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2015届河北石家庄第四十二中学第一次模拟数学考试试卷


2015 年石家庄第四十二中学第一次模拟考试
数 学 试 卷
本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分;卷Ⅰ为选择题,卷Ⅱ为非选择题. 本试卷满分为 120 分,考试时间为 120 分钟. 一、选择题(本大题共 16 个小题,1~6 小题,每小题 2 分;7~16 小题,每小题 3 分,共 42 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. ﹣3 的绝对值是( A. -3 B.3 ) C. 1 D .0 的问

2. 未来三年,国家将投入 8450 亿元用于缓解群众“看病难、看病贵” 题.将 8450 亿元用科学记数法表示为( ) 4 3 A . 0.845× 10 亿 元 B . 8.45× 10 亿 元 C . 8.45× 104 亿 元 D.84.5× 102 亿元 3. 如图,直线 a、b 与直线 c 相交,且 a∥b,∠α=55° ,则∠β 的度数 ( ) A. 125° B.115° C.105° ) C. ( x 5 ) 2 ? x 7 D. (?3)
?2



D.35°

4.下列计算中,正确的是( A. 3a ? 2a ? 1

B. ( x ? 3 y) 2 ? x 2 ? 9 y 2 )

?

1 9

5. 如图是正三棱柱,它的主视图正确的是(

6. 若关于 x,y 的二元一次方程组

的解也是二元一次方程 2x+3y=6 的解,则 k

的值为( ) 4 3 3 4 C. ? B. A. ? D. 3 4 3 4 7. 小明用 20 元钱去买钢笔和铅笔,一支钢笔 5 元钱,一支铅笔 1 元钱,如果将这 20 元都 买成铅笔或钢笔,购买方案共有( A.3 种 B.4 种 ) C.5 种 D.6 种

8. 某班分成甲、乙两组去距离学校 4km 的烈士陵园扫墓.甲组步行,乙组骑自行车,他们 同时从学校出发, 结果乙组比甲组早 20min 到达目的地. 已知骑自行车的速度是步行速度 的 2 倍,设步行的速度为 x km/h,则 x 满足的方程为( ) D.

4 4 4 4 - =20 B. - =20 x 2x 2x x 9. 若 2a ? b ? 3 ,则 9 ? 4a ? 2b 的值为(
A.

C. )

4 4 1 - = x 2x 3

4 4 1 - = 2x x 3

A.12 B.6 C.3 D.0 10.圆锥的母线长为 6,底面半径为 2,则此圆锥的侧面积是( ) A.6 ? B.8 ? C.12 ? D.16 ? 11.如图,在△ABC 中,DE∥BC,DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E,若 AD=4,
1

11 题图

DB=2, 则

S?BDE 的值为( S?BCE
B.



A.

1 2

2 3

C.

3 4

D.

3 5

12. 如图,将△ABC 沿 BC 方向平移 2cm 得到△DEF,若△ABC 的周长为 16cm, 则四边形 ABFD 的周长为( A.16cm B.18cm ) C.20cm D.22cm

13.如图,已知△ ABC 面积为 12cm2,BP 为∠ABC 的角平分线,AP 垂直 BP 于点 P, 则△ PBC 的面积为 (
2

) A. 6cm2

B . 5cm2

C. 4cm2

D. 3cm2

14. 已 知二次 函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的 图象如 图所示 ,且关 于

x 的一元 二次方 程

ax 2 ? bx ? c ? m ? 0 没有实数根,有下列结论:① b2 ? 4ac ? 0 ;② abc ? 0 ;③ m ? 2 .
其中,正确结论的个数是( )
y 2

A.0

B.1

C.2

D.3

O

x

13 题图 15、如图,双曲线 y ?

14 题图

15 题图

m 与直线 y=kx+b 交于点 M、N,并且点 M 的坐标 为(1,3) ,点 x
的解为( )

N 的纵坐标为﹣1.根据图象信息可得关于 x 的方程 m ? kx ? b x

A.﹣3,1 B.﹣3,3 C.﹣1,1 D.﹣1,3 16.已知某校女子田径队 23 人年龄的平均数和中位数都是 13 岁,但是后来发现其中一位同 学的年龄登记错误,将 14 岁写成 15 岁,经重新计算后,正确的平均数为 a 岁,中位数为 b 岁,则下列结论中正确的是( ) A.a<13,b=13 B.a<13,b<13 C.a>13,b<13 D.a>13,b=13

