当前位置:首页 >> 数学 >>

2014-2015学年湖北省宜昌一中高二(下)5月月考数学试卷(文科) Word版含解析

2014-2015 学年湖北省宜昌一中高二 (下) 5 月月考数学试卷 (文 科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的. ) 1.在复平面内,复数 z= A. B. ﹣ 的共轭复数的虚部为( C. i ) D. ﹣ i

2.设 a=log23,b= A. b<a<c

,c=

,则(

) C. c<b<a ) D. a<c<b

B. c<a<b

3.阅读程序框图,若输入 m=4,n=6,则输出 a,i 分别是(

A. a=12,i=3

B. a=12,i=4

C. a=8,i=3

D. a=8,i=4

4.已知 f(x)= A. 1

是奇函数,那么实数 a 的值等于( B. ﹣1 C. 0 ) > <0

) D. ±1

5.不等式 a>b 与 > 与同时成立的充要条件为( A. a>b>0 B. a>0>b C.

D.

> >0
2

6.在回归分析中,通常利用分析残差来判断回归方程拟合数据的精确高低,利用 R 来刻画 2 回归的效果,以下关于分析残差和 R 的描述不正确的是 ( )

A. 通过分析残差有利于发现样本数据中的可疑数据 B. 根据获取的样本数据计算 拟合效果越好 C. 根据获取的样本数据计算 ,若 越大,则模型的 ,若 越小,则模型的

拟合效果越差 2 2 D. 根据获取的样本数据计算 R ,若 R =0.85,则表明解释变量解释了 85%的预报变量 变化 7.通过随机询问 110 名大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由上表算得 k≈7.8,因此得到的正确结论是( ) A. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 8.下列说法正确的是( ) A. 命题“若 x<1,则﹣≤x≤1”的逆否命题是“若 x≥1,则 x<﹣1 或 x≥1” B. 命题“?x∈R,e >0”的否定是“?x∈R,e ≤0” C. “a>0”是“函数 f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(﹣∞,0)上单调递减”的充要条件 D. 已知命题 p:?x∈R,lnx<lgx;命题 q:?x0∈R,x0 =1﹣x0 ,则“(¬p)∨(¬q) 为真命题”. 9.现有四个函数:①y=x?sinx;②y=x?cosx;③y=x?|cosx|;④y=x?2 的图象(部分)如 下:
x 3 2 x x

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A. ①④③② B. ③④②① C. ④①②③

D. ①④②③

10.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,O 坐标原点,以 OF 直径的圆与 )

双曲线的一条渐近线相交于 O,A 两点,且|OA|=2|AF|,则双曲线的离心率等于( A. B. C. D.

11.已知函数 f(x)=x +ax +bx﹣a ﹣7a 在 x=1 处取得极大值 10,则 的值为( A. B. ﹣2 C. ﹣2 或

3

2

2



D. 不存在

12.已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A、B 在该抛物线上且位于 x 轴两侧, 为坐标原点) ,则△ ABO 与△ AOF 面积之和的最小值为( A. 4 B. C. ) D.

2

=6(O

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:“正四面体的内切球切于四个 面 .”

14.已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为: Ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为: 弦长为 .

(? 为参数) ,以

cosθ﹣sinθ=0,则圆 C 截直线 l 所得

15.函数 f(x)= .

的单调递减区间是

16.已知函数 f(x)=

(a 为常数,e 为自然对数的底数)的

图象在点 A(e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数 a 的取值范围 是 .

三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. )

17.已知 c>0,且 c≠1.设命题 p:函数 f(x)=logcx 为减函数,命题 q:当 x∈[ ,2]时, 函数 g(x)=x+ > 恒成立. 如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题, 求实数 c 的取值范围.

