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浙江省温州市乐清国际外国语学校2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷 Word版含解析

2014-2015 学年浙江省温州市乐清国际外国语学校高一(下)期末数学试卷

一、选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列各组函数中,表示同一函数的是( A.f(u)=u +1,g(v)=v +1 B.f(x)=|x|, C. D.f(x)= ,g(x)= × ,g(x)=
2 2

)

2.设全集为 R,集合 A={x| A.{x|﹣2≤x<1} B.{x|﹣2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2}

},B={x|x >4},则(CRB)∩A=(

2

)

3.同时具有性质“①最小正周期是 π ,②图象关于直线 增函数”的一个函数是( A. B. C. D. )

对称;③在

上是

4.设函数 f(x)=x ﹣4x+3,g(x)=3 ﹣2,集合 M={x∈R|f(g(x) )>0},N={x∈R|g(x) <2},则 M∩N 为( A. (1,+∞) )

2

x

B. (0,1) C. (﹣1,1) D. (﹣∞,1)

5.已知集合 M={1,2,3,4},N={2,3,4},则( A.N∈M B.N? M C.N? M D.N=M

)

6. 已知 a>0 且 a≠1, 函数 f (x) =

满足对任意实数 x1≠x2,

都有 A. (0,1) B. (1,+∞) C. (1, ] D. C.{1,2} D.{0,1,2}

>0 成立,则 a 的取值范围是(

)

9.已知函数 f(x)= A.{x|kπ + B.{x|2kπ + C.{x|kπ + D.{x|2kπ +

sinx﹣cosx,x∈R,若 f(x)≥1,则 x 的取值范围为(

)

≤x≤kπ +π ,k∈Z} ≤x≤2kπ +π ,k∈Z} ≤x≤kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z} ,k∈Z}

10.已知 f(x)=

,若 f(0)是 f(x)的最小值,则 t 的取值范围为

( A. B. C. D.

)

二、填空题(5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若幂函数 f(x)的图象过点 ,则 f(9)=__________.

12. 在△ABC 中,

, 则实数 t 的值为__________.

13.已知

,则

的值为__________.

14.若方程

有 3 个不同实数解,则 b 的取值范围为__________.

15.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,﹣ 和最低点的距离为 2

≤φ ≤

)的图象上的两个相邻的最高点

,且过点(2,﹣ ) ,则函数 f(x)=__________.

三、解答题(75 分) 16.求过直线 2x+3y+5=O 和直线 2x+5y+7=0 的交点,且与直线 x+3y=0 平行的直线的方程,并 求这两条平行线间的距离.

17.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列,

(1)求{an}的公比 q; (2)求 a1﹣a3=3,求 Sn.

18. (14 分)已知数列{an}的首项 a1= ,

,其中 n∈N+.

(Ⅰ)求证:数列{ (Ⅱ)记 Sn=

}为等比数列; ,若 Sn<100,求最大的正整数 n.

19. (14 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形 ACFE 为矩形, 平面 ACFE⊥平面 ABCD,CF=1. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACFE; (Ⅱ)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 θ (θ ≤90°) , 试求 cosθ 的取值范围.

20.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,向量 =(4,﹣1) , =(cos , cos2A) ,且 .

2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a= ,试判断 b×c 取得最大值时△ABC 形状.

21. (13 分)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线:x﹣ (1)求圆 O 的方程

y=4 相切

(2)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点,圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求 的取值范围.

2014-2015 学年浙江省温州市乐清国际外国语学校高一(下)期末数学试卷

一、选择题(10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下列各组函数中,表示同一函数的是( A.f(u)=u +1,g(v)=v +1 B.f(x)=|x|, C. D.f(x)= ,g(x)= × ,g(x)=
2 2

)

考点:判断两个函数是否为同一函数. 专题:常规题型. 分析:根据判断两函数相同的方法:定义域和对应关系相同. 解答: 解:B 选项,两函数的定义域分别为 R 和∪ 故选 C 点评:此题属于以其他不等式与一元二次不等式的解法为平台,考查了交、并、补集的混合运 算,熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键.

