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2015年高中数学《不等式选讲》综合测试题(B)新人教版选修4-5

数学选修 4-5《不等式选讲》综合测试题 B(含答案)
一、选择题 1.设 a ? b ? c, n ? N ,且 A. 2

1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值是 a?b b?c a?c B. 3 C. 4 D. 6

2. 若 x ? (??,1) ,则函数 y ? A.最小值 1

x2 ? 2 x ? 2 有 2x ? 2
C.最大值 ?1 D.最小值 ?1

B.最大值 1

3.设 P ? 2 , Q ? 7 ? 3 , R ? 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是 A. P ? Q ? R B. P ? R ? Q
3 3

C. Q ? P ? R
2 2

D. Q ? R ? P

4.设不等的两个正数 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a ? b 的取值范围是 A. (1, ??) B. (1, )

4 3

C. [1, ]

4 3

D. (0,1)

? 5.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 ,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有

1 a

1 b

1 c

A. 0 ? M ?

1 8

B.

1 ? M ?1 8

C. 1 ? M ? 8

D. M ? 8

6.若 a, b ? R ? ,且 a ? b, M ? A. M ? N 二、填空题 B. M ? N

a b ? , N ? a ? b ,则 M 与 N 的大小关系是 b a
C. M ? N D. M ? N

1.设 x ? 0 ,则函数 y ? 3 ? 3 x ?

1 的最大值是______ ____. x

2.比较大小: log3 4 ______ log6 7 3.若实数 x, y , z 满足 x ? 2 y ? 3z ? a(a为常数) ,则 x ? y ? z 的最小值为__________.
2 2 2

4.若 a, b, c, d 是正数 ,且满足 a ? b ? c ? d ? 4 ,用 M 表 示

a ? b ? c, a ? b ? d , a ? c ? d , b ? c ? d 中的最大者,则 M 的最小值为__________.
lg x lg y lg z 5.若 x ? 1, y ? 1, z ? 1, xyz ? 10 ,且 x ? y ? z ? 10 ,则 x ? y ? z ? _____ 。

三、解答题 1.如果关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集不是空集,求参数 a 的取值范围。
1

2.求 证:

a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c ? 3 3

3.当 n ? 3, n ? N 时,求证: 2n ? 2(n ? 1)

1? a ?b ? 4.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c , 且 有 a ? b ? c ? 1, a ? b ? c ? 1 , 求证:
2 2 2

4 3

数学选修 4-5 一、选择题

不等式选讲 [综合训练 B 组]

a ?c a ?c a ?b ?b ?c a ?b ?b ?c b?c a ?b ? ? ? ? 2? ? ? 4, a ?b b?c a ?b b?c a ?b b?c 1 1 4 1 1 n ? ? ? ? ? ,而 恒成立,得 n ? 4 a ?b b?c a ?c a?b b?c a?c
1.C ;?

2

2.C ; y ?

( x ? 1)2 1 x ?1 1 1? x 1 ? ? ? ? ?2 ? ? ?1 2x ? 2 2x ? 2 2 2( x ? 1) 2 2(1 ? x)

3.B ;? 2 ? 2 ? 2 2 ? 6,? 2 ? 6 ? 2 ,即 P ? R ;又

? 6 ? 3 ? 7 ? 2,? 6 ? 2 ? 7 ? 3 ,即 R ? Q ,所以 P ? R ? Q
4 .B ; a2 ? ab ? b2 ? a ? b,(a ? b)2 ? (a ? b) ? ab ,而 0 ? ab ?

( a ? b) 2 ,所 以, 4

0 ? (a ? b)2 ? (a ? b) ?
5.D ;

4 ( a ? b) 2 ,得 1 ? a ? b ? 3 4

M ?(

a?b?c a?b?c a?b?c (b ? c )(a ? c )(a ? b) ? 1)( ? 1)( ? 1) ? a b c abc

?

8 ab bc ac ?8 abc
? a ? b,? a b ? b ? 2 a, ? a ?2 b, b a

6.A

?

a b a b ? b? ? a ? 2 b ? 2 a ,即 ? ? b? a b a b a

二、填空题 1. 3 ? 2 3 ; y ? 3 ? 3x ?

1 1 ? 3 ? 2 3x ? ? 3 ? 2 3 ,即 ymax ? 3 ? 2 3 x x
a b b b

a b 2. ? ;设 log3 4 ? a,log6 7 ? b ,则 3 ? 4,6 ? 7 ,得 7 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ? 2 ? 3 ,即

3a ?b ?

4 ? 2b 4 ? 2b a ?b ?1? a ? b ? 0 ? a ? b ,显然 b ? 1, 2b ? 2 ,则 3 ? 7 7

3.

a2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ;?(1 ? 2 ? 3 )( x ? y ? z ) ? ( x ? 2 y ? 3z) ? a ,即 14( x ? y ? z ) ? a , 14
a2 14

? x2 ? y 2 ? z 2 ?
4. 3 ; M ?

1 3 (a ? b ? c ? a ? b ? d ? a ? c ? d ? b ? c ? d ) ? (a ? b ? c ? d ) ? 3 ,即 4 4

M min ? 3

3

5. 12 ; lg( xlg x ? y lg y ? z lg z ) ? 1 ? lg2 x ? lg2 y ? lg2 z ? 1 ,而

lg2 x ? lg2 y ? lg2 z ? (lg x ? lg y ? lg z)2 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? [lg( xyz)]2 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1
即 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 ,而 lg x,lg y,lg z 均不小于 0 ,得

lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 ,
此时, lg x ? lg y ? 0 ,或 lg y ? lg z ? 0 ,或 lg z ? lg x ? 0 ,得 x ? y ? 1, z ? 10 ,或

y ? z ? 1, x ? 10 ,或 x ? z ? 1, y ? 10 x ? y ? z ? 12
三、解答题 1.解:? x ? 3 ? x ? 4 ? ( x ? 3) ? ( x ? 4) ? 1,?( x ? 3 ? x ? 4 )min ? 1,当 a ? 1 时,

x ? 3 ? x ? 4 ? a 解集显然为 ? ,所以 a ? 1
a 2 ? b 2 ? c 2 (a ? b ? c) 2 ? 2.证:?(1 ? 1 ? 1 )(a ? b ? c ) ? (a ? b ? c) ,? 即 3 9
2 2 2 2 2 2 2

a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c ? 3 3
1 2 n 1 n?1 n 3. 证: ? 2 ? 2(n ? 1) ?2n ? (1 ?1)n ? 1 ? Cn ? Cn ? ...Cn ? 1 ? Cn ? Cn ? Cn ? 2(n ?1) ,
n

(本题也可以用数学归纳法)

( a ? b) 2 ? ( a 2 ? b 2 ) ? c 2 ? c ,? a, b 是方程 4.证:? a ? b ? 1 ? c, ab ? 2
1 x2 ? (1 ? c) x ? c2 ? c ? 0 的两个不等实根,则 ?? (1 ? c)2 ? 4(c2 ? c) ? 0 ,得 ? ? c ? 1 , 3
而 (c ? a)(c ? b) ? c ? (a ? b)c ? ab ? 0
2

即 c ? (1 ? c)c ? c ? c ? 0 ,得 c ? 0, 或c ?
2 2

2 1 4 ,所以, ? ? c ? 0 ,即 1 ? a ? b ? 3 3 3

4