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广西贺州高级中学2013-2014学年高二上学期期考数学(理)试题

贺州高级中学 2013-2014 学年上学期期考试题







学(理)

注意事项: 1.试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟 2.第Ⅰ卷为单项选择题,请将选择题答题卡上的答案用 2B 铅笔涂黑,务必填涂规范 3.第Ⅱ卷为填空题和解答题,请用 0.5mm 的黑色签字笔在答题卷上作答

第Ⅰ 卷(选择题共 60 分)
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。给出的四个答案中, 只有一个是符合题意的.)
1.下列命题中的假命题是(
x ?1 (A) ? x ? R , 2 ? 0

) (B) ? x ? N , ( x ? 1)2 ? 0
*

(C) ? x ? R , ln x ? 1 2.已知 a ? b ,则下列不等式正确的是(
2 2 (A) a ? b

(D) ? x ? R , tan x ? 2 ) (C) 2 ? 2
a b

(B)

1 1 ? a b

(D) 2 ? a ? 2 ? b )

3.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S5 ? 10 , S10 ? 30 ,则 S15 ? ( (A)60 (B)70 (C)90 (D)40 )

4.与向量 a ? (1, ?3, 2) 平行的一个向量的坐标是( (A) (

1 ,1,1) 3

(B) (-1,-3,2)

(C) (-

1 3 , ,-1) (D) ( 2, 2 2

-3,-2 2 ) 5.抛物线 y ? 4 x 的准线方程是(
2

) (C) y ? ? )

(A) x ? ?

1 16

(B) x ? ?1

1 16

(D) y ? ?1

6.函数 y ? cos(sin x) 的导数为(

? sin(sin x) (A)? ?sin(sin x)?cos x (B)
2 2 2

?sin(sin x)?cos x (C)


(D)? sin(cosx)

7.在 ?ABC 中,已知 a ? b ? c ? bc ,则角 A 为( (A)

? 3
2 2

(B)

? 6
3

(C)

2? 3

(D) )

? 2? 或 3 3

8.下面四个条件中,使 a > b 成立的充分而不必要的条件是( (A) a > b (B) a > b
3

(C) a > b ? 1
第 1 页(共 4 页)

(D) a > b ? 1

高二理科数学

9 .若焦点在 x 轴上的双曲线 ( ) (A) y ? ?

x2 y2 6 ? ? 1 的离心率为 ,则该双曲线的渐近线方程为 2 2 m

2 x 2

(B) y ? ?2 x

(C) y ? ?

1 x 2

(D) y ? ? 2 x

?BAD ? 900 , 10. 已知平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? 4 ,AD ? 3 ,AA 1 ? 5,
0 ?BAA 1 ? DAA 1 ? 60 ,则 AC1 等于(

) (C) 5 2 (D) 50

(A) 85

(B) 85

11.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (2) ? 0 ,当 x ? 0 时,有 成立,则不等式 f ( x) ? 0 的解集是( ( A ) (?2,0) ? (2,??) )

xf / ( x) ? f ( x) ?0恒 x2

( B ) (?2,0) ? (0,2)

( C ) (??,?2) ? (2,??)

(D)

(??,?2) ? (0,2)
12.点 P 是双曲线 C1 : 点,且

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 与圆 C 2 : x 2 ? y 2 ? a 2 ? b 2 的一个公共 2 a b

2?PF1F2 ? ?PF2 F1 ,其中 F1、F2 分别为双曲线 C1 的左右焦点,则双曲线 C1 的离心率为
( ) (B)

(A) 3 ? 1

3 ?1 2

(C)

5 ?1 2

(D) 5 ? 1

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分)
13.曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点 (0,1) 处的切线方程为
x

.

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 14.如果点 P 在平面区域 ? x ? y ? 2 ? 0 上,点 Q 在曲线 x ? ( y ? 2) ? 1上,那么 PQ 的 ?2 y ? 1 ? 0 ?
最小值为 . 15.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 3n ? 1,则数列的通项 an ? .

16 . 已 知

1 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0), 当 mn 取 得 最 小 值 时 , 直 线 y ? ? 2x ? 2 与 曲 线 m n

高二理科数学 第 2 页(共 4 页)

xx y y ? 1 的交点个数为 ? n m

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤)
17. (本小题满分 10 分) 已知关于 x 的命题 p:x 2 ? 3x ? 4 ? 0;q: ( x ? 1) 2 ? a 2 ? 0(a ? 0) ,若 p 是 q 的充分不必 要条件,求 a 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 已知 a , b , c 分别为 ?ABC 三个内角 A , B , C 的对边, c ? 3a sin C ? c cos A . (Ⅰ)求角 A 大小; (Ⅱ)若 a ? 2 且 ?ABC 的面积为 3 ,求 b , c .