3.同时具有性质“①最小正周期是 π ,②图象关于直线 增函数”的一个函数是( A. B. C. D. )

对称;③在

上是

考点:三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性;正弦函数的对称性.

专题:三角函数的图像与性质. 分析:首先此类题目考虑用排除法,根据周期可以排除 A,根据对称性可排除 B,根据对称轴 取最值排除 D.即可得到答案 C 正确. 解答: 解:首先由最小正周期是 π ,可以排除 A; 又因为 B 中,当 x∈ 因此 C 正确. 故选 C. 点评:此题主要考查函数的周期性,对称轴,单调区间的应用,在三角函数的学习中,对于三 角函数的性质非常重要,要注意记忆和理解,在应用中也极其广泛,值得注意. ,不是最值,可以排除排除 D; 时,0≤2x+ ≤π ,单调递减,所以排除 B;

4.设函数 f(x)=x ﹣4x+3,g(x)=3 ﹣2,集合 M={x∈R|f(g(x) )>0},N={x∈R|g(x) <2},则 M∩N 为( A. (1,+∞) B. (0,1) C. (﹣1,1) D. (﹣∞,1) 考点:交集及其运算;二次函数的性质. 专题:集合. 分析:由 f(x)与 g(x)解析式,根据 M 与 N 中的不等式分别求出 x 的范围,确定出 M 与 N, 找出两集合的交集即可. 解答: 解: ∵函数 f (x) =x ﹣4x+3, g (x) =3 ﹣2, 集合 M={x∈R|f (g (x) ) >0}, N={x∈R|g (x)<2}, ∴M={x|g(x)>3 或 g(x)<1}={x|3 ﹣2>3 或 3 ﹣2<1}={x|x>log35 或 x<1},N={x|3 ﹣2<2}={x|3 <4}={x|x<log34}, ∴M∩N={x|x>log35 或 x<1}∩{x|x<log34}={x|x<1}. 故选:D. 点评:此题考查了交集及其运算,以及对数、指数的运算性质,熟练掌握交集的定义是解本题 的关键.
x x x x 2 x

2

x

)

5.已知集合 M={1,2,3,4},N={2,3,4},则( A.N∈M B.N? M C.N? M D.N=M 考点:集合的包含关系判断及应用. 专题:证明题. 分析:由子集的定义即可判断出答案.

)

解答: 解:∵2∈M,3∈M,4∈M,∴{2,3,4}? M,即 N? M. 故选 B. 点评:正确理解集合之间的关系是解题的关键.

6. 已知 a>0 且 a≠1, 函数 f (x) =

满足对任意实数 x1≠x2,

都有 A. (0,1) B. (1,+∞) C. (1, ] D. . 故选:C.

>0 成立,则 a 的取值范围是(

)

点评:本题考查实数的取值范围的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数的单调性的 合理运用.

7.函数 A.周期为 B.周期为 的奇函数 的偶函数

是(

)

C.周期为 D.周期为

的奇函数 的偶函数

考点:二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 函数解析式利用诱导公式化简后, 再利用二倍角的正弦函数公式化为一个角的正弦函数, 求出函数的最小正周期,根据正弦函数为奇函数,即可得到正确的选项. 解答: 解:y=﹣ ∵ω =4,∴T= = sin2xcos2x=﹣ , sin4x,

又正弦函数为奇函数, 则函数为周期是 故选 C 点评:此题考查了二倍角的正弦,正弦函数的奇偶性,以及三角函数的周期性及其求法,熟练 掌握公式是解本题的关键. 的奇函数.

8.已知集合 A={x||x|≤2,x∈R}, A. (0,2) B. C.{1,2} D.{0,1,2} 考点:交集及其运算. 专题:计算题.

