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2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和课件 理

第五章 数 列

第三节

等比数列及其前n项和

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式及前n项

和公式;2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识
解决相应的问题;3.了解等比数列与指数函数的关系。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第 _____ 二 项起,每一项与它的前一项的比等于 _____________ 那么这个数列就叫做等比数列。 这个常数叫做等比数 同一常数 (不为零), an+1 =q(n∈N+) 。 列的公比,通常用字母 q 表示,定义的表达式为________________ a
n

G (2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么_____ 叫做a与b的等比 中项。即G是a与b的等比中项?a,G,b成等比数列?__________ 。 G2=ab

2.等比数列的有关公式
- a1qn 1 (1)通项公式:an=_____________ 。

1 ,q=1, ___ ? ? (2)前 n 项和公式:Sn=?a1?1-qn? a1-anq = ,q≠1。 ? 1-q ? 1-q

na

3.等比数列的常见性质
2 a · a = a · a = a m n p q k (1)若 m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N+),则_________________ ;

1 (2)若数列{an}、 {bn}(项数相同)是等比数列, 则{λan}、a 、 {a 2 {an· bn}、 n}、
? ? n? ? ? ? ? ? n? ?

? ? ? ? ? ? ? ? n? ?

a b (λ≠0)仍然是等比数列;

(3) 在等比数列 {an} 中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 k an,an+k,an+2k,an+3k,?为等比数列,公比为 q ;

(4) 公 比 不 为- 1 的等 比数 列 {an} 的 前 n 项和 为 Sn , 则 Sn , S2n - Sn , S3n-S2n ______________ 仍成等比数列,其公比为 qn ,当公比为- 1 时, S , S -
n 2n

Sn,S3n-S2n不一定构成等比数列。

4.等比数列{an}的单调性
?a1>0, ?a1<0, 递增 数列; ①满足? 或? 时,{an}是________ q >1 0< q <1 ? ? ?a1>0, ?a1<0, 递减 数列; ? ②满足 或? 时,{an}是_________ ?0<q<1 ?q>1 ?a1≠0, ③当? 时,{an}为 常 ?q=1

数列;

④当 q<0 时,{an}为摆动数列。

基 础 自 测
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数,则这个
数列是等比数列。( × ) 解析 错误。根据等比数列的定义可知,把“常数”改为“同一非零

常数”后结论正确。
(2)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列。( × ) 解析 错误。q=0时{an}不是等比数列。 (3)G为a,b的等比中项?G2=ab。( × ) 解析 错误。G为a,b的等比中项 ?G2=ab;反之不真,如a=0,b =0,G=0。

(4)如果{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列。 ( × ) 解析 错 误 。 如 数 列 {an} 为 1 , - 1,1 , - 1 , ? 。 则 数 列 {bn} 为

0,0,0,0,?不是等比数列。 (5)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列。( × ) 解析 错误。等比数列 {an}中可能有小于零的项,而当 an<0时ln an无 意义。 n a ? 1 - a ? n (6)数列{an}的通项公式是 an=a , 则其前 n 项和为 Sn= 。 ( × ) 1-a 解析 错误。当a=1时结论不成立。

[练一练] 1 .设 {an}是公比为 q的等比数列,则“ q>1”是“{an}为递增数列”的 ( )

A.充分而不必要条件
C.充要条件
解析

B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件

?a1>0, 等 比 数 列 {an} 为 递 增 数 列 的 充 要 条 件 为 ? 或 q >1 ?

?a1<0, ? 故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件。 0< q <1 。 ?

答案 D

1 2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q 等于( 4 A.- C.2
解析

)

1 2

B.-2 D. 1 2

1 1 a5 4 1 ∵a2=2,a5= ,∴ = = =q3, 4 a2 2 8

1 ∴q= 。 2 答案 D

3.在等比数列{an}中,已知a7·a12=5,则a8a9a10a11=( A.10 C.50 B.25 D.75

)

解析 ∵a7a12=5,∴a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25。 答案 B

4.已知等比数列的前n项和Sn=4n+a,则a=________ -1 。 解析 当n=1时,a1=S1=4+a,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(4n+a)- (4n-1+a)=4n-4n-1=3×4n-1。 又∵该数列为等比数列,∴4+a=3×40,即a=-1。

5 . (2015·课标全国卷 Ⅰ)在数列{an}中,a1 =2 ,an +1 = 2an ,Sn 为{an} 的前n项和。若Sn=126,则n=________ 。 6
an+1 解析 ∵an+1=2an,即 =2, an ∴{an}是以 2 为公比的等比数列。 2?1-2n? 又 a1=2,∴Sn= =126。 1- 2 ∴2n=64。∴n=6。

R

热点命题

深度剖析

考点一 等比数列的基本运算
【例1】 (1)(2015·安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=

9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于________ 2n-1 。
【解析】 设数列{an}的公比为 q,由已知条件可得 a =8, 2
?a1=1, 或? ?q=2,

? ?a1+a1q3=9, ? 1 ? 2 3 解得? 1 a q = 8 , q = ? 1 ? ?

