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1.3.1单调性与最大(小)值(一)


1.3.1单调性与最大(小)值(一)

长沙市年生产总值统计表
生产总值 (亿元) 30 20 10

33.60 19.71 7 . 56 4.67 1985 1990 1994 1997 年份

长沙市高等学校在校学生数统计表
人数 (万人)

15 10 5

10.79

12.13

14.04

15.38

1985

1990

1994 1997 年份

长沙市日平均出生人数统计表
人数(人)

450 350 250 150

423 359 209 176 1985 1990 1994 1997 年份

长沙市耕地面积统计表
面积(万公顷) 33.96 34 32

32.32 30.78 29.80

30 28 1985

1990 1994 1997 年份

y
y=x+1
1

-1 O

x

y
y=x+1
1

y
2 y=-2x+2 1 x O

-1 O

x

y
y=x+1
1

y
2 y=-2x+2 1 x O

-1 O

x

y
O
1

y=-x2+2x
2

x

y
y=x+1
1

y
2 y=-2x+2 1 x O

-1 O

x

y
O
1

y=-x2+2x
2

y

x

1 y? x x O

y

y? x

2

O

x

y

y? x
f ( x1 )

2

x1

O

x

y

y? x
f ( x1 )

2

x1

O

x

y

y? x

2

f ( x1 )

x1 O 0

x

y

y? x

2

f ( x1 )

x1O

x

y

y? x

2

f ( x1 ) O

x1

x

y

y? x

2

f ( x1 )
O

x1

x

y

y? x

2

f ( x1 )
O

x1

x

y

y? x
f ( x1 )
O

2

x1

x

y

y? x f ( x1 )
2

O

x1

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y

O

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y

O

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y

O

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y
x1<x2

O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y = f(x )
x1<x2

O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y = f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x x1<x2

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y = f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x x1<x2

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y = f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x x1<x2? f(x1)<f(x2)

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y = f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x x1<x2? f(x1)<f(x2)

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y y = f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x )
f(x1)
O

f(x2) x2 x

x1

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x ) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f ( x ) 2 f(x1)
O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x ) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x ) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象? y y = f (x ) f(x1)
O

f(x2)

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x ) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象? y y = f (x ) 在给定区间上任取x1, x2 f(x1) f(x2)
O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x ) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象? y y = f (x ) 在给定区间上任取x1, x2 x1<x2 ? f(x1)>f(x2) f(x1) f(x2)
O

x1

x2

x

如何用x与f(x)来描述上升的图象? y 在给定区间上任取x1, x2 y = f(x ) x1<x2 ? f(x1)<f(x2) f ( x ) 2 f(x1) 函数f (x)在给定 O x1 x2 x 区间上为增函数.
如何用x与f(x)来描述下降的图象? y y = f (x ) 在给定区间上任取x1, x2 x1<x2 ? f(x1)>f(x2) f(x1) f(x2) 函数f (x)在给定 x1 O x2 x 区间上为减函数.

增函数、减函数的概念:

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.

增函数、减函数的概念:
一般地,设函数f(x)的定义域为I. 1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 增函数. 2.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是 减函数.

函数单调性的概念:

函数单调性的概念:
如果函数 y=f(x)在某区间上是增函 数或减函数,那么就说函数 f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性,这一区间叫 做 y=f(x)的单调区间.

函数单调性的概念:
如果函数 y=f(x)在某区间上是增函 数或减函数,那么就说函数 f(x)在这一 区间具有(严格的)单调性,这一区间叫 做 y=f(x)的单调区间.

在单调区间上增函数的图象是上升 的,减函数的图象是下降的.

例1 右图是定义在 3 2 闭区间[-5, 5]上 1 的函数y=f(x)的图 O 1 2 3 象,根据图象说出 -5 -4 -3 -2 -1 -1 y=f(x)的单调区间, -2 -3 以及在每一单调区 间上, y=f(x)是增函数还是减函数.

y

4 5 x

例1 右图是定义在 3 2 闭区间[-5, 5]上 1 的函数y=f(x)的图 O 1 2 3 象,根据图象说出 -5 -4 -3 -2 -1 -1 y=f(x)的单调区间, -2 -3 以及在每一单调区 间上, y=f(x)是增函数还是减函数.

y

4 5 x

解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2), [-2, 1),[1, 3),[3, 5],

例1 右图是定义在 3 2 闭区间[-5, 5]上 1 的函数y=f(x)的图 O 1 2 3 象,根据图象说出 -5 -4 -3 -2 -1 -1 y=f(x)的单调区间, -2 -3 以及在每一单调区 间上, y=f(x)是增函数还是减函数.

y

4 5 x

解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2), [-2, 1),[1, 3),[3, 5], 其中y=f(x)在[-5,-2),[1, 3)上是减函数, 在区间[-2, 1),[3, 5]上是增函数.

例1 右图是定义在 3 2 闭区间[-5, 5]上 1 的函数y=f(x)的图 O 1 2 3 4 5 象,根据图象说出 -5 -4 -3 -2 -1 -1 y=f(x)的单调区间, -2 图象法 -3 以及在每一单调区 间上, y=f(x)是增函数还是减函数.

y

x

解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2), [-2, 1),[1, 3),[3, 5], 其中y=f(x)在[-5,-2),[1, 3)上是减函数, 在区间[-2, 1),[3, 5]上是增函数.

变式1:求y=x2-4x+5的单调区间.

变式1:求y=x2-4x+5的单调区间.

变式2: y=x2-ax+4在[2,4]上是
单调函数,求a的取值范围.

例2 证明:函数f(x)=3x+2在R上是增函数.

判定函数在某个区间上的单调性的 方法步骤: 1. 设x1, x2∈给定的区间,且x1<x2; 2. 计算f(x1)-f(x2) 至最简; 3. 判断上述差的符号;
4. 下结论 (若差<0,则为增函数; 若差>0,则为减函数).

例2 证明:函数f(x)=3x+2在R上是增函数. 定义法

例2 证明:函数f(x)=3x+2在R上是增函数. 定义法 变式1:函数f(x)=-3x+2在R上是增函数 还是减函数?

例2 证明:函数f(x)=3x+2在R上是增函数. 定义法 变式1:函数f(x)=-3x+2在R上是增函数 还是减函数?

变式2:函数f(x)=kx+b(k≠0)在R上是增
函数还是减函数?并证明.

3 例3 证明:函数f(x)= 在(0, +∞)上是 x 减函数.

3 例3 证明:函数f(x)= 在(0, +∞)上是 x 减函数. 3 变式1:f(x)= 在(-∞, 0)上是增函数 x 还是减函数?

3 例3 证明:函数f(x)= 在(0, +∞)上是 x 减函数. 3 变式1:f(x)= 在(-∞, 0)上是增函数 x 还是减函数? 3 变式2:讨论函数f(x)= 在定义域上的 x 单调性.

3 例3 证明:函数f(x)= 在(0, +∞)上是 x 减函数. 3 变式1:f(x)= 在(-∞, 0)上是增函数 x 还是减函数? 3 变式2:讨论函数f(x)= 在定义域上的 x 单调性. 3 结论:函数f(x)= 在其定义域上不具有 x
单调性.

课堂小结
1.两个定义:增函数、减函数.

课堂小结
1.两个定义:增函数、减函数. 2.两种方法: 判断函数单调性的方法 有图象法、定义法.


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