18.某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的志愿 者中随机抽取 100 名,按年龄所在的区间分组:第 1 组:[20,25) ;第 2 组:[25,30) ;第 3 组:[30,35) ;第 4 组:[35,40) ;第 5 组:[40,45].得到的频率分布直方图如下图所 示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (2)在满足条件(1)时,该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验, 求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

19.宜昌一中自驾游车队组织车友前往三峡大坝游玩.该车队是由 31 辆车身长都约为 5m (以 5m 计算)的同一车型的车组成的,行程中匀速通过一个长为 2725m 的隧道(通过该 隧道的车速不能超过 25m/s) .设车队的速度为 xm/s,根据安全和车流的需要,当 0<x≤12 时, 相邻两车之间保持 20m 的距离; 当 12<x≤25 时, 相邻两车之间保持 + m 的距离. 已

知自第 1 辆车车头进入隧道至第 31 辆车车尾离开隧道所用的时间为 y(s) . (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)求该车队通过隧道所用时间 y 的最小值及此时车队的速度. 20.已知函数 f(x)=x ﹣ ax (a>0) ,x∈R. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对于任意的 x1∈(2,+∞) ,都存在 x2∈(1,+∞) ,使得 f(x1)?f(x2)=1,求 a 的取值范围.
2 3

21.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)上的点到两焦点的距离和为 ,短轴长为 ,直线 l

与椭圆 C 交于 M,N 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 方程;

(Ⅱ)若直线 MN 与圆 O:x +y =

2

2

相切,证明:∠MON 为定值;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求|OM||ON|的取值范围.

22.已知函数 f(x)=|x﹣2|,g(x)=﹣|x+3|+m. (1)解关于 x 的不等式 f(x)+a﹣1>0(a∈R) ; (2)若函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,求 m 的取值范围.

2014-2015 学年湖北省宜昌一中高二(下)5 月月考数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中, 只有一个是符合题目要求的. ) 1.在复平面内,复数 z= A. B. ﹣ 的共轭复数的虚部为( C. i ) D. ﹣ i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由复数代数形式的除法运算化简复数 z,求出其共轭复数,则答案可求. 解答: 解:∵z= ∴ ∴复数 z= , 的共轭复数的虚部为 . = ,

故选:A. 点评:本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题.

2.设 a=log23,b= A. b<a<c

,c=

,则(

) C. c<b<a D. a<c<b

B. c<a<b

考点:对数值大小的比较. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用对数函数和指数函数的单调性比较大小. 解答: 解:∵ ,

∴c<a<b. 故选:B. 点评:本题考查三个数的大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数和指数 函数的单调性的合理运用. 3.阅读程序框图,若输入 m=4,n=6,则输出 a,i 分别是( )

A. a=12,i=3

B. a=12,i=4

C. a=8,i=3

D. a=8,i=4

考点:程序框图. 专题:阅读型;图表型;算法和程序框图. 分析:由程序框图依次计算第一、 第二、 第三次运行的结果, 直到满足条件满足 a 被 6 整除, 结束运行,输出此时 a、i 的值. 解答: 解:由程序框图得: 第一次运行 i=1,a=4; 第二次运行 i=2,a=8; 第三次运行 i=3,a=12;满足 a 被 6 整除,结束运行,输出 a=12,i=3. 故选 A. 点评:本题考查了直到型循环结构的程序框图,解答的关键是读懂程序框图.

4.已知 f(x)= A. 1

是奇函数,那么实数 a 的值等于( B. ﹣1 C. 0

) D. ±1

考点:奇函数. 专题:函数的性质及应用. 分析:由函数 f(x)是 R 上的奇函数,可得 f(0)=0,进而求出答案. 解答: 解:∵函数 f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0,∴ 故选 A. 点评:本题考查了奇函数的性质,应用 f(0)=0 是解决问题的关键. 5.不等式 a>b 与 > 与同时成立的充要条件为( A. a>b>0 B. a>0>b C. ) > <0 D. > >0 ,解得 a=1.

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.