19. (本小题满分 12 分) 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N .
*

(Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)证明不等式 Sn?1 ? 4Sn ,对任意 n ? N 皆成立.
*

20. (本小题满分 12 分)

高二理科数学

第 3 页(共 4 页)

如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是正方形, AF ? 平面 ABCD , DE // AF ,

AB ? DE ? 2
(Ⅰ)求证: BE ? AC ; (Ⅱ)点 N 在棱 BE 上,当 BN 的长度为多少时,直线 CN 与平面 ADE 成 30 角?
0

E

N
F D

C
B

A
21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax ? 2 ln( 1 ? x)(a ? R) ,
2

(Ⅰ)若 f ( x) 在 x ? ?1 处有极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) 在 ? ?3, ?1? 上为增函数,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线与原点 2 3 a b

的距离为

3 . 2

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)已知定点 E (?1,0) ,若直线 y ? kx ? 2(k ? 0) 与椭圆交于 C 、 D 两点,问:是否存 在 k 的值,使得以 CD 为直径的圆过点 E ?请说明理由.

高二理科数学

第 4 页(共 4 页)

贺州高级中学 2013-2014 学年上学期期考试题参考答案


一、选择题: 1 ? 5 BDACC


3 2


15.

学(理)
11 ? 12 DA
16.2 个

6 ? 10 ACCAB

二、填空题:13. y ? 3x ? 1 ,14.

三、解答题: 17、解:∵由 x ? 3x ? 4 ? 0 ? ?1 ? x ? 4
2

∴当命题 p 为真命题时, x ? A ? x ? 1 ? x ? 4
2 2

?

?

………………………………………3 分

由 ( x ? 1) ? a ? 0 ? ?x ? (1 ? a)??x ? (1 ? a) ? 0? ∵ a ? 0 ,∴ 1 ? a ? 1 ? a ,则上式解得 1 ? a ? x ? 1 ? a ∴当命题 q 为真命题时, x ? B ? x 1 ? a ? x ? 1 ? a ∵ p 是 q 的充分不必要条件,则 A 是 B 的真子集,

?

? …………………………………7 分

∴?

?1 ? a ? ?1 ? a ? 3 ……………………………………………………………10 分 ?1 ? a ? 4

18、解:(Ⅰ) ∵ c ? 3a sin C ? c cos A , 由正弦定理可得, sin C ? 3 sin A sin C ? sin C cos A …………………………………2 分 又∵ sin C ? 0 ,则上式可化为 1 ?

?? 1 ? 3 sin A ? cos A ? sin ? A ? ? ? ………………4 分 6? 2 ?

∵ 0 ? A ? ? ,∴ A ? (Ⅱ) ∵ S ?ABC ?

?
6

?

?
6

,得 A ?

?
3

…………………………………………6 分 ∴ bc ? 4 ---

1 3 bc sin A ? bc , 由 题 设 知 S ?ABC ? 3 2 4

① ………………8 分 由 余 弦 定 理 得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 2 ? b ? c ? 4 , 得 b ? c ? 8 --2 2 2 2 2 2 2 2

②………………10 分 由①②解得 b ? c ? 2 …………………………………………………………12 分

19、解:(Ⅰ)由已知得 ?

? 2 S n ? 3an ? 3 高二期考理科数学参考答案 ? 2 S n ?1 ? 3an ?1 ? 3( n ? 2)

第 1 页(共 3 页)

故 2(Sn ? Sn?1 ) ? 2an ? 3an ? 3an?1 又 当

即 an ? 3an?1 ,(n ? 2) , ………………………3 分

n ?1





2a1 ?

……………………………………………………………………… 4分 3a1 ? 3 a1 ? ,

3

故数列 {an } 为等比数列,且 q ? 3 ∴ an ? 3n (n ? N * ) …………………………………………6 分 (Ⅱ) bn ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

……………………………………………………………9 分

所以 Tn ? b1 ? b2 ?

