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数学奥林匹克高中训练题14


2008年第6期

21

浚营象游盛窘鑫睁锄缀跫(14)
第一试
一、选择题(每小题6分,共36分) 1.设f(z)=茗2+(2n+1)髫+n2+3n, 范围是(、).

(A)4≤口≤2拓
(c)2≤口≤4

以算)在闭区间[口,卢](a<卢)上单调.已知 {YIY=以石),xE[口,卢]}-[口,p].则厅的取
值范围是( ). (B),l<0

(B)吾拓≤口≤4 ,(D)2≤口≤吾拓

(A)n<告

5.设P为正方体ABCD—A787C7D7的棱 AB上的动点.则平面PDB7与平面ADD7A 7所 成二面角的最小值为( ). (A)450

(c)o<n<专

(D)n>专

2.已知正项数列{%}:

(C)aretan压

”口<譬心2一箍.
则{%}( ). (A)递增有上界 (B)递增无上界 (C)递减有下界 (D)递减无下界 3.在1~2 000中随机地取一个数,取到 的整数能被6整除但不能被4整除的概率是 ( ).

(B)arc胁雩 (D)arctan雩

6.设P、A、B、C为空间不同的四点,且

aPA+犀PB+艘=O(口、卢、7∈R).

贝0口+口+y=0且q砂≠0是A、B、C三 点共线的( ). (A)充要条件 ‘(B)充分非必要条件 (C)必要非充分条件 (D)既不充分又不必要条件 二、填空题(每小题9分,共54分) 1.已知并2+y2≤1.则函数石=

(A)百I(B)盖(c)盎(D);
4.设.厂(茗)=一3x3+仳,已知对一切的
xE[0,1],恒有if(石)I≤1.则实数a的取值

号挲壁旦警的最大值为——. l+COS驯
。一



2.在等腰Rt△ABC中,么C=900,点 设17,=k时,结论成立. 当17,=k+1时,联结A1 AI.

△PA3A。、△QA。A5、△钟5A6、△RA6A1)的
面积之和不大于S,其中必有一个三角形的


面积不大于导.



如果s△.。AkAt+.≤£b,则结论成立;

回到原题.,

当t=3,4、5时,正三角形、正方形、正五
边形分别不符合条件,所以,z≥6. 下面证明:当n≥6时,对任何凸n边形
Al

如果s△.M+。>而,则

s鳓¨小s一晶=晶.
由归纳假设,必有1≤i<_『<r≤n,使

A2…A。,都存在1≤i<_『<k≤,l,使

s出。似≤詈,其中,S为凸凡边形A,A:…A。
的面积.

s△^j似≤{?丽kS=丽S.
结论成立. 综上所述,t的最小值为6. (冯跃峰深圳市高级q-学。51s040)

实际上,当n=6时,由引理,结论成立.

万方数据

中等数学

D、E、F分别在边AB、BC、CA上,FD=FE=

等,么DFE=90。.则此:凹:时=——j
3.设f=删(u、口∈R+).已知对满足 Ⅱ+b+C=1的一切正数组(a,b,c),不等式

恒成立.则,的最大值是——.
4.设复数zl=一3一√3 i,z2=√3+i,

“(ab+bc+ca)+珧≤吾

么曰一么C=900, 么C=0,其外接圆 o 0的半径为尺. 加是O D的一条 直径,过点D作 O 0的切线与BC 的延长线交于Ⅳ,过

雾◇ 舂


‘\

点D作烈的平行
线交AC的延长线 于层,交过D、D、日 的圆于G.联结GH、 EH.求△EGH的面积.
图2

z:以sin 0+i∞COS
则I彳一z。I+I

0+2).

