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2014《创新设计》二轮专题复习阶段检测卷5


阶段检测卷(五)
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.一支田径运动队有男运动员 56 人,女运动员 42 人;现用分层抽样的方法抽 取若干人,若抽取的男运动员有 8 人,则抽取的女运动员有________人. 解析 答案 8 x 设抽取的女运动员有 x 人,则56=42,解得 x=6. 6

2.(2011· 江苏卷)某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为 10,6,8,5,6,则该 组数据的方差 s2=________. 解析 1 由题意得该组数据的平均数为 x =5(10+6+8+5+6)=7,所以方差

1 为 s2=5[32+(-1)2+12+(-2)2+(-1)2]=3.2. 答案 3.2

3.(2011· 江苏卷)从 1,2,3,4 这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另 一个数的两倍的概率是________. 解析 从中取出两个数共有{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}6 种情

2 1 况.其中一个数是另一个数的两倍的情况共有{1,2},{2,4}2 种,∴p=6=3. 答案 1 3

4.(2010· 江苏卷)盒子里共有大小相同的 3 只白球,1 只黑球.若从中随机摸出 两只球,则它们颜色相同的概率是________. 解析 四个球取出两球有 6 种等可能基本事件:(黑,白 1),(黑,白 2),(黑,

白 3),(白 1,白 2),(白 1,白 3),(白 2,白 3).两只球颜色相同有 3 种:(白 1, 白 2),(白 1,白 3),(白 2,白 3). 3 1 所以所求概率为 P=6=2. 答案 1 2

5.(2013· 南通调研)已知正四棱锥的底面边长是 6,高为 7,这个正四棱锥的侧 面积是________.

解析 48. 答案

1 由于四棱锥的斜高 h= ? 7?2+32=4,故其侧面积 S=2×4×6×4=

48

6.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛,9 位评 委为参赛作品 A 给出的分数如茎叶图所示.记分员 在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为 91,复核员在复核时,发 现有一个数字(茎叶图中的 x)无法看清,若记分员计算无误,则数字 x 应该是 ________ 解析 当 x≥4 时,

89+89+92+93+92+91+94 640 = 7 ≠91,∴x<4, 7 ∴ 89+89+92+93+92+91+x+90 =91,∴x=1. 7 1

答案

7.(2012· 辽宁卷改编)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形,邻边 长分别等于线段 AC, CB 的长, 则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为________. 解析 设线段 AC 的长为 x cm,则线段 CB 的长为(12-x)cm,那么矩形的面

积为 x(12-x)cm2,由 x(12-x)>20,解得 2<x<10.又 0<x<12,所以该矩 2 形面积大于 20 cm2 的概率为3. 答案 2 3

8.(2013· 辽宁卷改编)某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如 图,数据的分组依次为:[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于 60 分 的人数是 15,则该班的学生人数是________.

解析

由频率分布直方图,低于 60 分的频率为(0.01+0.005)×20=0.3.所以

15 该班学生人数0.3=50. 答案 50

9.(2012· 南通模拟)给出如下 10 个数据:63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.根据这些 数 据 制 作 频 率 分 布 直 方 图 , 其 中 [64.5,66.5) 这 组 所 对 应 的 矩 形 的 高 为 ________. 解析 落在区间[64.5,66.5)的数据依次为 65,66,66,65,共 4 个,则矩形的高等

4 10 频率 1 于 = =5. 组距 66.5-64.5 答案 1 5

10.(2012· 淮阴、海门、天一中学联考)在圆 x2+y2=4 所围成的区域内随机取一 个点 P(x,y),则|x|+|y|≤2 的概率为________. 解析 |x|+|y|≤2 表示的图形是正方形及其内部,用正方形的面积除以圆 x2

2 +y2=4 的面积易得概率为π. 答案 2 π

11.如图,正方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________. 解析 ∵EF∥平面 AB1C, EF?平面 ABCD, 平面 ABCD∩

平面 AB1C=AC,∴EF∥AC,又∵E 是 AD 的中点,∴F 1 1 是 CD 的中点,即 EF 是△ACD 的中位线,∴EF=2AC=2×2 2= 2. 答案 2

12. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为 0 的概率是 ________. 解析 ①个位数为 1,3,5,7,9 时,十位数为 2,4,6,8;个位数为 0,2,4,6,8 时,十

位数为 1,3,5,7,9,共 45 个. 5 1 ②个位数为 0 时,十位数为 1,3,5,7,9,共 5 个,个位数为 0 的概率是45=9.

