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上海市2013-2014学年高二数学寒假作业4


高二数学寒假作业
满分 100 分,考试时间 90 分钟 姓名____________ 班级_________学号__________

一、填空题(本大题满分 36 分,每题 3 分) :

1.正三角形 ABC 边长为 2,设 BC ? 2 BD , AC ? 3 AE ,则 AD ?BE ? _____________.

??? ?

??? ?

????

??? ?

???? ???? ?

2.已知向量 a ? (1, 2), b ? (?3, 2), 若向量ka ? b与2a ? b 共线,则 k=

?

?

?

?

?

?



3.已知一个关于 x, y 的二元线性方程组的增广矩阵是 ? ?

?1 ?1 2? ? ? ,则 x ? y =_____。 ?0 1 2?

4.已知矩阵 A= ?

?1 2? ?4 2? ? ,矩阵 B= ? ? ,计算:AB= ?3 4? ?3 1?
? ?



5.已知向量 a, b 满足 | a |? 1,| b |? 3, a 、 b 之间的夹角为 60 ,则 a( = ? a ? b)
0

? ?

?

?

? ? ?





6. 已知向量 a ? (1, 3) , b ? (?2,1) , c ? (3, 2) . 若向量 c 与向量 ka ? b 共线,则实数 k ? _____.

7.圆 C 的方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,圆 M 的方程为 ( x ? 2 ? 5cos ? ) ? ( y ? 5sin ? ) ? 1
2 2 2 2

(? ? R) ,过圆 M 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE 、 PF ,切点分别为 E 、 F ,
则 PE ? PF 的最小值为______.

8. 已知 a, b, c 是 空 间两 两垂直且 长度 相等 的基 底, m ? a ? b, n ? b ? c, 则 m , n 的 夹角 为 .

? ? ?

??

? ? ?

? ?

?? ?

9.如图,在 ?ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 ,则 AC ? AD

??? ?

??? ? ????

??? ? ????

.

1

10.正三角形 ABC 边长为 2,设 BC ? 2 BD , AC ? 3 AE ,则 AD ?BE ? _____________.

??? ?

??? ?

????

??? ?

???? ???? ?

11.

?? ? ? 已知a, b均为单位向量,它们的夹角为60?,那么 a ? 3b ?

________________.

12.设 F1 , F2 是双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,当 ?F1 PF2 的面积为 2 时, 3

???? ???? ? PF1 ?PF2 = ____________________-.

二、选择题(本大题满分 12 分,每题 3 分): 13.在 ?ABC 中,?BAC ? 60 °,AB ? 2, AC ? 1, E、F 为边 BC 的三等分点, 则 AE ? AF 等于( ) A.

5 3

B.

5 4

C.

10 9

D.

15 8


14. 已知 a ? (0,

2) , b ? (1, 1) ,则下列结论中正确的是(

A. (a ? b) ? b

B. (a ? b) ? (a ? b)

C. a // b

D. a ? b

??? ? ???? 15.如图所示的方格纸中有定点 O,P,Q,E,F ,G,H ,则 OP ? OQ ? (


??? ? D. EO

???? ? A. OH

???? B. OG

??? ? C. FO

16.已知点 O ? 0, 0 ? , A ? 0, b ? , B a, a .若? ABC 为直角三角形, 则必有
3

?

?

A. b ? a

3

B. b ? a ?
3

1 a

2

C. b ? a

?

3

?? ?b ? a ?

3

1? ? ??0 a?

D. b ? a ? b ? a ?
3 3

1 ?0 a

3

三、解答题(本大题满分 52 分): 17. (本题满分 10 分)设平面向量 m ? (cos? , sin ? ) (0 ? ? ? 2? ) , n ? ( ? (1)证明; (m ? n) ? (m ? n) (2)当

1 3 , ) 2 2

3 m ? n ? m ? 3 n ,求 ? .
?1 2 ? ? 的特征值及其对应的特征向量. ?2 1 ?

18. (本题满分 6 分).求矩阵 M= ?

19. ( 本 题 满 分 13 分 ). 已 知 过 点 A(0,1) , 且 斜 率 为 k 的 直 线 l , 与 圆

C : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 ,相交于 M、N 两点.
(1)求实数 k 的取值范围; (2)求证: AM ? AN ? 定值 ; (3)若 O 为坐标原点,且 OM ? ON ? 12, 求k的值 .

???? ? ????

???? ? ????

20. (本题满分 9 分).如图,

? ABCD 中, E, F 分别是 BC, DC 的中点, G 为交点,若

? ??? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? AB ? a, AD ? b ,试以 a, b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG

21. (本题满分 14 分).已知向量 m ? ( 3 sin (1)若 f ( x) ? 1 ,求 cos(

x x x n ? (cos , cos 2 ) , 函数 f ( x) ? m ? n ,1) , 4 4 4

2? ? x) 的值; 3 1 c ? b ,求 f ( B) 2

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 a cos C ? 的取值范围.