z—z2

I的最小值是

5.已知双曲线的渐近线髫±2y=0,双曲 线上动点P到点A(5,0)的距离的最小值为

√6.则双曲线方程为——.
6.已知0≤6x、3y、2z≤8,

/=暑彘2x
.,一石5+ 茗2+

二、(50分)设甄∈R+(i=1,2,…,5).求

以医+历+厄=6.
则函数

3x+矗磊2x蠢3x+ ’善2意x蠢3x+#12寒x‰3x2+
’ 。

2+



戈l+

3+







4+



并3+

5+

兰!!丝
石4+2髫l+323

以”,z)亡南+研4+孺9 的最大值为——.
三、(20分)已知数列{n。l:
口l=8,口2=10,an+J+口n—l<普o。. 求证:2”1口。<4”+4. 四、(20分)已知正四面体ABCD的棱长 为2,球0与四面体的面ABC和面DBC都相 切,其切点分别在△ABC和△DBC内(含边 界),且球0与棱AD相切. (1)证明:球D的球心在棱AD的中垂 面上;

的最小值. 三、(50分)最近的一次数学竞赛共6道 试题,每题答对得7分,答错(或不答)得0

分.赛后某参赛代表队获团体总分161分,且
统计分数时发现:该队任两名选手至多答对 两道相同的题目,没有三名选手都答对两道 相同的题目.试问该队选手至少有多少人?

参考答案
第一试
(1)当f(x)在[口,p]上单调递增时,令 八z)=龙,即


(2)求球0的半径的取值范围.
五、(20分)如 图1,EF为抛物线 r:Y2=2px的一条 弦,过点E、,作r 的切线交于点C. 点A、B分别在射 线EC、CF上,且

z2+(2,l+1)茹+n2+3n=石.

C E 0


\~互
图1

整理得戈2+2ha+n2+3n=0. 依题设有△=(2n)2—4(n2+3n)>0. 解得n<0.

‘(2)当以菇)在[口,卢]上单调递减时,情况
类似.
2.A.

婆。一CF一、

口。<雩.假设%<譬,那么,

CA—FB一7‘‘

(1)求证:直线AB与r相切;

(2)设仙与r切于点G,求滏.
第二试
一、(50分)如图2,已知钝角△ABC中,

无I.1一幸小南2吾?
故口川<等.
由数学归纳法知,{口n}有上界.

万方数据

2008年第6期

聪2一旷2箍_口2。

:掣>o,‘
1+2口:
’”


在Rt△AED中,有
AF=

(1-x)√-+(击)2以1。曲2¨2
故tan

所以,口。+。>口。,数列{口。}递增.
3.C.

设事件A为“取到的数能被6整除”,事 件曰为“取到的数能被4整除”.

由333<罕<334测JP(A)=痢333.


厂百j丽 ,一厂可j瓣


LPFA:———羔一

UUU

而6与4的最小公倍数为12,166< 12

:扛孺≥雩.
J伽+魍C=0.

0丁00<167,所以,恰有166个数既能被6整

当且仅当茗=去时,上式等号成立.
6.B.

除又能被4整除,即p(aB)=≠器.
故所求概率为

充分性. 由口+卢+7=0,得口=一』9—7.从而, (一卢一y)PA+犀P8+7PC=0 j口(PB—PA)+y(PC—PA)=0 j

P(A)一P(仙)=厕333一厕166=厕167.
4.D.

由题设知,对0≤髫≤1,恒有
I以一3并3 I≤1=争一1≤仳一3并3≤1 =亭3石3—1≤似≤323+1.

由科≠O,知A、B、C三点共线.
必要性. 当点P不在直线BC上时,由A、B、C三 点共线知存在实数戈,使得AB=xBC.故
PB—PA=z(PC—PB)

当茗=0时,口可取任意实数. 当0<髫≤1时,有

3茗2一上≤口≤3算2+上.

j—PA+(1+z)PB一戈PC=0

。』一生!一型
“口一卢一7

显然,(322--{)一=2.而
3.x2+1石=3x2+瓦1+瓦1 ZZ
石 Z石

j—j1:.百{L;:争口+卢+y:0. j—i=研号口+p+y=


当点P在直线BC上时,由A、B、C三点 共线知存在实数A,使得

故2≤口≤靳.


≥3.◆—3x2磊1

1:3再:扣.

PA=ABCjPA=A(粥一PB)
哥PA+APB—A,C=0
】 A —A 1 】

5.B.

