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解三角形 (4)


龙文教育一对一个性化辅导教案
学生 曹俞晴 科目 数学 课题
教学 重点 教学 难点 教学 目标

学校 教师

21 中 石灿标

年级 日期

高三
16.4.20

次数 时段

第 15 次 8-10am

解三角形 2
1、掌握正弦,余弦公式以及应用 2、掌握解三角形里面常用的定理 引导学生解题的思考方向,以及计算问题 利用正弦以及余弦解三角形综合问题(掌握三角形面积公式) 教学过程: 一、教学衔接(课前环节) 1、回收上次课的教案,了解家长的反馈意见; 2、检查学生的作业,及时指点 3、捕捉学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容 二、教学内容 知识点 1、正弦定理以及应用 知识点 2、余弦定理以及应用 知识点 3、解三角形综合问题(三角形面积,形状,角的大小)

教 学 步 骤 及 教 学 内 容

三、知识的延伸与拓展(能力提升)

四、经典例题讲解(教义上) 学生总结本课要点 老师归纳补充并点出学生不足之处而且需要加强的地方 五、布置作业

管理人员签字:

日期:







作 业 布 置

1、学生上次作业评价: 备注: 2、本次课后作业:

○ 好

○ 较好

○ 一般

○ 差

课 堂 小 结

家长签字:

日期:







解三角形讲义
重要知识点:
a b c ; ? ? ? 2R (R 为外接圆半径) sin A sin B sin C 变形:① a : b : c ? sin A : sin B : sin C

(1)正弦定理

②角化边 a ? 2R sin A b ? 2R sin B c ? 2R sin C ③边化角 sin A ?
a 2R sin B ? b 2R sin C ? c 2R

利用正弦定理解三角形使,经常用到: ① A ? B ? C ? ? ② sin(A ? B) ? sin C, cos(A ? B) ? sin C ③ S ?abc ?

1 absin C 2

(2)余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 2bc(1 ? cos A)

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? (a ? c) 2 ? 2ac(1 ? cos B) c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2abcosC ? (a ? b) 2 ? 2ab(1 ? cosC)
注:后面的变形常与韦达定理结合使用。 (3) .三角形的面积公式: 1 1 1 S△ABC= absinC= bcsinA= acsinB; 2 2 2 (4)斜三角形的实际应用: 1)方位角与仰角(俯角) ; 2)三角形的边与角与实际问题; 3)解决方案:先根据题目条件画出三角形,然后标出已知条件,利用正、余弦定理求解。 (5)恒等变换在三角形中的应用: 注意:在解决三角形的综合题目中,我们重点关注的是边与角之间的关系,至于题目中 ? 1 出现的是哪个三角函数名并不重要(例如:B ? 与 sin B ? 其实效果是一样的) ,因此, 4 3 找准边角关系是关键。

题型 1:面积与边角的转化 例1:在 ?ABC中,a, b, c是角A, B, C 所对的边,且 1 ? (1)求角 A ; (2)已知 a ?

tan A 2c ? tan B b

7 3 3 , ?ABC 的面积 S ? ,求 b ? c 的值 2 2

练习: 1、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且满足 cos (1)求 ?ABC 的面积; (2)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

? ??? ? A 2 5 ??? ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

2、 ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ? (1)求 AB ? AC ; (2)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值。

12 。 13

题型 2:角度的互换 例 1:设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c , (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac . (1)求 B ; (2)若 sin A sin C ?

3 ?1 ,求 C . 4

练习: 1、在 ? ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a , b, c ,且 a ? b ? 2ab ? c .
2 2 2

(1)求 C ;

(2)设 cos A cos B ?

3 2 cos ?? ? A? cos ?? ? B ? 2 ,求 tan ? 的值. , ? 2 5 cos ? 5

2、设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ? (Ⅰ)求 a, c 的值; (Ⅱ)求 sin( A ? B) 的值.

7 . 9

题型 3:求边(角)的取值范围 例 1:△ ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B . (1)求 B ; (2)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

练习: 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 cos C ? (cos A ? 3 sin A) cos B ? 0 。 (1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 1 ,求 b 的取值范围。

题型 4:三角形与三角函数结合

例 1:设函数 f ? x ? ? cos ? x ? (1)求 f ? x ? 的值域;

? ?

2 ? x ? ? ? 2cos2 , x ? R 。 3 ? 2

(2)记 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ? B ? =1,b=1,c= 3 ,求 a 的值。

练习: 1、 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) , 最小正周期是 2? , x ? R 的最大值是 1, 其图像经过点 M (0,1) . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)设 A 、 B 、 C 为△ABC 的三个内角,且 f ( A) ?

3 5 , f ( B) ? ,求 f (C ) 的值. 5 13

题型 5:三角形的实际应用 例 1:如今海盗越来越猖獗,日益成为国际问题。在某海岛 A 周围 380 海里内是某海盗组织的势力范 围, 一艘货船向正南方航行, 在 B 处测得海岛 A 在货船的南偏东 30 的方向上, 货船航行 300 海里后, 在 C 处测得海岛 A 在货船的南偏东 45 的方向上。如果此货船不改变航向继续向南航行,是否进入海 盗的势力范围而受到攻击。
? ?

例 2:如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内 的两个测点 C 与 D .现测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?, CD ? s , 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .

练习: 1、如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线 航行,当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距
?



120? A 2

20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西120? 方向的
B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?

B2

B1


105? A 1


2、如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一 种是先从 A 沿索道乘缆车到 B , 然后从 B 沿直线步行到 C 。 现有甲、 乙两位游客从 A 处下山, 甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m / min 。在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留1min 后,再从 匀速步行到 C 。假设缆车匀速直线运动的速度为 130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量,

12 3 , cosC ? 。 13 5 (1)求索道 AB 的长; (2)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? cos A ?


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