专题:简易逻辑. 分析:根据不等式的性质即可得到结论. 解答: 解: > 等价为 ﹣ = 若 a>b,则 b﹣a<0,即 ab<0, ∴a>0,b<0, 即不等式 a>b 与 > 与同时成立的充要条件 a>0>b, 故选:B 点评:本题主要考查不等式的性质,以及充要条件的求解,比较基础. 6.在回归分析中,通常利用分析残差来判断回归方程拟合数据的精确高低,利用 R 来刻画 2 回归的效果,以下关于分析残差和 R 的描述不正确的是 ( ) A. 通过分析残差有利于发现样本数据中的可疑数据 B. 根据获取的样本数据计算 拟合效果越好 C. 根据获取的样本数据计算 拟合效果越差 D. 根据获取的样本数据计算 R ,若 R =0.85,则表明解释变量解释了 85%的预报变量 变化 考点:相关系数. 专题:综合题;概率与统计. 分析:在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好,残差平方和越大, 说明模型的拟合效果越差,可得结论. 解答: 解:在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好,残差平方和 越大,说明模型的拟合效果越差, 故选:B. 点评:本题考查残差平方和与模型的拟合效果的关系, 考查了学生对概念的理解, 属于基础 题. 7.通过随机询问 110 名大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表: 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由上表算得 k≈7.8,因此得到的正确结论是( ) A. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
2 2 2



,若

越小,则模型的

,若

越大,则模型的

D. 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 考点:独立性检验的应用. 专题:计算题. 分析:根据列联表数据得到 7.8,发现它大于 6.635,得到有 99%以上的把握认为“爱好这项 运动与性别有关”,从而可得结论. 解答: 解:∵7.8>6.635, ∴有 0.01=1%的机会错误,即有 99%以上的把握认为“爱好这项运动与性别有关” 故选 C. 点评:本题考查独立性检验的应用,考查利用临界值,进行判断,是一个基础题 8.下列说法正确的是( ) A. 命题“若 x<1,则﹣≤x≤1”的逆否命题是“若 x≥1,则 x<﹣1 或 x≥1” x x B. 命题“?x∈R,e >0”的否定是“?x∈R,e ≤0” C. “a>0”是“函数 f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(﹣∞,0)上单调递减”的充要条件 3 2 D. 已知命题 p:?x∈R,lnx<lgx;命题 q:?x0∈R,x0 =1﹣x0 ,则“(¬p)∨(¬q) 为真命题”. 考点:命题的真假判断与应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据复合命题以及函数的单调性分别对 A、B、C、D 各个选项进行判断即可. 解答: 解:命题“若 x<1,则﹣≤x≤1”的逆否命题是“若 x<﹣1 或 x≥1,则 x≥1”,故 A 错 误; x x 命题“?x∈R,e >0”的否定是“?x∈R,e ≤0,故 B 错误; 函数 f(x)=|(ax﹣1)x|在区间(﹣∞,0)上单调递减”的充要条件是:a≥0,故 C 错误; 已知命题 p:?x∈R,lnx<lgx;由 lnx﹣lgx=lnx﹣ ∵1﹣ =lnx(1﹣ ) ,

>0,∴x>1 时,lnx>lgx,0<x<1 时,lnx<lgx,故命题 p 是假命题,¬p 是

真命题; 故不论命题¬q 真假,则“(¬p)∨(¬q)总为真命题,故 D 正确; 故选:D. 点评:本题考查了复合命题的判断,考查函数的单调性问题,是一道综合题. 9.现有四个函数:①y=x?sinx;②y=x?cosx;③y=x?|cosx|;④y=x?2 的图象(部分)如 下:
x

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( ) A. ①④③② B. ③④②① C. ④①②③

D. ①④②③

考点:函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析:从左到右依次分析四个图象可知,第一个图象关于 y 轴对称,是一个偶函数,第二个 图象不关于原点对称,也不关于 y 轴对称,是一个非奇非偶函数;第三、四个图象关于原点 对称,是奇函数,但第四个图象在 y 轴左侧,函数值不大于 0,分析四个函数的解析后,即 可得到函数的性质,进而得到答案. 解答: 解:分析函数的解析式,可得: x ①y=x?sinx 为偶函数;②y=x?cosx 为奇函数;③y=x?|cosx|为奇函数,④y=x?2 为非奇非 偶函数 且当 x<0 时,③y=x?|cosx|≤0 恒成立; 则从左到右图象对应的函数序号应为:①④②③ 故选:D. 点评:本题考查的知识点是函数的图象与图象变化, 其中函数的图象或解析式, 分析出函数 的性质,然后进行比照,是解答本题的关键.

