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三角函数和差及倍角公式讲义


教育学科教师辅导讲义
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课 题

年 级:高一 辅导科目:数学

课 时 数: 学科教师:

三角函数和差公式和倍角公式

授课日期及时段

教学目的

1、学习并掌握三角函数的和差公式的推导过程; 2、理解并掌握倍角公式的推导过程及其应用; 3、能灵活利用和差公式进行分析求解问题。
教学内容

一、上次作业检查与讲解; 二、学习要求及方法的培养: 三、知识点分析、讲解与训练:

知识回顾
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? ? sin 2? ? 2sin ? cos ?

cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ?   tan ?? ? ? ? ?

令? ? ? sin ? sin ? ??? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

                        ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         ? cos 2 ?= 1 tan ? tan ? 2 1 ? cos2?                      ? sin 2 ?= 2 2 tan ?     tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是:一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系, 注意角的一些常用变式,角的变换是三角函数变换的核心!第二看函数名称之间的关系,通常“切化弦” ;第三 观察代数式的结构特点。基本的技巧有: (1)巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变 换. 如 ? ? (? ? ? ) ? ? ? (? ? ? ) ? ? , 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) , 2? ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ,

? ? ? ? 2?

? ??
2



???
2

? ??

?

?
2

? ?? ? ?
? 2 ?
2

等) ,

(2)三角函数名互化(切割化弦), (3)公式变形使用( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 tan ? tan ? ? 。 (4)三角函数次数的降升(降幂公式: cos ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? 2 , sin ? ? 与升幂公式: 2 2

1 ? cos 2? ? 2cos2 ? , 1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? )。

第 1 页 共 1 页

(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 (6)常值变换主要指“1”的变换(1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x ? tan x ? cot x
2 2 2 2

? tan ? ? sin ? ? 4 2

等) ,

sin x cos x ”的内存联系――“知一求二” (7)正余弦“三兄妹— sin x ? cos x、 ,
三、辅助角公式: a sin x ? b cos x ?

a 2 ? b 2 sin ? x ? ? ?
b 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a

(其中 ? 角所在的象限由 a, b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ?

典例精讲
例一、 (1)下列各式中,值为 A、 sin15 cos 15

1 的是 2
2





tan 22.5 1 ? cos 30 D、 ; 2 12 12 1 ? tan 22.5 2 (2)命题 P: tan( A ? B ) ? 0 ,命题 Q: tan A ? tan B ? 0 ,则 P 是 Q 的 ( )
B、 cos

?

? sin 2

?

C、

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件; (3)已知 sin( ? ? ? )cos ? ? cos( ? ? ? ) sin ? ? (4)

3 ,那么 cos 2 ? 的值为 5



1 3 的值是 ? sin10 sin 80
0 0



(5)已知 tan110 ? a ,求 tan 50 的值(用 a 表示)甲求得的结果是 甲、乙求得的结果的正确性你的判断是 。

1 ? a2 a? 3 ,乙求得的结果是 ,对 2a 1 ? 3a

例二、 (1)化简 tan ? (cos ? ? sin ? ) ?

sin ? ? tan ? ; cot ? ? csc ?

(2)求证:

1 ? sin ? 1 ? 2sin

2 ?

?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2;

2

2

例三、(1)若 ? ? ( ? , ? ) ,化简

1 1 1 1 ; ? ? cos 2? 为_____ 2 2 2 2 5 3( x ? R ) 的单调递增区间为_______ (2)函数 f ( x ) ? 5 sin xcos x ? 5 3 cos 2 x ? 2
第 2 页 共 2 页

3 2

例四、 (1)若方程 sin x ? 3 cos x ? c 有实数解,则 c 的取值范围是___________; (2)当函数 y ? 2 cos x ? 3 sin x 取得最大值时, tan x 的值是 ; (3)如果 f ? x ? ? sin ? x ? ? ? ? 2cos( x ? ?) 是奇函数,则 tan ? = (4)求值: ; ;

3 1 ? ? 64 sin 2 20? ? 2 sin 20? cos 20?
2

例五、 (1)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ? )(a ? 0,0 ? ? ? ? ), x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ( (1)求 f ( x) 的解析式; (2)已知 ? , ? ? (0,

? 1

, )。 3 2

?

3 12 ) ,且 f (? ) ? , f ( ? ) ? , 求 f (? ? ? ) 的值。 2 5 13

π π (2) [2014· 江西卷] 已知函数 f(x)=sin(x+θ )+acos(x+2θ),其中 a∈R,θ ∈?- , ?。 ? 2 2? π (1)当 a= 2,θ= 时,求 f(x)在区间[0,π ]上的最大值与最小值; 4 π (2)若 f? ?=0,f(π )=1,求 a,θ 的值。 ?2?

例六、 (2012 年高考(安徽理) )设函数 f ( x) ? (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)设函数 g ( x) 对任意 x ? R ,有 g ( x ?

2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 2 4

?

? 1 ) ? g ( x ) ,且当 x ? [0, ] 时, g ( x ) ? ? f ( x ) ,求函数 g ( x) 在 2 2 2

[?? , 0] 上的解析式。

第 3 页 共 3 页

巩固练习
, ? 2) ,则 cos? = 1、 (08 北京)若角 ? 的终边经过点 P(1
2、化简 ; tan 2? = 。

1 ? sin 4? ? cos 4? = 1 ? sin 4? ? cos 4? A. cot2 ? B. tan2 ?