如图3,延长 A7A、曰7P交于点E.

ji

2万2了号i 2了iF巧

jp+),=0. 但口≠0,从而,Ct+口+y≠0. ■ 二、1.1. 不妨设.q6>t0,Y≥0. 当O≤菇≤1时,0≤xy≤),<1<7【,故
cos

由正方体性质知雕
上平面AED.作AF 上ED于F,联结PF. 由三垂线定理知
PF上E1).

所以,么PAF为 平面PDB7与平面 ADD7A7所成二面角的平面角.

xy≥cos Y.

图3

所以,cos菇+cos Y≤1+cos xy,其中,等 号当菇=y=0时成立.
故z~=1.
2.3:4:5.

设PA:石,则AE:÷生.
1一戈

万方数据

中等数学

设AC=2b,么AFD=p.贝0 FD=b,么FEC=p.

z—zl

I+I

z一彳2

I;≥I

z—zI一(二一彳2)

在△AFD中,由正弦定理得

又CE=beos p,所以,

AF=葡bsin(45。+。t3)=b(siIl
p:{,。in p:詈

I=2+245, 其等号成立的条件是
=I彳l—z2

p+c∞J9).


arg(石一z1)=arg(z2一z),


45cos

[2b—b(sin J9+006卢)]2+b20∞?p=b2 j[2一(sin卢+cos卢)]2=sin2卢
j2一sin p—COB卢=sin p(因00<p<9沪)

43sin 0—43

化简得sin 0—43c∞0=2,即 sin(0—600)=1,0=150。. 5.算2—4y2=(5+ ̄,石)2和4y2一菇2=4. 设双曲线方程为石2—4y2=A(A≠O),动
一 点p(x,Y).则 PA I 2=(菇一5)2+Y2

一一
0+1

45cos 0+2+√j


43sin

0+3

j(2一cos p)2=4sin2卢=4—4cos2 p

j5c若8—4cos|3=0
号cos

j粥:CE:时=3:4:5.

3.4T41.
ab+

=(x-5)2+了I(善2一A)=百5(茗一4)2+5一鲁.
(1)当A>0时,z≥瓜.

因口+b+c=1,口、b、C∈R+,所以,

k+∞≤掣=吾,

当^≤4时,I崩I曲=√5一舍<佰,矛
盾.

出≤(2字)3=刍.
则M(曲+6c+∞)+佣k≤{Ⅱ+芴1
t,.

当瓜>4时,

IPAI面=√{弧一4)2+5一{=I打一5I.
令I^一5 I=佰,解得瓜=5+托,这
时,双曲线方程为名z一4y::(5+佰)2.
(2)当A<0时,x6R, ①
I PA

厂三聊=吾×9聊≤吉(竿)2
≤吾(譬)2=百441.
时,式①等号成立.

令号u+芴1影≤了7,即9u+v≤63.则

Im=5一舍.

当且仅当9u=秽=虿63,即Ⅱ=i7,"=虿63

令√5一鲁=掂,解得A=一4,这时,双
曲线方程为4y2一z2=4. 6.而27. 令Y=2yl,z=3zl,则

若存在u,、口,ER+,u,口,>百441,使得对
一切满足口+6+c:1的正数口、6、c,不等式

u7(曲+6c+ca)+移7出≤三3
恒成立.取:=6=c=了1,得 ●


o<菇、,,。、:。≤导,√号+√等+√号=-,

{配7+刍秽7≤吾,即9u7+口7≤63.
但9u7+t,7≥2 63,矛盾.

且几m小雨1+研1?南.
441=

v厂瓦可>:2

电、=o专+q等+q≥
≤吾(石+{)+丢(n+{)+丢(名。+{),

菇+Yl+zl≥1.

故丘=4百41.

由对称性猜测:当石=),I_名。=号时,

万方数据

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以石,Y,z)取最大值篙.

面B嬲为AD的中垂面.又易知平面BEC为
二面角A—BC—D的平分面. 设P为平面BEC内任一点,P9上面 ABC于Q,PR上面DBC于尺.则BCj-Pp,

令五≥≤触+B,其中,当戈=吾时等
号成立. 由(Az+B)(1+石2)一1≥0,及 (3x一1)2(仳+b)i>0,

口C上职.故曰C_L面加R.设曰c交面尸叩 于日,联结朋、Qn、RH.则朋上Bc,伽上
BC,Rtt上BC,么QHR为二面角A—BC—D

比较系数得A=一磊,B=豸27.于是,

的平面角,朋平分么QHR.从而, Rt△叼Ⅳ丝Rt△脉日,明=PR.
反之,若Pp=PR,则P在平面BEC内.

