7.2直线的方程(二)

(三)两点式
已知直线 l 上的两点 P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位 置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线 l 的方 程．

当 y1≠y2 时，为了便于记忆，我们把方程改写成

这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．

对两点式方程要注意下面两点：

(1) 方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标 轴平行(x1=x2 或 y1=y2)时，可直接写出方程； (2) 要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由 左边见 y 就用 x 代换得到，足码的规律完全一样．

(四)截距式
例1 已知直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b(a≠0， b≠0)，求直线 l 的方程．

解：因为直线 l 过 A(a，0)和 B(0，b)两点，将这两点的坐标 代入两点式，得

就是

这个方程是由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的， 叫做直线方 程的截距式．

对截距式方程要注意下面三点：
(1) (2) (3) 如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求 直线的方程； 将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在 x 轴和 y 轴上的截距，这一点常被用来作图； 与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．

(五)例题

例1 三角形的顶点是 A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)如图， 求这个三角形三边所在直线的方程．
解：直线 AB 的方程可由两点式得：

即

3x+8y+15=0

这就是直线 AB 的方程．
BC 的方程由斜截式得：

由截距式方程得 AC 的方程是

即

5x+3y-6=0．

即

2x+5y+10=0．

这就是直线 BC 的方程．

这就是直线 AC 的方程．

例2：求过点A(5,2),且在坐标轴上截距互为 相反数的直线 方程。 l 解：x轴上截距为a，则y轴上截距为－ a 若a ? 0, 则可设y ? kx, A(5,2)代入， 5k 2＝ 2 2 k? ?y ? x 5 5x y 若a ? 0, 则可设 ? ?1 a ?a A(5,2)代入 2 综上所述：直线 方程为y ? x l 5 5 2 ? ? 1, a＝3 或x ? y ? 3 ? 0 a a
(注意：截距相等，及截距互为相反数，因注意过原点）

例3：直线3x ? 4 y ? k ? 0在两坐标轴上截距之和 2， 为 求实数k.

解： ? 4 y ? ?k (k ? 0) 3x

x y ? ?1 k k ? 3 4 k k ? ? ? 2, 3 4
? k ? 24, k ? ?24

例4：一条直线从点 (3,2)出发，经x轴反射， A 通过点B（－ ， 1 6），求入射光线所在的 直线方程。
解：利用对称性： 关于x轴对称点A' (3,?2) A B关于x轴对称点B’ 1,?6) (?
B(-1,6) A(3,2) D

y?2 x ?3 入射光线AB': ? ? 6 ? 2 ?1 ? 3 即2 x ? y ? 4 ? 0

y ?6 x＋1 反射光线A’ : B ? ? 2 ? 6 3＋1 A’(3,-2) 即2 x＋y ? 4 ? 0

B’(-1,-6)

例4：一条直线从点 (3,2)出发，经x轴反射， A

通过点B（－ ， 1 6），求入射光线所在的 直线方程。 注：利用平面几何中，

对称性来求入射光线反射光线方程
此题可改为 （ ）求D点坐标 1 （2）在x轴上求一点D， 使 DA ? DB 最短。
B’(-1,-6) A’(3,-2) B(-1,6) A(3,2) D