1 1 1 bn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3

1 1 1 ( ? ) ? 1? ? 1 .……………12 分 n n ?1 n ?1

20、 解: 如图, 由题设可分别以 DA 、DC 、DE 为 x 、y 、z 轴, 建立空间直角坐标系 ………

z

1分 (Ⅰ)由题设可知, A(2,0,0) , B(2,2,0) , C (0,2,0) , E (0,0,2) 则 BE ? (?2,?2,2) , AC ? (?2,2,0) ……………………………3 分 ∴ BE ? AC ? 4 ? 4 ? 0 ? 0 ,则有 BE ? AC 所以 BE ? AC ……………………………………………………5 分 (Ⅱ) 设 N ( x, y, z ) ∵点 N 在棱 BE 上,则有 BN ? ? BE (0 ? ? ? 1) ,A

E

N
F D

C
B

x

即 ( x ? 2, y ? 2, z ) ? ? (?2,?2,2) ,可得 N (2 ? 2? ,2 ? 2? ,2? )

∴ CN ? (2 ? 2?,?2?,2? ) …………………………………………………………7 分 由 题 设 易 知 DC ? 平 面 A D E, ∴ 平 面 A D E的 一 个 法 向 量 是

m ? (0,1,0)

………………………8 分
0

∵ CN 与平面 ADE 所成角为 30 , 则有 sin 30 ?| cos ? CN , m ?|?
0

| CN ? m | | CN || m |

?

2? (2 ? 2? ) 2 ? (?2? ) 2 ? (2? ) 2

………10 分

解之得 ? ?

2 ? 1 ? ?0,1?

又∵ | NB |? 2 3 ,∴ | BN |? ( 2 ? 1) | BE |? 2 6 ? 2 3 即当 BN ? 2 6 ? 2 3 时,直线 CN 与平面 ADE 成 30 角.…………………………12 分
0

高二期考理科数学参考答案

第 2 页(共 3 页)

21 、 解 : (Ⅰ) 由 已 知 可 得

f ( x) 的 定 义 域 为

?? ?,1?

, 又

2 , ……………………2 分 1? x 1 由已知 f ??? 1? ? ?2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? ? ………………………………………3 分 2 1 经验证得 a ? ? 符合题意……………………………………………………………………4 分 2 2 ? 0 对 x ???3, ?1? 恒成立, (Ⅱ)若 f ( x) 在 ? ?3, ?1? 上为增函数,则 f ?? x ? ? 2ax ? 1? x 1 2 , ∵x ? 0 ∴a ? …………………………………7 分 2ax ? 2 ?x ? x 1? x f ?? x ? ? 2ax ?

1? 1 ? 因 为 x ?? 3 , 所 以 t ( x) ? ? x ? x ? ? ? x ? ? ? 的 最 大 值 为 ? , ? ?1 2? 4 ? t (?1) ? ?2 …………………10 分 1 1 1 所以 的最小值为 ? ,由此可得当 a ? ? 时 f ??x ? ? 0 对 x ???3, ?1? 恒成立, 2 ?x ? x 2 2 1 综上所述,当 f ( x) 在 ? ?3, ?1? 上为增函数时, a ? ? .……………………………12 分 2
2

2

b2 2 22、解:(Ⅰ)由已知可得 e ? 1 ? 2 ? ? a ? 3b -----① ……………………1 分 3 a ab 3 ? 直线 AB 的方程为: bx ? ay ? ab ,则原点到直线 AB 的距离 d ? ----2 a2 ? b2
2

② ……3 分 由 ① ② 解 得

a? 3



b ?1



















x2 ? y 2 ? 1 ………………………………………5 分 3 ? y ? kx ? 2 (Ⅱ)由 ? 2 , 得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 12kx ? 9 ? 0 ………………………………6 分 2 ?x ? 3 y ? 3 ∵直线与椭圆相交于 C 、 D 两点 2 ∴ ? ? 144k 2 ? 36(3k 2 ? 1) ? 0 ,得 k ? 1 ……………………………………7 分 12 k 设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) , 由 韦 达 定 理 得 x1 ? x 2 ? ? 2 ------ ③ , 3k ? 1 9 x1 x 2 ? 2 -------④ 3k ? 1 ? 3k 2 ? 4 y1 y 2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 而 ------3k 2 ? 1
⑤ ………………9 分 若以 CD 为直径的圆过点 E ,则有 EC ? ED ? 0 ,即 ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y 2 ) ? 0

x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2 ? 0 ,代入③④⑤式得
?12k ?3k 2 ? 4 7 ? ? 1 ? 0 ? k ? ,满足 k 2 ? 1 …………………11 分 2 2 2 3k ? 1 3k ? 1 3k ? 1 6 7 综上,存在 k ? ,使得以 CD 为直径的圆过点 E . ………………………………12 分 6 9 ?

高二期考理科数学参考答案

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