土l+x一<~∥27r1一虿1石)
甘(3戈一1)2(石一詈)≤o.

由于球心到平面ABC与平面D嬲的距
离相等,故球心D在平面BEC上. (2)如图4,设BC中点为,,联结AF、

同理!南≤瑟(1一一y11), 熹≤碧(1一弘1卜
故八菇,y,:)≤罢[3一iI(茹+,,。+z。)]
≤瑟(3一i1×1)=而27, 其中,当石=),。=:l-吾时,上式等号成立.
因此,八z,,,,z)的最大值为篙.
三、由口川+an.-1<i5口。,得 口川一2口。<虿1(口。一2a._i).
令b。=口。+l一2a。,贝0

DF、即.设么AFD
=2a,易得

AF=DF=历。 EF=压。
8iII

a=4了3,





c08口2了,
图4

咖口=譬.
设球0与平面ABC和平面DBC的切点 分别为M、N,AM交BC于G,联结GD. 由对称性知点Ⅳ在GD上.

作EE7上肋于E7,易知
EE7J_平面DBC,

bn<i乏1-6。一。<(—;i)26。一:<…<(i;i)“一16。 =(专)8—1(口:一2n。)=一6×21一n.
故a。+l一2a。<一6×21—4. 于是,2ha。+l一4×2“一1口。+12<0.

且EE,:压sin口:4百6,FE':压cos口:掣.
作NN’L8C千N’.设N’G=x.么DGF
=口(一600<、日≤600).贝4

粥=朽cot口。NN7=xtan口.

故删:(擘一算咖臼)2+∞00t O-x):.
设球0的半径为r,则

令c。=2”1a。,则c川一4c。+12<0,即
c。+l一4<4(c。一4). 所以,c。一4<4(c。一l一4)<42(C。一2—4) <…<4”1(cl一4) =4”1(20口l一4)=44. 因此,2”1口。一4<48,即
24~口。<4“+4.

r2=降,)2+(学一蚍锄口)2+
“3cot口一茗)2.


又在△ON7,v中,器=t舳口,所以,

四、(1)设AD的中点为E,联结EB、EC. 由/x,CAD、△BAD都为正三角形知,,419 EC,AD EB.所以。AD I平面BEC,即平

r:髫劬口.诅n口:雩石tan?,
即善:压r瞅口.’
代人式①化简得

万方数据

中等数学

“3cot 0一√2rcot a)2=2√6r一2r2—2.

解哗≤,≤1擘.
从而,2拓r一2r2—2≥0.

巫 (1+A)Y2一YI
(1+A)Y2一YI


.!!±!!!!!!:兰i
2m


2A

此时,∞垅r)2=ta#0(2,/-6r一2r2—2).
由tan2臼≥t觚260。=3,得

因此,直线AB的方程

∞一压r)2t>3(2佰r一2r2—2),
即8r2—8拓r+9≥O.

可写成

’,=一茗+n1一——。,,11
nl—n,

/7,1一Ⅱ,



m1一,n,



ml—m2



解得r≤擘或r≥警.

华≤r鸡.


由切点在△ABC及△DBC内知

五、(1)设E(石。,y。)、F(石2,Y2),则切线
EC、CF的方程分别为
YI Y=P(石+茗1),Y2,,=p(x+茹2). 将方程联立解方程组得,

严一坐掣,,+坠掣 心【峄 卜掣
将其与方程),2=2px联立,消去菇得

Y2丌i荡:忑H——西_一‘
西 .(1+A)Y2一yl
=0.

',一——————■———一,,十—————_=1———一
因其判别式



=0,

Y~l

Y2,学).