10.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,O 坐标原点,以 OF 直径的圆与 )

双曲线的一条渐近线相交于 O,A 两点,且|OA|=2|AF|,则双曲线的离心率等于( A. B. C. D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:以 OF 直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于 O,A 两点,且|OA|=2|AF|,可得 = , 利用 e= ,求出双曲线的离心率.

解答: 解:∵以 OF 直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于 O,A 两点,且|OA|=2|AF|, ∴ = , ∴e= = ,

故选:D. 点评:本题考查双曲线的离心率,考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,属于中档题.
3 2 2

11.已知函数 f(x)=x +ax +bx﹣a ﹣7a 在 x=1 处取得极大值 10,则 的值为( A. B. ﹣2 C. ﹣2 或



D. 不存在

考点:函数在某点取得极值的条件. 专题:计算题.

分析:由于 f′(x)=3x +2ax+b,依题意知,f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b﹣a ﹣7a=10, 于是有 b=﹣3﹣2a,代入 f(1)=10 即可求得 a,b,从而可得答案. 解答: 解:∵f(x)=x +ax +bx﹣a ﹣7a, 2 ∴f′(x)=3x +2ax+b, 3 2 2 又 f(x)=x +ax +bx﹣a ﹣7a 在 x=1 处取得极大值 10, 2 ∴f′(1)=3+2a+b=0,f(1)=1+a+b﹣a ﹣7a=10, 2 ∴a +8a+12=0, ∴a=﹣2,b=1 或 a=﹣6,b=9. 2 当 a=﹣2,b=1 时,f′(x)=3x ﹣4x+1=(3x﹣1) (x﹣1) , 当 <x<1 时,f′(x)<0,当 x>1 时,f′(x)>0, ∴f(x)在 x=1 处取得极小值,与题意不符; 当 a=﹣6,b=9 时,f′(x)=3x ﹣12x+9=3(x﹣1) (x﹣3) 当 x<1 时,f′(x)>0,当 1<x<3 时,f′(x)<0, ∴f(x)在 x=1 处取得极大值,符合题意; ∴ =﹣ =﹣ . 故选 A. 2 点评:本题考查函数在某点取得极值的条件,求得 f′(x)=3x +2ax+b,利用 f′(1)=0,f (1)=10 求得 a,b 是关键,考查分析、推理与运算能力,属于中档题.
2 2 3 2 2

2

2

12.已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A、B 在该抛物线上且位于 x 轴两侧, 为坐标原点) ,则△ ABO 与△ AOF 面积之和的最小值为( A. 4 B. C. ) D.

=6(O

考点:抛物线的简单性质. 专题:平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:先设直线方程和点的坐标, 联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程, 再利用 韦达定理及 =6 消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.

解答: 解:设直线 AB 的方程为:x=ty+m, 点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 直线 AB 与 x 轴的交点为 M(m,0) , x=ty+m 代入 y =x,可得 y ﹣ty﹣m=0, 根据韦达定理有 y1?y2=﹣m, ∵ =6,
2 2 2

∴x1?x2+y1?y2=6,从而(y1?y2) +y1?y2﹣6=0, ∵点 A,B 位于 x 轴的两侧, ∴y1?y2=﹣3,故 m=3. 不妨令点 A 在 x 轴上方,则 y1>0,