?a1=1, 因为{an}是递增的等比数列,所以? ?q=2。

所以{an}是以 1 为首项,2 为公比的等比数列,故 Sn=2n-1。

(2)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6, 1 则数列{ }的前 5 项和为( an A. C. 15 或5 8 ) 31 B. 或 5 16 D. 15 8

31 16

【解析】 若 q=1,则由 9S3=S6 得 9×3a1=6a1, 则 a1=0,不满足题意,故 q≠1。 a1?1-q3? a1?1-q6? 由 9S3=S6 得 9× = ,解得 q=2。 1-q 1-q 1 ?1? 故 an=a1qn-1=2n-1, =?2?n-1。 an ? ? 1 1 所以数列{a }是以 1 为首项,以2为公比的等比数列,其前 5 项和为 n
?1? 1×[1-?2? 5] 31 ? ? S5= = 1 16。 1-2

【答案】 C

【规律方法】

(1)对于等比数列的有关计算问题,可类比等差数列问

题进行,在解方程组的过程中要注意 “相除”消元的方法,同时要注意整
体代入(换元)思想方法的应用。 (2)在涉及等比数列前 n项和公式时要注意对公比 q是否等于 1进行判断

和讨论。

变式训练1

(1)(2015·湖南卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=

1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=________ 3n-1 。

解析 设等比数列{an}的公比为q,则an=a1qn-1=qn-1。
因为3S1,2S2,S3成等差数列,所以2×(2S2)=3S1+S3,即4S2=3+S3, 即4(a1+a2)=3+(a1+a2+a3), 也就是4(1+q)=3+(1+q+q2), 整理得q2-3q=0,解得q=3或q=0(舍去)。 所以等比数列{an}的首项为a1=1,公比为q=3,故an=3n-1。

(2)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的

值是________ 。 4
解析 设公比为q,则由a8=a6+2a4,得a1q7=a1q5+2a1q3,q4-q2-2 =0,解得q2=2(q2=-1舍去),所以a6=a2q4=4。

考点二

等比数列的性质
(1)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,

【例2】

则ln a1+ln a2+?+ln a20=________ 。 50
【解析】 因为{an}为等比数列, 所以a10a11=a9a12=a1a20=e5,

则有ln a1+ln a2+?+ln a20=ln(a1a2a3?a20),
∵a1a2a3?a20=(a1a20)10=(e5)10=e50, ∴ln a1+ln a2+?+ln a20=ln e50=50。

(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn。若S2=3,S4=15,则S6=(
A.31 C.63 B.32 D.64

)

【解析】 ∵S2=3,S4=15,∴由等比数列前n项和的性质,得 S2,S4-S2,S6-S4成等比数列, ∴(S4-S2)2=S2(S6-S4), 即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选项C正确。 ∵S2=3,S4=15,∴由等比数列前n项和的性质,得 S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,

∴(S4-S2)2=S2(S6-S4),
即(15-3)2=3(S6-15),解得S6=63,故选项C正确。 【答案】 C

【规律方法】 等比数列常见性质的应用 等比数列的性质可以分为三类:①通项公式的变形,②等比中项的变 形,③前n项和公式的变形。根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特 征即可找出解决问题的突破口。

变式训练2
A .4

(1)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N+),已知am-1·am
) B.7

+1-2am=0,且T2m-1=128,则m的值为(

C.10
解析

D.12
因为{an}是等比数列,所以 am-1am+1=a2 m,

又由 am-1am+1-2am=0,可知 am=2。
m 1 由等比数列的性质可知前(2m-1)项积 T2m-1=a2 ,即 22m 1=128, m
- -

故 m=4。

(2)(2015· 课标全国卷 Ⅱ) 已知等比数列 {an} 满足 a1 = 3 , a1 + a3 + a5 =
21,则a3+a5+a7=( A.21 ) B.42

C.63
解析

D.84
a1+a3+a5 21 由题意知 =1+q2+q4= =7,解得 q2=2(负值舍 a1 3

去)。∴a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=21×2=42。 答案 B

考点三

等比数列的判定与证明
已知数列 {an}的前n 项和为Sn,数列{bn}中, b1=a1,bn=an

【例 3】

-an-1(n≥2),且an+Sn=n。 (1)设cn=an-1,求证:{cn}是等比数列;

