





x a

2 2

?

y b

2 2

? 1

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1

焦点位置 焦点坐标

焦点在X轴

焦点在Y轴

F1(- C , 0 ) F2( C , 0 )

F1( 0,-C ) F2( 0,C

)

例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线 的标准方程.
解:根据题意可知,双曲线的焦点在 x 轴上, 设它的标准方程为:
x a
2 2

定焦点 设方程

?

y b

2 2

? 1

(a ? 0, b ? 0)



2a = 6,

c=5




a = 3, c = 5

确定a、b、c
b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为:
x
2

?

y

2

? 1

9

16

例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到 F1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程. 变题①.已知双曲线的焦点为F1(0,-5), F2(0,5),双曲线上一点P到 F1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.

变题② .已知双曲线的焦点为F1(0,-5), F2(0,5),双曲线上一点P到 F1、F2的距离的差等于6,求双曲线的方程.

例2.已知| F1F2 |=10, | |PF1|-|PF2| | = 6,求点P的轨迹方程.

变题①.已知| F1F2 |=10, |PF1|-|PF2| = 10 ,求点P的轨迹方程.

变题②.已知| F1F2 |=10, | |PF1|-|PF2| | = 10,求点P的轨迹方程


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