答案

1 9

→ +PC → +2PA → =0,现将一粒黄豆随机 13.已知 P 是△ABC 所在平面内一点, PB
撒在△ABC 内,则黄豆落在△PBC 内的概率是________. 解析

→ +PC → +2PA → =0,得PB → +PC → =2AP → ,而由向 取边 BC 上的中点 D,由PB

→ +PC → =2PD → ,则有AP → =PD → ,即 P 为 AD 的中点,则 S 量的中点公式知PB △ABC
1 =2S△PBC,根据几何概率的概率公式知,所求的概率为2. 答案 1 2

14.(2013· 安徽卷改编)某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女生,随 机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成 绩分别为 86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93 ①这种抽样方法是一种分层抽样;②这种抽样方法是一种系统抽样;③这五 名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差;④该班男生成绩的平均数小 于该班女生成绩的平均数,则以上说法一定正确的是________. 解析 若抽样方法是分层抽样,男生、女生分别抽取 6 人、4 人,所以①错;

1 由题目看不出是系统抽样,所以②错;这五名男生成绩的平均数, x 男=5(86 1 +94+88+92+90)=90,这五名女生成绩的平均数 x 女=5(88+93+93+88 1 2 2 2 2 2 +93)=91,故这五名男生成绩的方差为 s2 甲= (4 +4 +2 +2 +0 )=8,这五 5 1 2 名女生成绩的方差为 s乙 =5(32+22+22+32+22)=6.显然③正确,④错. 答案 ③

二、解答题(共 90 分) 15.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,PD ⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是直角梯形,DC∥AB,∠ BAD=90° ,且 AB=2AD=2DC=2PD=4,E 为 PA 的 中点. (1)求证:DE∥平面 PBC;

(2)求证:DE⊥平面 PAB. 证明 (1)设 PB 的中点为 F,连接 EF、CF,EF∥AB,DC∥AB,

1 所以 EF∥DC,且 EF=DC=2AB. 故四边形 CDEF 为平行四边形,可得 ED∥CF. 又 ED?平面 PBC,CF?平面 PBC, 故 DE∥平面 PBC. (2)因为 PD⊥底面 ABCD,AB?平面 ABCD, 所以 AB⊥PD. 又因为 AB⊥AD,PD∩AD=D,AD?平面 PAD,PD?平面 PAD,所以 AB ⊥平面 PAD. ED?平面 PAD,故 ED⊥AB.又 PD=AD,E 为 PA 的中点,故 ED⊥PA; PA∩AB=A,PA?平面 PAB,AB?平面 PAB, 所以 ED⊥平面 PAB. 16.(本小题满分 14 分)(2013· 南京、盐城模拟)如图,正方 形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD, AE⊥平面 CDE,且 AB=2AE. (1)求证:AB∥平面 CDE; (2)求证:平面 ABCD⊥平面 ADE. 证明 (1)正方形 ABCD 中,AB∥CD,

又 AB?平面 CDE,CD?平面 CDE, 所以 AB∥平面 CDE. (2)因为 AE⊥平面 CDE,且 CD?平面 CDE, 所以 AE⊥CD,又正方形 ABCD 中,CD⊥AD,且 AE∩AD=A, AE、AD?平面 ADE,所以 CD⊥平面 ADE, 又 CD?平面 ABCD, 所以平面 ABCD⊥平面 ADE. 17.(本小题满分 14 分)(2013· 苏州质检)如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1 中,已知 ∠ACB=90° ,M 为 A1B 与 AB1 的交点,N 为棱 B1C1 的中点,

(1)求证:MN∥平面 AA1C1C; (2)若 AC=AA1,求证:MN⊥平面 A1BC. 证明 (1)连接 AC1,因为 M 为 A1B 与 AB1 的交点,所以 M 是 AB1 的中点,

又 N 为棱 B1C1 的中点.所以 MN∥AC1, 又因为 AC1?平面 AA1C1C,MN?平面 AA1C1C, 所以 MN∥平面 AA1C1C. (2)因为 AC=AA1,所以四边形 AA1C1C 是正方形, 所以 AC1⊥A1C,又 AC1∥MN,所以 A1C⊥MN. 又因为 ABCA1B1C1 是直三棱柱, 所以 CC1⊥平面 ABC,因为 BC?平面 ABC,所以 CC1⊥BC. 又因为∠ACB=90° ,所以 AC⊥BC, 因为 CC1∩AC=C,所以 BC⊥平面 AA1C1C,又 AC1?平面 AA1C1C, 所以 BC⊥AC1, 因为 MN∥AC1,所以 MN⊥BC,又 MN⊥A1C, 又 BC∩A1C=C,所以 MN⊥平面 A1BC. 18.(本小题满分 16 分)如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60° ,点 E、 F 分别在边 CD、CB 上,点 E 与点 C、D 不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O, 沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置,使平面 PEF⊥平面 ABFED.