卷Ⅱ(非选择题,共 78 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案写在题中横线上) 17.已知 a+b=4,a﹣b=3,则 a2﹣b2= ________ . 18.计算:

m m ?1 ? ? 2m ? 1 2m ? 1

______ .

19.如图,在平面直角坐标系中,以 O 为圆心,适当长为半径画弧,交 x 轴于点 M,
1 MN 2

2

交 y 轴于点 N,再分别以点 M、N 为圆心,大于 二

的长为半径画弧,两弧在第

象限交于点 P. 若点 P 的坐标为 (2a, b+1) , 则 a 与 b 的数量关系为 _____________ 20. 下面是一个某种规律排列的数阵:

19 题图 根据数阵的规律, 第n (n 是整数, 且 n≥3) 行从左到右数第 (n﹣2) 个数是_____________ (用含 n 的代数式表示). 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 21.(9 分) 我们已经知道:①1 的任何次幂都为 1;②-1 的偶数次幂也为 1; ③-1 的奇数次幂为-1;④任何不等于零的数的零次幂都为 1. 请问当 x 为何值时,代数式 (2x ? 3) x?2014 的值为 1.

22. (10 分)如图,在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,.将△ ABC 绕点 C 按顺时针方向旋 转 n 度后,得到△ DEC,点 D 刚好落在 AB 边上. (1)求 n 的值; (2) 若 F 是 DE 的中点, 判断四边形 ACFD 的形状, 并说明理由.

3

23.(10 分) 学习完统计知识后,小兵就本班同学的上学方式进行调查统计.如图是他通过 收集数据后绘制的两幅不完整的统计图.请你根据图中提供的信息解答下列问题: (1)该班共有__________名学生; (2)将表示“步行”部分的条形统计图补充完整; (3)在扇形统计图中, “骑车”部分扇形所对应的圆心角是___________度; (4)若全年级共 1000 名学生,估计全年级步行上学的学生有_________名; (5) 在全班同学中随机选出一名学生来宣读交通安全法规, 选出的恰好是骑车上学的学生 的概率是_______.

24.(12 分) 如
x

图, 平面

直角坐标系中,反比例函数 y ? k ( x ? 0) 的图象和矩形 ABCD,AD 平行于 x 轴,且 AB=2, AD=4,点 A 的坐标为(2,6). (1)直接写出 B、C、D 三点的坐标; (2)若将矩形向下平移,矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想这是哪两 个点,并求矩形的平移距离和反比例函数的关系式.

4

25.(12 分)如图,扇形 OBD 中∠BOD=60 o,∠BOE=45o,DA⊥OB,EB⊥OB. BE (1)求 的值; DA
⌒ (2)若 OE 与BD 交于点 M,OC 平分∠BOE,连接 CM.

说明 CM 为⊙O 的切线; (3)在(2)的条件下,若 BC=1,求 tan∠BCO 的值.

26. (13 分)类比、 转化、 分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到, 如下是一个案例,请补充完整。 ⑴原题:如图 1,在⊙O 中,MN 是直径,AB⊥MN 于点 B,CD⊥MN 于点 D,∠AOC=90°, AB=3,CD=4,则 BD= 。

⑵尝试探究:如图 2,在⊙O 中,MN 是直径,AB⊥MN 于点 B,CD⊥MN 于点 D,点 E 在 MN 上,∠AEC=90°,AB=3,BD=8,BE:DE=1:3,则 CD= (写出解答过程) 。

⑶类比延伸:利用图 3,再探究,当 A、C 两点分别在直径 MN 两侧,且 AB≠CD,AB⊥MN 于点 B , CD ⊥ MN 于点 D ,∠ AOC=90 °时,则线段 AB 、 CD 、 BD 满足的数量关系为 ________________ 。

(4)拓展迁移:如图 4,在平面直角坐标系中,抛物线经过 A(m,6) ,B(n,1)两点(其 中 0<m<3) ,且以 y 轴为对称轴,且∠AOB=90°,①求 mn 的值;②当 S ?AOB ? 10 时,求抛 物线的解析式。
A M B O D N M C

C A B E O

5
D N M
O N

答案部分
一、选择题 题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 D 5 B 6 B 7 C 8 C 9 C 10 C 11 B 12 C 13 A 14 D 15 A 16 A

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案写在题中横线上) 17.12 18.