又 F( ,0) , ∴S△ ABO+S△ AFO= ×3×(y1﹣y2)+ × y1= y1+

≥2 当且仅当

= y1=



,即 y1=

时,取“=”号,

∴△ABO 与△ AFO 面积之和的最小值是



故选: . 点评: 求解本题时,应考虑以下几个要点: 1、联立直线与抛物线的方程,消 x 或 y 后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消 元,这是处理此类问题的常见模式. 2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高. 3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想: “正四面体的内切球切于四个面 各 正三角形的中心 .” 考点:类比推理. 专题:综合题;推理和证明. 分析:由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时, 常用的思路有: 由平面图形中点的 性质类比推理出空间里的线的性质, 由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质, 由 平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质. 故我们可以根据已知中平面几何中, 关于 线的性质“正三角形的内切圆切于三边的中点”, 推断出一个空间几何中一个关于内切球的性 质. 解答: 解: 由平面中关于正三角形的内切圆的性质: “正三角形的内切圆切于三边的中点”, 根据平面上关于正三角形的内切圆的性质类比为空间中关于内切球的性质, 我们可以推断在空间几何中有: “正四面体的内切球切于四面体各正三角形的位置是各正三角形的中心” 故答案为:各正三角形的中心. 点评:本题考查的知识点是类比推理,类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相 似性或一致性; (2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜 想) .

14.已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为: Ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为: 弦长为 .

(? 为参数) ,以

cosθ﹣sinθ=0,则圆 C 截直线 l 所得

考点:简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析:首先把参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程,进一步求出圆心到直线的距离, 进一步利用勾股定理求出结果. 解答: 解:平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为: 转化成直角坐标方程为:x +(y﹣2) =4, 直线 l 的方程: cosθ﹣sinθ=0, 转化成直角坐标方程为: 所以:圆心(0,2)到直线 所以:圆被直线所截得弦长: , 的距离 d=1, =2 .
2 2

(φ 为参数) ,

故答案为: . 点评:本题考查的知识要点: 参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程, 点到直线的距离, 勾股定理的应用.

15.函数 f(x)=

的单调递减区间是

(0,1) , (l,e) . 考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:计算题. 分析:利用导数求函数的单调区间的步骤是: ①求导函数 f′ (x) ; ②令 f′ (x) >0 (或<0) , 解不等式;③得到函数的增区间(或减区间)本题中需先求出导函数 f′(x) (x)>0,解得函数的单调增区间. 解答: 解:由已知得:f′(x)= 当 0<x<e 且 x≠1 时,f′(x)<0, 故函数 f(x)= 的单调递减区间是(0,1) , (1,e) . , ,令 f′

故答案为(0,1) , (1,e) 点评:本题考查利用函数的导数来求函数的单调性, 考查对两函数的商的导数的求导公式的 掌握情况.

16.已知函数 f(x)=

(a 为常数,e 为自然对数的底数)的

图象在点 A(e,1)处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数 a 的取值范围是 .

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用导数的几何意义求出切线方程, 利用分段函数与切线有三个不同的交点, 得到当 x<1 时,切线和二次函数有两个不同的交点,利用二次函数根的分布建立不等式关系,即 可求得 a 的取值范围. 解答: 解:当 x≥1,函数 f(x)的导数,f'(x)= ,则 f'(e)= , 则在 A(e,1)处的切线方程为 y﹣1= (x﹣e) ,即 y= 当 x≥1 时,切线和函数 f(x)=lnx 有且只有一个交点, ∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点, 则当 x<1 时,函数 f(x)= = ,有两个不同的交点, .

即(x+2) (x﹣a)=x,在 x<1 时,有两个不同的根, 2 设 g(x)=(x+2) (x﹣a)﹣x=x +(1﹣a)x﹣2a,

则满足











解得



, . .

即实数 a 的取值范围是 故答案为:

点评:不同主要考查导数的几何意义, 以及函数交点问题, 利用二次函数的根的分布是解决 本题的关键.考查学生分析问题的能力,综合性较强. 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知 c>0,且 c≠1.设命题 p:函数 f(x)=logcx 为减函数,命题 q:当 x∈[ ,2]时, 函数 g(x)=x+ > 恒成立. 如果 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题, 求实数 c 的取值范围.

