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焦点三角形内心和旁心轨迹

焦点三角形内心和旁心轨迹
云南广南一中 玉 叶

最近笔者对椭圆和双曲线作了些研究, 得到两个重要的有趣的结论,现说明如下. 定 义 以椭圆或双曲线上的一点和两个 焦点组成的三角形叫做焦点三角形. 定 理 1 椭圆焦点三角形的内心轨迹仍为 椭圆 ,且此椭圆与原椭圆的长轴之比为 e ,短 轴之比为 e /(1 + e) ( e 是原椭圆的离心率). x2 y2 证明 不妨设椭圆方程为 2 + 2 = 1 (a a b > b > 0) ,P 是椭圆上任一点,E、 F 是左、右焦 点,c、e 是半焦距和离心率, A( x , y ) 是△ PEF 的内心,PA 交 x 轴于点 B ,如下图,由三角形内 角平分线性质定理知 | BA | | EB | | FB | = = | AP | | EP | | FP | | EB | + | FB | 2c = = =e. | PE | + | PF | 2 a 由定比分点公式知 y BA yA ? yB P λ= = A x AP yP ? yA EOB F y ?0 = A =e, yP ? yA 故得 yP = y A (1 + e) / e . ① 又由上述证明知 | PF |=| FB | / e = ( xF ? x B ) / e = (c ? xB ) / e = a ? xB / e . 另一方面,由椭圆焦半径公式知 | PF |= a ? exP ,故有 a ? xB / e = a ? exP ,即 xB = e2 xP . 又知 e = BA xA ? xB xA ? e2 xP = = , AP xP ? xA xP ? xA

1 x 2 1 1+ e 2 ( ) + 2( y ) = 1, a2 e b e x2 y2 化简得椭圆 2 + =1. c ( eb /(1 + e)) 2 eb 2 bc 2 ) = c2 ? ( ) 又知 c2 ? ( 1+ e a+c b 2 a2 ? c2 ) = c2 ? c2 = c2 ? c2 ( a+c ( a + c) 2 a?c c2 = c2 (1 ? )= ( a + c ? a + c) a+c a+c 2c3 eb = > 0 ,故知 c > . a+c 1+ e 从而知 c 为半长轴长, eb /(1 + e) 为短半轴 c eb /(1 + e) e 长,从而知 = e , = . b 1+ e a 定 理 2 双曲线焦点三角形的旁心轨迹仍 为双曲线 ,且此双曲线与原双曲线的实轴之 比为 e ,虚轴之比为 e /(1 + e) ( e 是原双曲线的 离心率). x2 y2 证明 不妨设双曲线方程为 2 ? 2 = 1 a b (a > 0, b > 0) ,E、F 是左、右焦点,P 是双曲线 上任一点,c、e 是半焦距和离心率,旁心 A( x, y) 是 ∠PEF 的内角平分线、∠EPF 和 ∠PFE 的外角平分线的交点,PA 交 x 轴于点 B ,如下 图,由三角形内外平分线性质定理知 | BA | | EB | | FB | = = y | AP | | EP | | FP | P A | EB | ? | FB | x = E O F B | PE | ? | PF | = 2c /(2 a) = e . 由此,仿椭圆的证明方法知 x 1+ e xP = , y P = y , 将它们代入双曲线 e e x2 y2 ? = 1 得轨迹为双曲线 a2 b2 x2 y2 ? =1. c 2 ( eb /(1 + e)) 2 c eb /(1 + e) e 显然有 = e , = . a b 1+ e

从而得 exP ? exA = x A ? e2 xP . 化简得 xP = xA / e . ② 由①、②知内心 A( x , y ) 与点 P( xP , y P ) 的 关系为 xP = x / e , yP = (1 + e) y / e .  而点 P 在椭圆 x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 上,故
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