2m ? 1 2m ? 1

19.2a+b=-1

20.

n2 ? 2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(9 分) 解:①当 2x+3=1 时,x=-1; ②当 2x+3=-1 时,x=-2,此时 x+2014=2012 为偶数; ③当 x+2014=0 时 x=-2014; 所以 x=-1 或 x=-2 或 x=-2014 时,代数式(2x+3)x+2012 的值为 1. 22. (10 分)解: (1)∵在 Rt△ ABC 中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ ABC 绕点 C 按顺时针 方向 旋转 n 度后,得到△ DEC, ∴AC=DC,∠A=60°, ∴△ADC 是等边三角形, ∴∠ACD=60°, ∴n 的值是 60; (2)四边形 ACFD 是菱形; 理由:∵∠DCE=∠ACB=90°,F 是 DE 的中点, ∴FC=DF=FE, ∵∠CDF=∠A=60°, ∴△DFC 是等边三角形,
6

∴DF=DC=FC, ∵△ADC 是等边三角形, ∴AD=AC=DC, ∴AD=AC=FC=DF, ∴四边形 ACFD 是菱形. 23.(10 分)(1)40; (2)8 人; (3)108°; (4)200; (5)30%.

24. 4) ,D (2)如图,矩形 ABCD 平移后得到矩形 A′B′C′D′, 设平移距离为 a,则 A′(2,6-a) ,C′(6,4-a) ∵点 A′,点 C′在 y=

(1)B(2,4) ,C(6, (6,6)

k 的图象上, x

∴2(6-a)=6(4-a), 解得 a=3, ∴点 A′(2,3) , ∴反比例函数的解析式为 y ?

6 . x

25. (1)∵EB⊥OB,∠BAC=45o,∴∠E=45o. AD 3 ∴∠E=∠BOE.∴OB=BE. 在 Rt△OAD 中,sin∠AOD= = , OD 2 BE 2 2 3 ∵OD=OB=BE,∴ = = . DA 3 3 (2)∵OC 平分∠BOC,∴∠BOC=∠MOC.

? ?OB=OM 在△BOC 和△MOC 中, ? ∠BOC=∠MOC ? ?OC=OC
∴△BOC≌△MOC(SAS). ∴∠CMO=∠OBC=90o. 又∵CM 过半径 OM 的外端, ∴CM 为⊙O的切线. (3)由(1) (2)证明知∠E=45o ,OB=BE,△BOC≌△MOC ,CM⊥ME. ∵CM⊥OE,∠E=45o.∴∠MCE=∠E =45o,∴CM=ME. 又∵△BOC≌△MOC ,∴MC =BC. ∴BC=MC=ME=1. ∵MC=ME=1, ∴在 Rt△MCE 中,根据勾股定理,得 CE= 2. ∴OB=BE= 2+1.
7

OB ∵ tan∠BCO= ,OB = 2+1,BC=1, BC ∴ tan∠BCO= 2+1. 26.⑴原题:∵AB⊥MN,CD⊥MN, ∴∠ABO=∠ODC=90° ∠BAO+∠AOB=90° ∵∠AOC=90° ∴∠DOC+∠AOB=90° ∴∠BAO=∠DOC 又∵OA=OC ∴△AOB≌△ODC(AAS) ∴OD=AB=3,OB=CD=4,∴BD=OB+OD=7 ⑵尝试探究:∵AB⊥MN,CD⊥MN,∴∠ABE=∠CDE=90° ∠BAE+∠AEB=90°∵∠AEC=90°∴∠DEC+∠AEB=90° ∴∠BAE=∠DEC ∴△ABE∽△EDC ∴ CD ? DE ∵AB=3,BD=8,BE:DE=1:3, BE AB ∴BE=2,DE=6 ∴
M A B E O D N C

图 2

CD 6 ∴CD=4 ? 2 3
如图 3(b)AB=CD+BD
A

⑶类比延伸:如图 3(a)CD=AB+BD;

A M O B D N
M D B C O N

说明:只要答出一种即可!

C

图 3(a)

图 3(b)

⑷拓展迁移:①作 BC ⊥ x 轴于 C 点, AD ⊥ x 轴于 D 点,

? A,B 点坐标分别为 (m,,, 6) (n 1) ,

,OC ? ?n,OD ? m,AD ? 6 , ∴ BC ? 1
又∵∠AOB=90° ∴∠BCO=∠ODA=90°,∠OBC=∠AOD ∴ △CBO ∽△DOA , ∴

CB CO BO 1 ?n ? ? , ? ? , ? mn ? ?6 。 DO DA OA m 6 1 OB ? OA ? 10 , 2

②由①得, OA ? mBO ,又 S△ AOB ? 10 ,∴

OA ? 20, ? mBO2 ? 20 , 即 OB?

8

又 OB2 ? BC 2 ? OC 2 ? n2 ? 1 , ?m(n2 ? 1) ? 20, ? mn ? ?6, ?m ? 2,n ? ?3, ∴ A 坐标为(2,6) ,B 坐标为(-3,1) ,代入得抛物线解析式为 y ? ? x 2 ? 10 。

9


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