考点:复合命题的真假. 专题:函数的性质及应用;推理和证明. 分析:由 c>0,命题 p:函数 y=c 为减函数.可得 0<c<1.命题 q:当 x∈[ ,2]时,函数 f(x)=x+ > 恒成立,可得 <(x+ )min=2,利用基本不等式即可得出 c> .由 p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题,可得 p,q 中必然一个真命题一个为假命题.解出即可. 解答: 解:由 c>0,命题 p:函数 y=c 为减函数. ∴0<c<1. 命题 q:当 x∈[ ,2]时,函数 f(x)=x+ > 恒成立,可得 <(x+ )min=2, ∴ <2, 又 c>0, ∴c> . ∵p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题, ∴p,q 中必然一个真命题一个为假命题. ①当 p 真 q 假时,0<c≤ ,c 的取值范围是(0, ]. ②当 q 真 p 假时,c≥1,c 的取值范围是[1,+∞) . 故实数 c 的取值范围为: (0, ]∪[1,+∞) .
x x

点评:本题考查了指数函数的单调性、基本不等式、不等式组的解法、“或”“且”“非”命题的 真假的判断等基础知识,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难 题. 18.某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者,现从符合条件的志愿 者中随机抽取 100 名,按年龄所在的区间分组:第 1 组:[20,25) ;第 2 组:[25,30) ;第 3 组:[30,35) ;第 4 组:[35,40) ;第 5 组:[40,45].得到的频率分布直方图如下图所 示. (1)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参加广场的宣传活动,应从第 3,4,5 组各抽取多少名志愿者? (2)在满足条件(1)时,该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验, 求第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率.

考点:频率分布直方图. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据频率= ,求出第 3、4、5 组的人数,再计算用分层抽样方法在

各组应抽取的人数; (2)利用列举法求出从 6 名志愿者中取 2 名志愿者的基本事件数以及第 4 组的 2 名志愿者 至少有一名被抽中的基本事件数,求出对应的概率即可. 解答: 解: (1)第 3 组的人数为 0.06×5×100=30, 第 4 组的人数为 0.04×5×100=20, 第 5 组的人数为 0.02×5×100=10, 所以第 3,4,5 组共 60 名志愿者; 利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽取 6 名志愿者,每组抽取的人数为: 第 3 组: 第 4 组: 第 5 组: , , ;

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取的人数为 3 人,2 人,1 人; (2)记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2, 第 5 组的 1 名志愿者为 C1; 从 6 名志愿者中取 2 名志愿者有:

(A1,A2) , (A1,A3) (A1,B1) , (A1,B2) , (A1,C1) , (A2,A3) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A2,C1) , (A3,B1) , (A3,B2) , (A3,C1) , (B1,B2) , (B1,C1) , (B2,C1)共 15 种方法; 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1) , (A1,B2) , (A2,B1) , (A2,B2) , (A3,B1) , (A3,B2) , (B1,B2) , (B1,C1) , (B2,C1)共 9 种; 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 . 点评:本题考查了频率、 频数与样本容量的应用问题, 也考查了用列举法求古典概型的概率 问题,是基础题目. 19.宜昌一中自驾游车队组织车友前往三峡大坝游玩.该车队是由 31 辆车身长都约为 5m (以 5m 计算)的同一车型的车组成的,行程中匀速通过一个长为 2725m 的隧道(通过该 隧道的车速不能超过 25m/s) .设车队的速度为 xm/s,根据安全和车流的需要,当 0<x≤12 时, 相邻两车之间保持 20m 的距离; 当 12<x≤25 时, 相邻两车之间保持 + m 的距离. 已