(1)求证:BD⊥平面 POA; V1 4 (2)记三棱锥 P ABD 体积为 V1,四棱锥 P BDEF 体积为 V2,且V =3,求此
2

时线段 PO 的长. (1)证明 在菱形 ABCD 中,∵BD⊥AC,

∴BD⊥AO. ∵EF⊥AC,∴PO⊥EF, ∵平面 PEF⊥平面 ABFED, 平面 PEF∩平面 ABFED=EF, 且 PO?平面 PEF. ∴PO⊥平面 ABFED, ∵BD?平面 ABFED, ∴PO⊥BD. ∵AO∩PO=O,AO,PO?平面 POA. ∴BD⊥平面 POA. (2)解 设 AO∩BD=H

由(1)知,PO⊥平面 ABFED,PO=CO. ∴PO 是三棱锥 PABD 的高及四棱锥 PBDEF 的高 1 1 ∴V1=3S△ABD· PO,V2=3S 梯形 BFED· PO V1 4 3 3 ∵V =3∴S 梯形 BFED=4S△ABD=4S△BCD
2

1 ∴S△CEF=4S△BCD ∵BD⊥AC,EF⊥AC,∴EF∥BD,∴△CEF∽△CDB ?CO? S△CEF 1 ∴?CH?2= = ? ? S△BCD 4 1 1 1 ∴CO=2CH=2AH=2×2 3= 3 ∴线段 PO 的长为 3. 19.(本小题满分 16 分)(2013· 扬州调研)如图,在三棱柱 ABC A1B1C1 中,底面△ABC 是等边三角形,D 为 AB 中点. (1)求证:BC1∥平面 A1CD;

(2)若四边形 BCC1B1 是矩形,且 CD⊥DA1,求证:三棱柱 ABC A1B1C1 是正 三棱柱. 证明 (1)连接 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 O,连接 DO,则 O 为 AC1 中点,

∵D 为 AB 的中点,∴DO∥BC1 ∵BC1?平面 A1CD,DO?平面 A1CD ∴BC1∥平面 A1CD; (2)∵等边△ABC,D 为 AB 的中点,∴CD⊥AB ∵CD⊥DA1, DA1∩AB=D, ∴CD⊥平面 ABB1A1 ∵BB1?平面 ABB1A1,∴BB1⊥CD, ∵四边形 BCC1B1 是矩形,∴BB1⊥BC ∵BC∩CD=C,∴BB1⊥平面 ABC ∵底面△ABC 是等边三角形 ∴三棱柱 ABC A1B1C1 是正三棱柱. 20.(本小题满分 16 分)(2012· 苏锡常镇调研)如图 1 所示,在 Rt△ABC 中,AC= 6,BC=3,∠ABC=90° ,CD 为∠ACB 的平分线,点 E 在线段 AC 上,CE =4.如图 2 所示,将△BCD 沿 CD 折起,使得平面 BCD⊥平面 ACD,连接 AB,设点 F 是 AB 的中点.

图1 (1)求证:DE⊥平面 BCD;

图2

(2)若 EF∥平面 BDG, 其中 G 为直线 AC 与平面 BDG 的交点, 求三棱锥 B DEG 的体积. (1)证明 如图(1)∵CE=4,∠DCE=30° ,过点 D 作 AC 的垂线交于点 M,则

DM= 3,EM=1,∴DE=2,CD=2 3. 则 CD2+DE2=EC2,∴∠CDE=90° ,DE⊥DC. 在图(2)中, 又∵平面 BCD⊥平面 ACD,平面 BCD∩平面 ACD=CD,DE?平面 ACD,

∴DE⊥平面 BCD.

图(1) (2)解 在图(2)中,

图(2)

∵EF∥平面 BDG,EF?平面 ABC,平面 ABC∩平面 BDG=BG, ∴EF∥BG. ∵点 E 在线段 AC 上,CE=4,点 F 是 AB 的中点, ∴AE=EG=CG=2. 作 BH⊥CD 交于 H.∵平面 BCD⊥平面 ACD,∴BH⊥平面 ACD. 3 由条件得 BH=2. 1 1 1 S△DEG=3S△ACD=3×2AC· CD· sin 30° = 3. 1 1 3 3 三棱锥 B DEG 的体积 V= S△DEG· BH= × 3× = . 3 3 2 2


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