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山西省曲沃中学2014-2015学年高一数学下学期第一次月考试题


曲沃中学高一年级第二学期第一次考试数学试卷
(考试时间:120 分钟 一、单项选择(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、如图是某几何体的三视图,则这个几何体是( ) A.圆柱 B.球 C.圆锥 D.棱柱 满分:150 分)

2、已知圆柱与圆锥的底面积、高相等,它们的体积分别为 V1 和 V2 ,则 V1 : V2 ? ( A. 1: 3 B. 1:1 C. 2 :1 D. 3 :1 3、在空间中,有如下四个命题: ①平行于同一个平面的两条直线是平行直线; ②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面; ③若平面 α 内有不共线的三 个点到平面 β 距离相等,则 α ∥β ; ④过平面 α 的一条斜线有且只有一个平面与平面 α 垂直. 其中正确的两个命题是( ) A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 4、某几何体的三视图如图所示,则其体积为( ).



2? A、 3

? B、 3

C、 ?

? D、 6

5、如下图所示是正方体的平面展开图.在这个正方体中,①BM 与 ED 平行;②CN 与 BE 是异面直线;③CN 与 BM 成 60°角;④DM 与 BN 是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是

5 题图

6 题图 )

A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④ 6、如上图,已知四棱锥 S- ABCD 的侧棱与底面边长都是 2,且底面 ABCD 是正方形,则侧棱与底面所成的角( A. 75
?

B. 60

?

C. 45

?

D. 30

?

7、如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB 沿 BD 折起,使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD,则在三棱锥 A-BCD 中,下列命题正确的是( )

A.平面 ABD⊥平面 ABC B.平面 ADC⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC 8、设 ? , ? ,? 是三个不重合的平面,l 是直线,给出下列命题:①若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ? ? ;②若 l 上两点到 ? 的距离相等,则 l / /? ;③若 l ? ? , l / / ? ,则 ? ? ? ;④若 ? / / ? , l ? ? ,且 l / /? ,则 l / / ? .其中正确的命题 是( ) A. ①② B.②③ C.②④ D.③④ 9、由棱长为 2 的正方体表面的六个中心为顶点构成的新几何体的体积为 ( A.2 B.4 C.



2 3

D.

4 3
1

10、如图所示,梯形 A1B1C1D1 是一平面图形 ABCD 的直观图(斜二侧

法).若 A1D1∥y1 轴,

A1B1∥C1D1,A1B1=

2 C1D1=2,A1D1=1,则 ABCD 的面积是( ) 3
C.5 2 D.

A.

5 2

B.5

5 2 2

11、三棱锥 A ? BCD , AC ? 底面 BCD, BD ? DC, BD ? DC, AC ? a , ? ABC? 300 ,则点 C 到平面 ABD 的距 离是( A. ) (自画图) B.

5 a 5

15 a 5

C.

3 a 5

D.

15 a 3

12、如图长方体中,AB=AD=2 3 ,CC1= 2 ,则二面角 C1—BD—C 的大小为 A.30 B.45 C.60 D.90 二、填空题(每题 5 分,共 4 题,20 分)
0 0 0 0

3 13、若正四棱锥的底面边长为 2 3cm ,体积为 4cm ,则 它的侧 面积为

cm2 .
. 。 (填序号)

14、 圆台的上,下底面积分别为 ? ,4? ,侧面积为 6? ,则这个圆台的体积是

15、设 a、b 是两条直线,α β 是两个平面,则下列 4 组条件中所有能推得 a ? b 的条件是 ① a ? ? , b ∥ ? , ? ? ? ;② a ? ? , b ? ? , ? ? ? ;

C1

③ a ? ? , b ? ? , ? ∥ ? ;④ a ? ? , b ∥ ? , ? ∥ ? 。 16、如图,在正三棱柱 面

A1

B1

ABC ? A1B1C1 中,侧棱长为 2 ,底面三角形的边长为 1,则 BC1 与侧
C A B

ACC1 A1 所成的角是________

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17、 (本小题 10 分)如图,棱柱 ABCD— A1B1C1D1 的底面 ABCD 为菱形 ,AC∩BD=O,侧棱 AA1 ⊥BD,F 为 DC1 的中 点. (I) 证明: OF // 平面 BCC1B1 ; (II)证明:平面 DBC1 ? 平面 ACC1 A 1.

18、 (本小题 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD ,且 PA ? AD ,点 F 是 棱 PD 的中点,点 E 在棱 CD 上移动.求证: PE ? AF .

2

19、 (本小题 12 分)如图,已知 PA⊥⊙O 所在的平面, AB 是⊙O 的直径,AB=2,C 是⊙O 上一点,且 AC=BC=PA,E 是 PC 的中点,F 是 PB 的中点. (1)求证:EF⊥平面 PAC; (2)求三棱锥 B—PAC 的体积.

ABC ⊥平面 20、 (本小题 12 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,四边形 AAC 1 1C 是边长为 4 的正方形,平面

AAC 1 1C , AB ? 3, BC ? 5 .
(Ⅰ)若 D 是线段 BC 的中点,在线段 AB1 是否存在点 E ,使得 DE / / 面 AAC 1 1C ?若存 在,请说明点 E 的位置,若不存在,请说明理由; (Ⅱ)求二面角 C ? A 1B 1 ? C1 的大小。
C1

A1

B1

A D C

B

21、 (本小题 12 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?ABC ? 60 E、F 分别是 PB、
?