故直线AB与r相切. (2)设切点G的纵坐标为/7,,由式①得 (1+A)Y2一YI

.由丝CA=面CF=A,得

乃一——■广一‘
士hAB
n2一n1

蚁丽2 iii

1半-(1川扎(1+纵)扎嘲 7k一———T=而)一一
2A

『玎匕一1一《1+A)一

攀 篙一
一1 n|- √1 “j +I。“一q A一+.卜一h

2丌i呖≯瓦—丌砸耵而
2 I;L

!!二!1

竖墨产

丝二!!



丝二!1

=|:L.

… 2A

_Y纠,Yu_(1+A)x2(,I+A)正2一,,1扎 \.r^,了一=y=y2
二p

2p a



于是,淦 5砑万雨


I肛|.1^G

所以,土。一厅::丛≯,

舭訾=毕=每半.

:(1+A)毕:坐掣.
o△^虻
?L

~一虹型等业型. 故并鼍=矸砖鬲.

则nI一盟.ml


ml—m,



2————了百——一一
万方数据

(1+A),,:一(1一A yyl

而s衄=黼s龇 s伽=黜CB 2ni。百3批2虱丽5’ =而I{s批=而bsz3,,mc,
“。南s批=南s龇,
?I AB J△日伊一I

‘、

s幽
J△^阳



S^F_E=S叩曲形玎膏:一S^r,,一S^凡r,

2008年第6期

27

凼此,△EGH∽△EOD.

过D、0、日的圆的直径OH=—兰.而
c08



第二试
一、设直线OH分别交AC、BA的延长线 于E7、F.首先证明:D为线段E7F的中点. 如图5, 设么BAC=口, 么CBA=p.联

么GDH=90。一并.在△GDH中,由正弦定理 、得

GH=丽R sin(900一龙)=面Rco了,8 故淫=(器)2 c…os xI 2卿
s姗=忑COS丐X,5“蝴.
在△AED中,由正弦定理得

x.

结叩、OC.设
么似曰=算,
么OAC=Y, 么OBC==.则 a+卢+0
=1800.
石一Y
2口?

』 鬈移
E饵,)
图5 2




ED:罢堕叱.
sI~茹一,,,

则s蝴=丢DD?EDsin(isoo一菇)

互+:=p,
。一Y=0.

=R2‘端n?
t si‘n"’(石+y) ‘石+’,)


故戈一Y+z

由劬y=等81n善并,得
~茹+’,,

一!兰二z!±(兰±兰2±(墨二z2


丽1=矗7=1+tan2y’
2l 一1+4sin2x"sin27

:竺±星±叟:0.
—。

2—‘

从而,z=900一0,Y=口一900,工=900一口.

联结肋,则么DBH=么DAC=Y,
么BDH=么DAB=石,BD=2Rsin善. 在△DBH中,由正弦定理得

一!i芝(兰±z!±兰!i窭兰:!i璺:z




删:型晋坚掣.
smt,髫+Y


所以,S瑚

sin2(戈+,,)

抒?壶≮拦怒学型

设/AOF=),.在Rt△ODH中,
DH=Rtan y.

所以,2/℃.sm,…x.si.n.、y=Rtan y,即 sm~茗+’,,
2Rsin菇?sin Y?{308 y=Rsin y?sin(石+Y) =Rsin y。sin菇‘嘲Y+Rsin y。aDB髫‘sin Y.

埘?垫唑端‰产 =R2?塑型堕c%06螋
鼬l广l髫+V J‘sm【互一y J
Z口

=丢熊砰口?tan 20(1+sin220).
—i—、取石l=石2=石3=石4=菇5.;1,有

贝0 Rsin,,?sin(y一茗)=Rsin菇?sin(,,一y),

即意岛=毒岛.
在/k AOF和△AOE7中,分别用正弦定 理可得

f(1,1,1,1,1)=专.
以下证明:,≥号.
由柯西不等式有

OF=意岛,叩7=意岛.
所以,OF=OE7.

因为0为线段AD的中点,所以,DE7// 酗.则点E7与E重合.于是,
么GEH=/OED. 又0、D、G、Ⅳ四点共圆,所以。 么HGE=/DOH=么DOE.

