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7.2直线的方程(二)


(三)两点式
已知直线 l 上的两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线的位 置是确定的,也就是直线的方程是可求的,请同学们求直线 l 的方 程.

当 y1≠y2 时,为了便于记忆,我们把方程改写成

这个方程是由直线上两点确定的,叫做直线的两点式.

对两点式方程要注意下面两点:

(1) 方程只适用于与坐标轴不平行的直线,当直线与坐标 轴平行(x1=x2 或 y1=y2)时,可直接写出方程; (2) 要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由 左边见 y 就用 x 代换得到,足码的规律完全一样.

(四)截距式
例1 已知直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b(a≠0, b≠0),求直线 l 的方程.

解:因为直线 l 过 A(a,0)和 B(0,b)两点,将这两点的坐标 代入两点式,得

就是

这个方程是由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的, 叫做直线方 程的截距式.

对截距式方程要注意下面三点:
(1) (2) (3) 如果已知直线在两轴上的截距,可以直接代入截距式求 直线的方程; 将直线的方程化为截距式后,可以观察出直线在 x 轴和 y 轴上的截距,这一点常被用来作图; 与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示.

(五)例题

例1 三角形的顶点是 A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)如图, 求这个三角形三边所在直线的方程.
解:直线 AB 的方程可由两点式得:



3x+8y+15=0

这就是直线 AB 的方程.
BC 的方程由斜截式得:

由截距式方程得 AC 的方程是



5x+3y-6=0.



2x+5y+10=0.

这就是直线 BC 的方程.

这就是直线 AC 的方程.

例2:求过点A(5,2),且在坐标轴上截距互为 相反数的直线 方程。 l 解:x轴上截距为a,则y轴上截距为- a 若a ? 0, 则可设y ? kx, A(5,2)代入, 5k 2= 2 2 k? ?y ? x 5 5x y 若a ? 0, 则可设 ? ?1 a ?a A(5,2)代入 2 综上所述:直线 方程为y ? x l 5 5 2 ? ? 1, a=3 或x ? y ? 3 ? 0 a a
(注意:截距相等,及截距互为相反数,因注意过原点)

例3:直线3x ? 4 y ? k ? 0在两坐标轴上截距之和 2, 为 求实数k.

解: ? 4 y ? ?k (k ? 0) 3x

x y ? ?1 k k ? 3 4 k k ? ? ? 2, 3 4
? k ? 24, k ? ?24

例4:一条直线从点 (3,2)出发,经x轴反射, A 通过点B(- , 1 6),求入射光线所在的 直线方程。
解:利用对称性: 关于x轴对称点A' (3,?2) A B关于x轴对称点B’ 1,?6) (?
B(-1,6) A(3,2) D

y?2 x ?3 入射光线AB': ? ? 6 ? 2 ?1 ? 3 即2 x ? y ? 4 ? 0

y ?6 x+1 反射光线A’ : B ? ? 2 ? 6 3+1 A’(3,-2) 即2 x+y ? 4 ? 0

B’(-1,-6)

例4:一条直线从点 (3,2)出发,经x轴反射, A

通过点B(- , 1 6),求入射光线所在的 直线方程。 注:利用平面几何中,

对称性来求入射光线反射光线方程
此题可改为 ( )求D点坐标 1 (2)在x轴上求一点D, 使 DA ? DB 最短。
B’(-1,-6) A’(3,-2) B(-1,6) A(3,2) D


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