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递推数列在解概率问题上的应用


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 递推数列在解概率问题上的应用 作者:李杰 来源:《中国科教创新导刊》2013 年第 18 期 摘 要:本文指出了递推数列、概率有机结合的题型,体现了知识网络的交汇点,探讨了 运用递推数列解答概率问题的数学方法,分析了递推数列与概率的综合题对提高学生解题能力 的作用。 关键词:递推数列 概率 综合 能力 中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2013)06(c)-0090-02 递推数列是中学数学教学的难点,概率是新教材所增加的内容。二者的联袂,使数学题增 加了活力,也使在知识网络交汇处命题增加了新的亮点。这对培养学生的数学思想方法和提高 解题能力十分有益。本文试图对递推数列在概率上的应用做粗浅的分析研究。 例 1:一种掷硬币走跳棋的游戏:棋盘上有第 0、1、2…100,共 101 站,一枚棋子开始在 第 0 站(即 P0=1),由棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次。若硬币出现正面则棋子向前 跳动一站,出现反面则向前跳动两站。直到棋子跳到第 99 站(获胜)或第 100 站(失败) 时,游戏结束。已知硬币出现正、反面的概率相同,设棋子跳到第 n 站时的概率为 Pn。 (1)求。 (2)设(1≤n≤100),求证:数列是等比数列。 (3)求玩该游戏获胜的概率。 解:设事件 A 发生的概率为 P,若在 A 发生的条件下发生 B 的概率为 P′,则由 A 产生 B 的概率为 P·P′。根据这一事实解答下题。 (1)∵ P0=1 ∴ P1=,, (2)棋子跳到第 n 站,必是从第 n-1 站或第 n-2 站跳来的(2≤n≤100), 所以, ∴ , 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn ∴ ≤≤,且。 故{}是公比为,首项为的等比数列(1≤n≤100)。 (1)由(2)知, 故获胜的概率为。 例 1 是一道跳棋游戏的应用题,贴近学生生活,具有知识性,趣味性。不仅使学生能够运 用所学的递推数列和概率的有关知识解答这一身边的游戏性问题,而且使枯燥,呆板的数学题 充满了活力和魅力,令学生感到学的轻松和愉悦。 例 2:有人玩掷骰子动棋的游戏,棋盘分为 A、B 两方,开始时把棋子放在 A 方,根据下 列(1)、(2)、(3)的规定移动棋子:(1)骰子出现 1 点时,不能动棋子;(2)出现 2,3,4,5 点时,把棋子移向对方;(3)出现 6 点时,如果棋子在 A 方就不动。如果在 B 方,就移至 A。把骰子掷了 n 次后,棋子仍然在 A 方的概率记为 Pn。 (1)对于任意 n∈ N,证明点(Pn,Pn+1)总在过定点,斜率为的直线上。 (2)求 Pn。 解:(1)把骰子掷了 n+1 次,棋子仍在 A 方的概率为 Pn+1,有两种情况应当考虑: ① 第 n 次棋子在 A 方,其概率为 Pn,且第 n+1 次骰子出现 1 点或 6 点,不动棋子其概率 为,因此,第① 种情况产生的概率为。 ② 第 n 次棋子在 B 方,其概率为 1-Pn,且第 n+1 次骰子出现 2,3,4,5 或 6 点,其概率 为,因此,第② 种情况产生的概率为。 ∴ 易知 ∴ 点(Pn,Pn+1)在过点,斜率为的直线上。 (2) 又∵ (利用(1)的结论) ∴ 是首项为公比为的等比数列。 ∴ 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn ∴ 例 2 虽然也是个玩棋的游戏问题,但在第(1)问中是把递推数列构造的等比数列表现形 式进一步延伸,改变问法,变成了证

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