,则 A∩B=(

)

分析:分别求出两集合中其他不等式的解集,确定出两集合,然后求出两集合的交集即可. 解答: 解:由集合 A 中的不等式|x|≤2,解得:﹣2≤x≤2,所以集合 A=, 由集合 B 中的不等式 则 A∩B={0,1,2}. 故选 D 点评:解得本题的关键是确定出两集合,方法是求出两集合中其他不等式的解集.学生容易出 错的地方是忽略负数没有平方根这个条件,没有找全集合 B 中的元素. ≤2,解得:0≤x≤4,又 x∈Z,所以集合 B={0,1,2,3,4},

9.已知函数 f(x)= A.{x|kπ + B.{x|2kπ + C.{x|kπ + D.{x|2kπ +

sinx﹣cosx,x∈R,若 f(x)≥1,则 x 的取值范围为(

)

≤x≤kπ +π ,k∈Z} ≤x≤2kπ +π ,k∈Z} ≤x≤kπ + ≤x≤2kπ + ,k∈Z} ,k∈Z}

考点:三角函数的化简求值. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:利用两角差的正弦函数化简函数 f(x)= 式,根据 f(x)≥1,求出 x 的范围即可. 解答: 解: 函数 f (x)= ≥1,所以, 所以 f(x)≥1,则 x 的取值范围为:{x|2kπ + 故选:B 点评:本题是基础题,考查三角函数的化简,三角函数不等式的解法,考查计算能力,常考题 型. ≤x≤2kπ +π ,k∈Z} sinx﹣cosx=2sin (x﹣ ) ,因为 f(x) ≥1, 所以 2sin (x﹣ ) sinx﹣cosx 为一个角的一个三角函数的形

10.已知 f(x)=

,若 f(0)是 f(x)的最小值,则 t 的取值范围为

( A. B. C. D.

)

考点:分段函数的应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:法 1:利用排除法进行判断,

法 2:根据二次函数的图象以及基本不等式的性质即可得到结论. 解答: 解:法一:排除法. 当 t=0 时,结论成立,排除 C; 当 t=﹣1 时,f(0)不是最小值,排除 A、B,选 D. 法二:直接法. 由于当 x>0 时,f(x)=x+ +t 在 x=1 时取得最小值为 2+t, 由题意当 x≤0 时,f(x)=(x﹣t) , 若 t≥0,此时最小值为 f(0)=t , 故 t ≤t+2, 即 t ﹣t﹣2≤0,解得﹣1≤t≤2,此时 0≤t≤2, 若 t<0,则 f(t)<f(0) ,条件不成立, 选 D. 点评:本题主要考查函数最值的应用,根据分段函数的性质,结合二次函数的图象和性质是解 决本题的关键.
2 2 2 2

二、填空题(5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.若幂函数 f(x)的图象过点 ,则 f(9)= .

考点:幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用幂函数的定义,用待定系数法设出 f(x)的解析式,即可求出 f(x) ,将 x=9 代入 即可得. 解答: 解:设幂函数 f(x)=x , ∵幂函数 y=f(x)的图象过点( ∴ ∴f(x)= ∴f(9)= ,解得 , = , . ) ,
α

故答案为: . 点评: 本题考察了幂函数的概念、 解析式, 熟练掌握幂函数的定义是解题的关键. 属于基础题.

12.在△ABC 中,

,则实数 t 的值为 5.

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:计算题. 分析:根据向量坐标的减法运算,得到向量 于 t 的方程并解之,即得 t 的值. 解答: 解:∵ ∴ = 的坐标,再结合向量 与 互相垂直,列出关

又∵∠C=90°,即 ∴ =2(2﹣t)+3×2=0,解之得 t=5

故答案为:5 点评:本题在两个向量互相垂直的情况下,求未知数 t 的值,着重考查了向量的坐标运算和两 个向量垂直的充要条件的知识,属于基础题.

13.已知

,则

的值为 .

考点:运用诱导公式化简求值. 专题:三角函数的求值. 分析:由条件利用诱导公式化简所给式子的值,可得结果. 解答: 解:由于已知 ﹣cos(α + )= , ,则 =﹣cos(α ﹣ + )=

故答案为: .

点评:本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式,要特别注意符号的选取,这是解题的易错 点,属于基础题.