( C. cot ? D. tan ? )

)

3、tanθ 和 tan(

? -θ )是方程 x2+px+q=0 的两根,则 p、q 之间的关系是( 4 A. p+q+1=0 B. p-q-1=0
C.p+q-1=0 D. p-q+1=0

4、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始 边为 射线 OA, 终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ] 上的图像大致为( )

A D

B

C

5、[2014· 全国卷] 直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1,3), 则 l1 与 l2 的夹角的正切值等于________。

第 4 页 共 4 页

2 cos 4 x ? 2 cos 2 x ?
6、 (1)化简

2 tan( ? x)sin 2 ( ? x) 4 4

?

?

1 2

sin(?+ ) 5 4 的值。 (2)已知α 是第一象限的角,且 cosα = , 求 13 cos( 2? ? 4? )

?

sin( ? 2? ) 2 7、已知 3 sin ? ? ·cosθ =1,θ ∈(0,π ),求θ 的值。 cos(? ? ? )

?

8、已知 0 ? ? ?

?
2

,sin ? ?

4 。 5
(Ⅱ)求 tan(? ?

(Ⅰ)求

sin 2 ? ? sin 2? 的值; cos 2 ? ? cos 2?

5? ) 的值。 4

9、 (2012 年高考(北京理) )已知函数 f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

(1)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间。

10、 (2012 年高考(福建理) )某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。

(1) sin 13? ? cos17? ? sin13? cos17?
2

(2) sin 15? ? cos15? ? sin15? cos15?
2

(3) sin 18? ? cos12? ? sin18? cos12?
2

第 5 页 共 5 页

(4) sin 2 (?18?) ? cos 48? ? sin(?18?)cos 48? (5) sin 2 (?25?) ? cos55? ? sin(?25?)cos55? Ⅰ 试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数 Ⅱ 根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.

11、 (2012 年高考 (广东理) ) (三角函数)已知函数 f ? x ? ? 2cos ? ? x ?

? ?

??

? (其中 ? ? 0 x ? R )的最小正周期为 10? 。 6?

(Ⅰ)求 ? 的值;

5 ? 6 5 ? 16 ? ?? ? ? (Ⅱ)设 ? 、 ? ? ?0, ? , f ? 5? ? ? ? ? ? , f ? 5? ? ? ? ? ,求 cos ?? ? ? ? 的值。 3 ? 5 6 ? 17 ? 2? ? ?

π 5π 3 12、[2014· 广东卷] 已知函数 f(x)=Asin?x+ ?,x∈R,且 f? ?= 。 ? 4? ? 12 ? 2 (1)求 A 的值; π 3π 3 (2)若 f(θ)+f(-θ)= ,θ∈?0, ?,求 f? -θ?。 2 2? ? ? 4 ?

第 6 页 共 6 页

2x 8 13、[2014· 辽宁卷] 已知函数 f(x)=(cos x-x)(π +2x)- (sin x+1),g(x)=3(x-π )cos x-4(1+sin x)ln?3-π ?。 3 ? ? 证明: π (1)存在唯一 x0∈?0, ?,使 f(x0)=0; 2? ? π (2)存在唯一 x1∈? ,π ?,使 g(x1)=0,且对(1)中的 x0,有 x0+x1<π 。 ?2 ? π π 2 答案:证明:(1)当 x∈?0, ?时,f′(x)=-(1+sin x)·(π +2x)-2x- cos x<0,函数 f(x)在?0, ?上为减 3 2? 2? ? ? π π 8 16 函数.又 f(0)=π - >0,f? ?=-π 2- <0,所以存在唯一 x0∈?0, ?,使 f(x0)=0. 3 3 2? ?2? ? 2 3(x-π )cos x π (2)记函数 h(x)= -4ln?3-π x?,x∈? ,π ?. ? ? ?2 ? 1+sin x π π 令 t=π -x,则当 x∈? ,π ?时,t∈?0, ?. 2? ?2 ? ? 2 3f(t) 3tcos t 记 u(t)=h(π -t)= -4 ln?1+π t?,则 u′(t)= . ? ? 1+sin t (π +2t)(1+sin t) 由(1)得,当 t∈(0,x0)时,u′(t)>0, π 当 t∈?x0, ?时,u′(t)<0. 2? ? 故在(0,x0)上 u(t)是增函数,又 u(0)=0,从而可知当 t∈(0,x0]时,u(t)>0,所以 u(t)在(0,x0]上无零点. π π π 在?x0, ?上 u(t)为减函数,由 u(x0)>0,u? ?=-4ln 2<0,知存在唯一 t1∈?x0, ?,使 u(t1)=0, 2? 2? ? ?2? ? π 故存在唯一的 t1∈?0, ?,使 u(t1)=0. 2? ? π 因此存在唯一的 x1=π -t1∈? ,π ?,使 h(x1)=h(π -t1)=u(t1)=0. ?2 ? π 因为当 x∈? ,π ?时,1+sin x>0,故 g(x)=(1+sin x)h(x)与 h(x)有相同的零点,所以存在唯一的 x1∈ ?2 ? π ? ,π ?,使 g(x )=0. 1 ?2 ? 因为 x1=π -t1,t1>x0,所以 x0+x1<π .

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