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1.2.4 等差数列同步练习

第一章 §2 第 4 课时 一、选择题 1.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,则使得 Sn 达到最大值的 n 是( A.21 C.19 [答案] B [解析] 由题设求得:a3=35,a4=33,∴d=-2,a1=39,∴an=41-2n,a20=1,a21 =-1,所以当 n=20 时 Sn 最大.故选 B. 2. 已知某等差数列共有 10 项, 其奇数项之和为 15, 偶数项之和为 30, 则其公差为( A.2 C.4 [答案] B [解析] 设等差数列公差为 d, ∵S 奇=a1+a3+a5+a7+a9=15, S 偶=a2+a4+a6+a8+a10=30, ∴S 偶-S 奇=5d=15,∴d=3. 3.(2014· 福建理,3)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于( A.8 C.12 [答案] C [解析] 本题考查等差数列的通项公式. 由 a1=2,S3=12 可得 d=2,∴a6=a1+5d=12. an-am 注意熟记等差数列的常见性质,如 d= . n-m 4.首项为 18,公差为-3 的等差数列,当前 n 项和 Sn 取最大值时,n 等于( A.5 或 6 C.7 [答案] D [解析] an=18+(n-1)×(-3)=21-3n, ? ?an=21-3n≥0, 令? 解得 6≤n≤7, ?an+1=21-3?n+1?≤0, ? ) B.20 D.18 ) B.3 D.5 ) B.10 D.14 ) B.6 D.6 或 7 故 n 等于 6 或 7. 5. 设{an}是等差数列, Sn 为其前 n 项和, 且 S5<S6, S6=S7>S8, 则下列结论错误的是( A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 [答案] C [解析] 由 S5<S6 知 a6>0,由 S6=S7 知 a7=0, 由 S7>S8 知 a8<0,C 选项 S9>S5 即 a6+a7+a8+a9>0,∴a7+a8>0,显然错误. 6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3=9,S6=36,则 a7+a8+a9 等于( A.63 C.36 [答案] B [解析] 解法一:∵{an}是等差数列,∴S3、S6-S3、S9-S6 为等差数列. ∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6), ∴S9-S6=2S6-3S3=45. Sn 解法二:∵Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,令 bn= ,则{bn}成等差数列. n S3 S6 由题设 b3= =3,b6= =6, 3 6 ∴b9=2b6-b3=9. ∴a7+a8+a9=S9-S6=9b9-36=45. 二、填空题 7.(2014· 北京理,12)若等差数列{an}满足 a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当 n=________ 时,{an}的前 n 项和最大. [答案] 8 [解析] 本题考查了等差数列的性质与前 n 项和. 由等差数列的性质, a7+a8+a9=3a8, a7+a10=a8+a9, 于是有 a8>0, a8+a9<0, 故 a9<0, 故 S8>S7,S9<S8,S8 为{an}的前 n 项和 Sn 中的最大值,等差数列中首项 a1>0 公差 d<0,是一 个递减的等差数列,前 n 项和有最大值,a1<0,公差 d>0,是一个递增的等差数列,前 n 项 和有最小值. 8.Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=________. [答案] -1 [解析] 本题考查了对等差数列前 n 项和的理解和应用,同时还考查了等差数列的运算 性质及考生灵活处理问题的能力. B.45 D.27 ) ) ∵S2=S6,∴S6-S2=a3+a4+a5+a6=0 又∵a3+a6=a4+a5 ∴S6-S2=2(a4+a5)=0,∴a4+a5=0 又∵a4=1,∴a5=-1. 三、解答题 9.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=5n-3,求数列的通项公式 an. [解析] ∵数列的前 n 项和 Sn=5n-3, ∴当 n=1 时,a1=S1=5-3=2, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(5n-3)-(5n 1-3) - =4· 5n 1, - ∴a1=S1=2 不满足上式. ?2?n=1? ? ∴数列的通项公式 an=? n-1 . ?4· 5 ?n≥2? ? 10.等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,则该数列前多少项的和最小? [解析] 解法一:设等差数列{an}的公差为 d,则由题意得 1 1 9a1+ ×9×8×d=12a1+ ×12×11×d 2 2 即 3a1=-30d,∴a1=-10d, ∵a1<0,∴d>0, 1 1 21 ∴Sn=na1+ n(n-1)d= dn2- dn 2 2 2 21 d 21 n- ?2- 2D. = ? 2? 2? 8 ∵d>0,∴Sn 有最小值. 又∵n∈N*,∴n=10 或 n=11 时,Sn 取最小值. d 1 解法二:同解法一,由 S9=S12,得 =- . a1 10 ?an=a1+?n-1?d≤0 ? 由? ,得 ?an+1=a1+nd≥0 ? ?1-10?n-1?≥0 ? 1 ?1-10n≤0 解得 10≤n≤11. 1 . ∴n 取 10 或 11 时,Sn 取最小值. 解法三:∵S9=S12,∴a10+a11+a12=0,∴3a11=0, ∴a11=0.∵a1<0, ∴前 10 项或前 11 项和最小. 一、选择题 1.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1>0,S4=S8,则当 Sn 取得最大值时,n 的值 为( ) A.5 C.7 [答案] B [解析] 11 11 解法一:∵a1>0,S4=S8,∴d<0,且 a1=-

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