,=善石篙等瓦

≥_r————上生—————————一 ∑(施+Xi+2)(钆4+2xf+6+3xⅢ)

[∑(毛+钆:)]2

万方数据

中等数学

(其下标在模5了理解)?故只需证
[∑(施蝇+:)]2


.竺!.氅竺!.竺.竺!.氅生,生
< 2

.生生鱼.竺.垒.丝.鱼

—5————旦L————————一≥丢


∑(施+扎2)(钆4+2xⅢ+3xⅢ)。
i~5.
5 。21

铮3∑z:一4∑戡钆。≥一∑掣m ‘~
i;1


图7

图8

刨∑(矿钆,)2≥∑(矿茗Ⅲ)2.①
又由i柯=I西不等式,对i‘:1,2,…,5,恒有
(12+12)[(甄一甄+1)2+(菇i+l一菇i+2)2]
≥(zi一菇i+2)2. 在上式中,分别取i=I,2,一?,5,然后相 加,即得式①.

所以,厶=丢..
三、设该队有厅名选手,分别记为口。, 口:,…,口。,记6道题的编号依次为1,2,…,

下面证明:n的最小值大于6. 对于一个恰有6列的方格表,由抽屉原 理知至少有一列红点数不少于4,不妨设第1 列,且第1列的前4行的小方格的中心是红 点.如果某列有2个红点,则称其为某列上的 一个红点“行对”.这样在前4行中,除第l列 外的5列中每列只能有一个行对.于是,前4 行中总共有a+5=11个行对.考虑最后两 行:若第1列还有红点,那么,有红点的这一 行不能再有其他的红点.如第1列还有2个 .红点,这时能增加9个行对,6×6方格表中 共有11+9=20个行对;如第1列还有1个 红点,不妨设第1列第5行的小方格有红点, 这时即使第6行除第1列外的其他小方格都

6.以编号为行、选手为列作一个6 x厅的方
格表.如果选手吼(/=1,2,…,n)答对第_『 (.i=1,2,…,6)题,就将方格表中第.『行第i 列的小方格(.i,i)的中心染成红点.我们的问 题就是在6×几的方格表中,不存在“横”6点
?…?

有红点,那么,可增加a+5×2=14个行对,
6×6方格表中共有II+14=25个行对;如第 ’1列没有其他的红点,那么,在最后两行中最 多还有两个行对,这两个行对占去了两列,在

矩形£..::::和“纵”6点矩形÷÷的情况,且
二…‘

余下的三列中,每列最多有1个红点,于是,
可增加行对2×5+3×2=16个,这时,6×6 方格表中最多有11+16=27个行对.这说明 27是可能的行对总数的最大值. 设第/列的红点数为毛(/=1,2,…,6),
6 \ 6

至少有23个红点时,求rl,的最小值. 如第l列有6个红点,那么,后面各列至

多有2个红点.因为Q=15>9,于是,取第2
至10列,其中第2至9列每列有2个红点, 第10列1个红点(如图6)满足题设.这说明 ll,的最小值不大于10.
口l口2

且∑兢=.|}.则所有行对的总数∑丘≤27,即
i一6
6 i
2l

n3口.%‰q口0吗aio…a。

∑z:一∑zi≤54.
i=1 i=1

由柯西不等式有

∑戈:≥去(∑毛)2=去I|}2.
i=l


i=I



L2

所以,≥≤后+54.
图6

解得3—3 ̄/37≤后≤3+3/37. 由后为正整数知||}≤21.这说明6×6方 格表中红点个数最多为21个. 又当n≤5时,方格表中红点总数不大 于4×5=20个.这说明厅的最小值不小于7. 综上,该代表队至少有7名选手. (刘诗雄 华南师范大学中山附中,
528447)

我们发现,可通过将第1列中某点移到 此点所在行的其他列中来减少图6的列数, 如作移动(6,】)一(6,2),可同时作移动(4, 10)一(6,3),(3,9)一(6,4),(5,9)一(6,7), 这样便得到有23个红点的图7.类似地可得 图8.这说明n的最小值不大于7.

万方数据

数学奥林匹克高中训练题(14)
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 刘诗雄, LIU Shi-xiong 华南师范大学中山附中,528447 中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2008,""(6) 0次

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