14.若方程

有 3 个不同实数解,则 b 的取值范围为



考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:计算题. 分析:构造 f(x)= 根,可得 b 的取值范围. 解答: 解:假设 f(x)= ,则 f′(x)=x ﹣2x﹣3=(x+1) (x﹣3)
2

,通过函数的导数求出函数的极值,然后利用三个不等实

∴函数在(﹣∞,﹣1) , (3,+∞)上单调增,在(﹣1,3)上单调减 ∴f(﹣1)= 为极大值,f(3)=﹣9 为极小值 所以即﹣9<b< 时,函数 f(x)= 个不等实根 故答案为: . 与函数 f(x)=b 有三个交点,方程有 3

点评: 本题以方程为载体, 考查方程根问题, 考查函数与方程的联系, 解题的关键是构造函数, 利用导数求函数的极值.

15.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0,﹣ 和最低点的距离为 2

≤φ ≤

)的图象上的两个相邻的最高点 x+ ) .

,且过点(2,﹣ ) ,则函数 f(x)=f(x)=sin(

考点:正弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为 2 的值,可得函数的解析式. 解答: 解:由题意可得 =2 ,∴ω = ,函数 f(x)=sin( x+φ ) . 求出 ω ,由特殊点的坐标求出 φ

再把点(2,﹣ )代入函数的解析式可得 sin(π +φ )=﹣sinφ =﹣ , ∴sinφ = . 再由,﹣ ≤φ ≤ ,可得 φ = x+ ,∴f(x)=sin( ) . x+ ) ,

故答案为:f(x)=sin(

点评:本题主要考查利用 y=Asin(ω x+φ )的图象特征,由函数 y=Asin(ω x+φ )的部分图 象求解析式,由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为 2 求出 φ 的值,属于中档题. 求出 ω ,由特殊点的坐标

三、解答题(75 分) 16.求过直线 2x+3y+5=O 和直线 2x+5y+7=0 的交点,且与直线 x+3y=0 平行的直线的方程,并 求这两条平行线间的距离.

考点:两条直线的交点坐标;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题:计算题;直线与圆. 分析:联解直线方程,得两条直线交于点(﹣1,﹣1) ,再设所求平行线 x+3y+c=0,代入点的 坐标解出 c=4,即可求出平行直线的方程.再利用平行线间的距离公式,即可算出这两条平行 线间的距离. 解答: 解:由 ,联解得 x=y=﹣1

所以两条直线的交点为(﹣1,﹣1)﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4 分 设所求平行线 x+3y+c=0, ∵点(﹣1,﹣1)在直线上, ∴﹣1﹣3+c=0,可得 c=4, ∴所求直线的方程为 x+3y+4=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8 分 两条平行线间的距离为 d= = ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10 分

点评: 本题求经过两条直线的交点, 并且与已知直线平行的直线方程, 着重考查了直线的方程、 直线的位置关系等知识,属于基础题.

17.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S1,S3,S2 成等差数列, (1)求{an}的公比 q; (2)求 a1﹣a3=3,求 Sn.

考点:等差数列的性质;等比数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由题意知 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q ) ,由此可知 2q +q=0,从而 (Ⅱ)由已知可得 ,故 a1=4,从而
2 2





解答: 解: (Ⅰ)依题意有 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q ) 由于 a1≠0,故 2q +q=0 又 q≠0,从而 (Ⅱ)由已知可得 故 a1=4
2

2

从而

点评:本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答.

18. (14 分)已知数列{an}的首项 a1= ,

,其中 n∈N+.

(Ⅰ)求证:数列{ (Ⅱ)记 Sn=

}为等比数列; ,若 Sn<100,求最大的正整数 n.

考点:数列递推式;数列的求和. 专题:综合题;等差数列与等比数列.

分析: (Ⅰ)利用数列递推式,变形可得 数列;

,从而可证数列{

}为等比

(Ⅱ)确定数列的通项,利用等比数列的求和公式求和,即可求最大的正整数 n. 解答: (Ⅰ)证明:∵ ∵ ∴数列{ ,∴ }为等比数列. ∈N+) , ,∴ ,

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可求得

,∴

=



若 Sn<100,则 n+1﹣ ∴nmax=99.



点评:本题考查数列递推式,考查等比数列的证明,考查等比数列的求和公式,属于中档题.