【解】 证明:∵an+Sn=n, ∴an+1+Sn+1=n+1。 ②



②-①得 an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1。∴2(an+1-1)=an-1。 an+1-1 1 ∴ = 。∴数列{an-1}是等比数列。 a n- 1 2 1 1 又 a1+a1=1,∴a1= ,公比 q= 。 2 2 1 ∵首项 c1=a1-1,∴c1=- 。 2 又 cn=an-1, 1 1 ∴数列{cn}是以- 为首项,以 为公比的等比数列。 2 2

(2)求数列{bn}的通项公式。
【解】
? 1? ?1?n-1 ?1?n ? ? ? ? 由(1)可知 cn= -2 ·2 =-?2? , ? ?? ? ? ?

?1?n ∴an=cn+1=1-?2? 。 ? ?

∴当 n≥2 时,bn=an-an-1
?1 ? ? ?1? - ? =1-?2?n-?1-?2?n 1? ? ? ? ? ? ? ?1 ? - ? 1 ? ?1 ? =?2?n 1-?2?n=?2?n。 ? ? ? ? ? ? ?1 ? 1 又 b1=a1= 代入上式符合,∴bn=?2?n。 2 ? ?

【规律方法】

证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,

其他方法只用于选择、填空题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则
只要证明存在连续三项不成等比数列即可。

变式训练 3

2 (2016· 镇海模拟)已知数列{an}和{bn}满足:a1=λ,an+1= 3

an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中 λ 为实数,n 为正整数。 (1)对任意实数 λ,证明:数列{an}不是等比数列;
证明 则有 假设存在一个实数 λ,使{an}是等比数列。
?2 ?2 ?4 ? 2 a2=a1a3,即? λ-3? =λ? λ-4?。 ?3 ? ?9 ?

4 4 故 λ2-4λ+9= λ2-4λ。 9 9 即 9=0,矛盾,所以{an}不是等比数列。

(2)试判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论。
证明 因为 bn+1=(-1)n 1[an+1-3(n+1)+21]


? 2 2 + ?2 =(-1)n 1?3an-2n+14?=- (-1)n(an-3n+21)=- bn。 3 3 ? ?

又 b1=-(λ+18),所以当 λ=-18 时, bn=0(n∈N*),此时{bn}不是等比数列; 2 当 λ≠-18 时,b1=-(λ+18)≠0,由 bn+1=- bn。 3 bn+1 2 可知 bn≠0,所以 =- (n∈N*),故当 λ≠-18 时, bn 3 2 数列{bn}是以-(λ+18)为首项,- 为公比的等比数列。 3

S

思想方法

感悟提升

⊙2个防范——应用等比数列的公比应注意的问题
(1)由an+1=qan(q≠0),并不能断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0。 (2) 在应用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q = 1 和q≠1 分类讨

论,防止因忽略q=1这一特殊情况而导致错误。
⊙ 4 —— 等比数列的判定方法 ⊙ 4种方法 种方法 —— 等比数列的判定方法 a a + a nn 11 a nn + + n 1 n (1) 定义法:若 = q ( q 为非零常数 ) 或 = q (( q 为非零常数且 n ≥ 2) , (1)定义法:若 a =q(q 为非零常数)或 = q q 为非零常数且 n ≥ 2) , a - a n a n 1 - n - n nn 11 则 {{ a }} 是等比数列; 则 a 是等比数列; nn n 22 ** 2 * (2) 等比中项法:在数列 {{ a }} 中, a ≠ 0 = a · a (( n ∈ N )) ,则数列 + + (2) 等比中项法:在数列 a 中, a ≠ 0且 且a a = a · a n ∈ N ,则数列 nn nn nn 11 nn nn 22 + + + + n n n 1 n n 2 {{ a }} 是等比数列; a 是等比数列; nn n nn n (3) 通项公式法:若数列通项公式可写成 = c · q (( cc , q (3) 通项公式法:若数列通项公式可写成a a = c · q , q均是不为 均是不为0 0的常 的常 n nn
** * 数, n ∈ N )) ,则 {{ a }} 是等比数列; (4) 前 { a 的前 n} 数, n ∈ N ,则 a 是等比数列; (4) 前n n 项和公式法:若数列 项和公式法:若数列 { a 的前 n n nn n} n n nn n n n} 项和S S = k · q - k ( k为常数且 为常数且k k ≠ 0 , q ≠ 0,1) ,则 { a 是等比数列。 项和 = k · q - k ( k ≠ 0 , q ≠ 0,1) ,则 { a 是等比数列。 n} nn n


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