知自第 1 辆车车头进入隧道至第 31 辆车车尾离开隧道所用的时间为 y(s) . (1)将 y 表示为 x 的函数; (2)求该车队通过隧道所用时间 y 的最小值及此时车队的速度. 考点:分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析: (1)利用当 0<x≤12 时,相邻两车之间保持 20m 的距离;当 12<x≤25 时,相邻 两车之间保持( + )m 的距离,可得分段函数;

(2)分段求出函数的最小值,即可得到分段函数的最小值. 解答: 解: (1)∵当 0<x≤12 时,相邻两车之间保持 20m 的距离; 当 12<x≤25 时,相邻两车之间保持( ∴当 0<x≤12 时,y= + )m 的距离, = ;

当 12<x≤25 时,y=

=5x+

+10

∴y=



(2)当 0<x≤12 时,y= ∴x=12m/s 时,ymin=290s;



当 12<x≤25 时,y=5x+ 当且仅当 5x=

+10≥2

+10=250s

,即 x=24m/s 时取等号,即 x=24m/s 时,ymin=250s

∵290>250,∴x=24m/s 时,ymin=250s. 答:该车队通过隧道时间 y 的最小值为 250s 及此时该车队的速度为 24m/s. 点评:本题考查分段函数模型的构建, 考查学生利用数学知识解决实际问题的能力, 属于中 档题. 20.已知函数 f(x)=x ﹣ ax (a>0) ,x∈R. (Ⅰ)求 f(x)的单调区间和极值; (Ⅱ)若对于任意的 x1∈(2,+∞) ,都存在 x2∈(1,+∞) ,使得 f(x1)?f(x2)=1,求 a 的取值范围. 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函 数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导数,利用导数的正负,可得 f(x)的单调区间,从而求出函数的极值; (Ⅱ)由 f(0)=f( )=0 及(Ⅰ)知,当 x∈(0, )时,f(x)>0;当 x∈( ,+∞)
2 3

时,f(x)<0.设集合 A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合 B={

|x∈(1,+∞) ,f(x)

≠0},则对于任意的 x1∈(2,+∞) ,都存在 x2∈(1,+∞) ,使得 f(x1)?f(x2)=1,等价 于 A?B,分类讨论,即可求 a 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=2x﹣2ax =2x(1﹣ax) ,令 f′(x)=0,解得 x=0 或 x= . 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (﹣∞,0) ﹣ 递减 0 0 0 (0, ) + 递增 0 ( ,+∞) ﹣ 递减 ,单调递增区间为 ; ,
2

所以,f(x)的单调递减区间为: (﹣∞,0)和

当 x=0 时,有极小值 f(0)=0,当 x= 时,有极大值 f( )=

(Ⅱ)由 f(0)=f( 时,f(x)<0.

)=0 及(Ⅰ)知,当 x∈(0,

)时,f(x)>0;当 x∈(

,+∞)

设集合 A={f(x)|x∈(2,+∞)},集合 B={

|x∈(1,+∞) ,f(x)≠0},则对于任

意的 x1∈(2,+∞) ,都存在 x2∈(1,+∞) ,使得 f(x1)?f(x2)=1,等价于 A?B,显然 A≠?

下面分三种情况讨论: ①当 ②当 1≤ >2,即 0<a< 时,由 f( ≤2,即 )=0 可知,0∈A,而 0?B,∴A 不是 B 的子集;

时,f(2)≤0,且 f(x)在(2,+∞)上单调递减,故 A=(﹣

∞,f(2) ) ,∴A?(﹣∞,0) ;由 f(1)≥0,有 f(x)在(1,+∞)上的取值范围包含(﹣ ∞,0) ,即(﹣∞,0)?B,∴A?B; ③当 <1,即 a> 时,有 f(1)<0,且 f(x)在(1,+∞)上单调递减,故 B=( ,

0) ,A=(﹣∞,f(2) ) ,∴A 不是 B 的子集. 综上,a 的取值范围是[ ].

点评:利用导数可以求出函数的单调区间和极值; 解决取值范围问题, 很多时候要进行等价 转化,分类讨论.