4

试卷答案 1. ?2 因

? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ??? ? ?? ??? ? ? ??? ? ? ? 1????? ??? ?? ? ? ? A D ? A? B ? B D ? , A B BE ? AE B ?C AB ? AC ? AB , 所 以 2 3 ???? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? ??? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 1? ? ? ? 1 ? ? 2 AD?BE ? ( AB ? BC )? ( AC ? AB) ? A ? B A? C ? B ? C? A C ? B C A B 2 3 3 6 2


? A

1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 22 ? ?2 。 3 2 6 2 2 2

2. ?2

? ? ? ? ? ? ? ? ka ? b ? (k ? 3, 2k ? 2) , 2a ? b ? (5, 2) , 因 为 k a? b与 2a ? b 共 线 , 所 以 有
2(k ? 3) ? 5(2k ? 2) ? 0 ,即 8k ? ?16 ,所以 k ? ?2 。

3.6 略

4. ? 略

? 10 4 ? ? ? 24 10 ?

5. 略

6. k ? ?1

5

? ? ka ? b ? k (1,3)+(?2, 1) ? (k ? 2,3k ? 1) , 因 为 向 量 c 与 向 量 ka ? b 共 线 , 所 以

2(k ? 2) ? 3(3k ? 1)=0 ,解得 k ? ?1 。

7.6

8. 略

9. 3

10. ?2 因

? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ??? ? ?? ??? ? ? ??? ? ? ? 1????? ??? ?? ? ? ? A D ? A? B ? B D ? , A B BE ? AE B ?C AB ? AC ? AB , 所 以 2 3 ???? ??? ? ??? ? 1 ??? ? 1 ???? ??? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 1? ? ? ? 1 ? ? 2 AD?BE ? ( AB ? BC )? ( AC ? AB) ? A ? B A? C ? B ? C? A C ? B C A B 2 3 3 6 2


? A

1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 22 ? ?2 。 3 2 6 2 2 2
11.

13 。

易 知 : a ? 1, b ? 1,a ? b ? , 所 以 a ? 3b ? a ? 3b

?

?

? ? a ? 3b ? 1 3。

? ? 1 2

?

?2

?

?

?

?

2

? 2 ?2 ? ? ? a ? 9b ? 6a ? b ? 13 , 所 以

12.3

13.A 略

6

14..A 15.C 16.C

17.解: (1)由条件知: m ? n ? 1 而 ( m ? n) ? ( m ? n) ? m ? n ? 1 ? 1 ? 0 , ? ( m ? n) ? ( m ? n) (2)把
2 2

3 m ? n ? m ? 3 n 两端平方得: 3m ? 2 3 m ? n ? n ? m ? 2 3 m ? n

2

2

2

2 1 3 3 ? 3n , 整理得:m ? n ? 0 , 即:? cos? ? 即t ,(0 ? ? ? 2? ) sin ? ? 0 , an ? ? 2 2 3

?? ?
略 18.

?
6



7? 6

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解:矩阵 M 的特征多项式为 f (? ) ?

? ?1
?2

?2

? ?1

? (? ? 1)(? ? 1) ? 4 = ?2 ? 2? ? 3 .

令 f (? ) ? 0, 得矩阵 M 的特征值为-1 和 3 . 当 ? ? ?1时,联立 ?

? -2 x ? 2 y ? 0 , 解得x ? y ? 0 ??2 x ? 2 y ? 0 ?1? ?. ? ?1?

所以矩阵 M 的属于特征值-1 的一个特征向量为 ?

当 ? ? 3时,联立 ?

? 2x ? 2 y ? 0 , 解得x ? y ??2 x ? 2 y ? 0 ?1? ?1?

所以矩阵 M 的属于特征值 3 的一个特征向量为 ? ? .

19.解:解 (1)? 直线l的方程为y ? kx ? 1 由

2k ? 3 ? 1 k ?1
2

? 1, 得

4? 7 4? 7 . ?k? 3 3

(4 分)

7

(2)

???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? ? AM ? AN ? AM AN cos 0? ? AT 2 ? 7 ? AM ? AN为定值.
(8 分)

???? ? 1 ? DE ? a ? b 2 ??? ? ? 1? 20. BF ? b ? a 2 ??? ? 1 ? ? CG ? ? (a ? b) 3

21.解:由题意得:

3 x 1 x 1 x ? 1 x x x sin ? cos ? ? sin( ? ) ? …(3 分) f ( x) ? 3 sin cos ? cos 2 ? 2 2 2 2 2 2 6 2 4 4 4 x ? 1 (1)若 f ( x) ? 1 ,可得 sin( ? ) ? , 2 6 2 2 ? x x ? 1 则 cos( ? ? x) ? 2cos 2 ( ? ) ? 1 ? 2sin 2 ( ? ) ? 1 ? ? ……… (6 分) 3 3 2 2 6 2 a 2 ? b2 ? c 2 1 1 (2)由 a cos c ? c ? b 可得 a ? c ? b ,即 b2 ? c2 ? a2 ? bc 2ab 2 2 2 2 2 b ?c ?a 1 ? 2 得 A ? ,B?C ? ? …… (9 分) ? cos A ? ? , 2bc 2 3 3 2 B ? ? B ? ? 0? B? ? ?0? ? ? ? ? ? 3 2 3 6 2 6 2 B ? 1 3 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 (12 分) ? f ( B) ? sin( ? ) ? ? (1, ) 2 6 2 2

8


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