CD 的中点,且 PB ? PC ? PD ? 4 .求二面角 A ? PB ? C 的余弦值.

P

E A F B C D

22、 (本小题 12 分)如图,在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 ,点 E , F 分别是边 CD , CB 的中点,

?

AC ? EF ? O . 沿 EF 将 △ CEF 翻 折到△ PEF , 连接 PA,PB,PD , 得 到如 图的五 棱锥 P ? ABFED , 且
3

PB ? 10 .
(1)求证: BD ? 平面 POA ; (2)求四棱锥 P ? BFED 的体积.

4

ADBBC

CDDDB

BA ②③④

8 3

7 3 ? 3

? ? 30?

17(I)? 四边形 ABCD 为菱形且 AC ? BD ? O ? O 是 BD 的 中点 .又点 F 为 DC1 的中点,

? 在 ?DBC 1 中,OF // BC 1 ,? OF ? 平面 BCC1B 1 ?平 1 ,BC


BCC1B1



?

OF //





BCC1B1

.

(II)? 四边形 ABCD 为菱形,? BD ? AC , 又 BD ? AA1 ,

AA1 ? AC ? A, 且 AA1, AC ? 平面 ACC1 A1 , ? BD ? 平面 ACC1 A1
,

? BD ?





DBC1 ,? 平面 DBC1 ? 平面 ACC1 A1 .

CD ? 平面ABCD ,? CD ? PA . 18.? PA ? 平面ABCD , 又 ABCD 是
形,? CD ? AD ,? PA ? AD ? A ,? CD ? 平面PAD .



? AF ? 平面PAD , ? AF ? CD ? PA ? AD , 点 F 是 PD 的 中 点
又 CD ? PD ? D , ? AF ? 平面PDC .

? AF ? PD

? PE ? 平面PDC,

? PE ? AF .
19、 (1)∵PA⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC,∴PA⊥BC,∵AB 是 ? O 的直径, ⊥AC, 又 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC,由(1)知 EF∥BC,∴EF⊥平面 PAC (2)解:在 Rt△ABC 中,AB=2,AC=BC,所以 AC=BC= 2 ,所以 PA= 2 , 因为 PA⊥平面 ABC, AC ? 平面 ABC, 所以 PA⊥AC, 所以 S ?PAC ? (2)知 BC⊥平面 PAC,所以 VB ? PAC ? ∴ BC

1 PA ? AC ? 1 , 2



1 2 S? PAC ? BC ? 3 3

E ,连结 DE .因为点 E 是 A1B 20(1)当点 E 是线段 AB1 的中点时,有 DE / / 面 AAC 1 1C .连结 A 1B 交 AB1 于点
中点,点 D 是线段 BC 的中点,所以 DE / / AC . 1

DE / / 面 AAC 又因为 DE ? 面 AAC ? 面 AAC 1 1C , AC 1 1 1C ,所以 1 1C .
(2)因为 AA1⊥平面 ABC,所以 AA1⊥ AB .又因为 AC⊥ AB ,所以 AB ? 面 AAC 1 1C .
5

所以 A1B1 ? 面 AAC 1 1C .所以 A 1B 1 ? AC 1 1, A 1B 1 ? AC 1 .所以 ?C1 AC 1 是二面角 C ? A 1B 1 ? C1 的平面角.易得

tan ?C1 A1C ?

C1C ? 1 .所以二面角 C ? A1B1 ? C1 的平面角为 45 ? . C1 A1

21. 取 AB 的中点 G, 过 G 作 GH ? PB 于点 H , 连结 HC , GC. 则 CG ? AB, 又 CG ? PA, PA ? AB ? A,?CG ? 平面 PAB. ? HC ? PB,

??GHC 是二面角 A ? PB ? C 的平面 角.
在 Rt ?PAB 中, AB ? 2, PB ? 4,? PA ? 2 3. 又 Rt ?BHG ∽ Rt ?BAP ,?

HG BG 3 . ? ,? HG ? PA PB 2 15 5 , , ? cos ?GHC ? 2 5

在 Rt ?HGC 中,可求得 GC ? 3,? HC ?

故二面角 A ? PB ? C 的余弦值为

5 .. 5

22.(1)证明:∵点 E , F 分别是边 CD ,CB 的 ∵菱形 ABCD 的对角线互相垂直, ∴ BD ? AC . EF ? AO , EF ? PO . ∵ AO ? 平 面 P O A, PO ? 平 面 P O A,

P

中点, ∴ BD ∥ EF . ∴ EF ? AC . ∴

EF ? 平面 POA .

∴ BD ? 平面

D A B E H F O

AO ? PO ? O , ∴ POA .
?DAB ? 60? , ∴

? H ( 2 ) 解 : 设 A O? B D , 连 接 BO , ∵
△ ABD 为等边三角形. ∴ BD ? 4 , BH ? 2 在 R t△ BHO 中, BO ? ∴ PO ? BO . ,

HA ? 2 3 ,

HO ? PO ? 3 .

BH 2 ? HO2 ? 7 ,

2 2 2 在△ PBO 中, BO ? PO ? 10 ? PB ,

∵ PO ? EF , EF ? BO ? O , EF ? 平面 BFED , BO ? 平面 BFED ,∴ PO ? 平面 梯形 BFED 的面积为 S ?

BFED .
∴四棱锥 P ? BFED 的体积 V ?

1 ? EF ? BD ? ? HO ? 3 3 , 2

1 1 S ? PO ? ? 3 3 ? 3 ? 3 . 3 3

6


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