21.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)上的点到两焦点的距离和为 ,短轴长为 ,直线 l

与椭圆 C 交于 M,N 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 方程; (Ⅱ)若直线 MN 与圆 O:x +y =
2 2

相切,证明:∠MON 为定值;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求|OM||ON|的取值范围.

考点:椭圆的简单性质. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的定义进行求解; (2)利用圆心到直线的距离,求出直线的斜率与截距的关系,再利用平面向量的数量积求 证角为定值; (3)利用三角换元进行求解. 解答: 解: (Ⅰ) 由椭圆 C: =1 (a>b>0) 上的点到两焦点的距离和为 , 得 2a= ,

即 a= ; 由短轴长为 ,得 2b= ,即 b=

所以椭圆 C 方程:9x +16y =1 (Ⅱ)当直线 MN⊥x 轴时,因为直线 MN 与圆 O:x +y = 所以直线 MN 方程:x= 或 x=﹣ , 当直线方程为 x= ,得两点分别为( , )和( ,﹣ ) ,故 所以∠MON= ;同理可证当 x=﹣ ,∠MON= ;
2 2 2 2

2

2

相切,

?

=0,

当直线 MN 与 x 轴不垂直时,设直线 MN:y=kx+b,直线 MN 与圆 O:x +y = (x1,y1) ,N(x2,y2) , 由直线 MN 与圆 O 相切得 d= = ,即 25b =k +1,①
2 2 2 2 2

的交点 M

联立 y=kx+b 与椭圆方程,得(9+16k )x +32kbx+16b ﹣1=0, ∴△>0,x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

?

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b) (kx2+b)= =0,即∠MON= 为定值. , ,

,②

由①②,得 综上,∠MON=

?

(Ⅲ)不妨设∠XOM=θ,则∠XON=θ±

由三角函数定义可知:M(|OM|cosθ,|OM|sinθ) ,N(±|ON|sinθ,±|ON|cosθ) 2 2 因为点 M、N 都在 9x +16y =1 上, 所以 ? =9cos θ+16sin θ,
2 2 2 2

=9sin θ+16cos θ
2 2

2

2

=(9cos θ+16sin θ) (9sin θ+16cos θ)
2 2 2 2

=9×16+(9﹣16) sin θcos θ =9×16+(9﹣16)
2

sin 2θ, ? , ∈[9×16, ]. ],

2

又 sin 2θ∈[0,1],故 ∴|OM||ON|的取值范围是[

点评:本题考查椭圆方程的求法,考查角为定值的证明,考查线段的取值范围的求法,是中 档题,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用. 22.已知函数 f(x)=|x﹣2|,g(x)=﹣|x+3|+m. (1)解关于 x 的不等式 f(x)+a﹣1>0(a∈R) ; (2)若函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,求 m 的取值范围. 考点:绝对值不等式的解法;函数恒成立问题. 专题:计算题;压轴题. 分析: (1)不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1>0,对参数 a 进行分类讨论,分类解不等式; (2)函数 f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|>m 恒成 立,利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值,就可以求出 m 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)不等式 f(x)+a﹣1>0 即为|x﹣2|+a﹣1>0, 当 a=1 时,解集为 x≠2,即(﹣∞,2)∪(2,+∞) ; 当 a>1 时,解集为全体实数 R; 当 a<1 时,解集为(﹣∞,a+1)∪(3﹣a,+∞) . (Ⅱ)f(x)的图象恒在函数 g(x)图象的上方,即为|x﹣2|>﹣|x+3|+m 对任意实数 x 恒成 立, 即|x﹣2|+|x+3|>m 恒成立, (7 分) 又由不等式的性质,对任意实数 x 恒有|x﹣2|+|x+3|≥|(x﹣2)﹣(x+3)|=5,于是得 m<5, 故 m 的取值范围是(﹣∞,5) . 点评:本题考查绝对值不等式的解法,分类讨论的方法,以及不等式的性质,涉及面较广, 知识性较强.