19. (14 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形 ACFE 为矩形, 平面 ACFE⊥平面 ABCD,CF=1. (Ⅰ)求证:BC⊥平面 ACFE; (Ⅱ)点 M 在线段 EF 上运动,设平面 MAB 与平面 FCB 所成二面角的平面角为 θ (θ ≤90°) , 试求 cosθ 的取值范围.

考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题:计算题;证明题.

分析: (1)证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明,即若两个平面垂直并且其中一个平面 内的一条直线 a 与两个平面的交线操作时则直线 a 与另一个平面垂直,即可证明线面垂直. (2)建立空间坐标系,根据坐标表示出两个平面的法向量,结合向量的有关运算求出二面角 的余弦的表达式,再利用函数的有关知识求出余弦的范围. 解答: 解: (I)证明:在梯形 ABCD 中, ∵AB∥CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°, ∴AB=2 ∴AC =AB +BC ﹣2AB?BC?cos60°=3 ∴AB =AC +BC ∴BC⊥AC ∵平面 ACFE⊥平面 ABCD,平面 ACFE∩平面 ABCD=AC,BC? 平面 ABCD ∴BC⊥平面 ACFE (II)由(I)可建立分别以直线 CA,CB,CF 为 x 轴,y 轴,z 轴的如图所示空间直角坐标系, 令 0,1) ∴ 设 为平面 MAB 的一个法向量, ,则 ,B(0,1,0) ,M(λ ,
2 2 2 2 2 2

由 取 x=1,则 ∵

得 , 是平面 FCB 的一个法向量



∵ 当 ∴

∴当 λ =0 时,cosθ 有最小值 时,cosθ 有最大值 . .



点评: 解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征, 以便于找到线面之间的平行、 垂直关系, 并且对建立坐标系也有一定的帮助,利用向量法解决空间角空间距离是最好的方法.

20.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,向量 =(4,﹣1) , =(cos , cos2A) ,且 .

2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a= ,试判断 b×c 取得最大值时△ABC 形状.

考点:平面向量数量积的运算;同角三角函数基本关系的运用;余弦定理的应用. 专题:计算题;综合题;向量法. 分析: (1)利用已知计算 ,然后令它等于 ,可求 A 的值.

(2)利用余弦定理,求得 bc 的关系,再用基本不等式和最大值,判定三角形的形状. 解答: 解: (1)由

= 又因为 解得 ∵<A<π ,∴ .所以

=﹣2cos A+2cosA+3

2

(2)在△ABC 中 a =b +c ﹣2bccosA 且 a= ∴(
2 2

2

2

2



) =b +c ﹣bc.

2

2

2

∵b +c ≥2bc,∴3≥2bc﹣bc

即 bc≤3 当且仅当 b=c=

时,bc 取得最大值,

又由(1)知 A=60°∴B=C=60° 故 bc 取得最大值时,△ABC 为等边三角形. 点评:本题考查平面向量数量积,余弦定理,三角函数的基本关系式,是中档题.

21. (13 分)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线:x﹣ (1)求圆 O 的方程

y=4 相切

(2)圆 O 与 x 轴相交于 A、B 两点,圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,求 的取值范围.

考点:圆的标准方程;等比数列的性质;圆方程的综合应用. 专题:计算题;压轴题. 分析:首先分析到题目(1)中圆是圆心在原点的标准方程,由切线可直接求得半径,即得到 圆的方程.对于(2)根据圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,列出方程,再根据 点 P 在圆内求出取值范围. 解答: 解: (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 即 .
2 2

的距离,

得圆 O 的方程为 x +y =4. (2)不妨设 A(x1,0) ,B(x2,0) ,x1<x2.由 x =4 即得 A(﹣2,0) ,B(2,0) . 设P (x, y) , 由|PA|, |PO|, |PB|成等比数列, 得 即 x ﹣y =2.
2 2 2

, =x ﹣4+y =2(y ﹣1) .
2 2 2

由于点 P 在圆 O 内,故 由此得 y <1. 所以 的取值范围为[﹣2,0) .
2

点评:此题主要考查圆的标准方程的求法,以及圆与直线交点问题,属于综合性试题,有一定 的计算量,难易中等.


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