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3.2.1用向量方法证明平行与垂直关系

§3.2.1

用向量方法证明平行与垂直

的法向量。

教材导读 1、直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线 或 的 向量,一条直线的方向向量有 个。 2.平面的法向量 直线 l ? ? , 取直线 l 的 a,则向量 a 叫做平面 ? 的 。 3、空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行与垂直 设 直 线 l, m 的 方 向 向 量 分 别 为 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),且 a2,b2,c2≠0,则 题型二 利用向量方法证平行关系 【例 2】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,O 是 B1D1 的中点,求证:B1C//平面 ODC1

【练习 2】 如图, 矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在 平面互相垂直,BE//CF,∠BCF=∠CEF=90?, AD= 3 ,EF=2,求证:AE//平面 DCF.
D A C

l // m ? l?m?

? ?

? ?

(2)设直线设直线 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1) , 平 面 若 ? 的 法 向 量 为 u=(a2,b2,c2),则 l // ? ? ? 。l ? ? ? ? ?

B

F E

?

(3)面面平行 设平面 ?,? 的法向量分别为 u=(a1,b1,c1) , v=(a2,b2,c2), 则 ? // ? ? 题型三 用向量方法证垂直关系 【例 3】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E,F 分 别是棱 AB, 的中点, BC 试在棱 BB1 上找一点 M, 使得 D1M⊥平面 EFB1.

? ?

? ?

;? ? ? ?

对点讲练 题型一 求平面的法向量 【 例 1 】 已 知 平 面 ? 经 过 三 点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0), 试求平面 ? 的一个法向量。 【练习 1】在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分 别为 BB1,CD 的中点,求证: AE 是平面 A1D1F
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【练习 3】 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 1C⊥A1B, B 求证:AC1 ⊥A1B.

课时作业 一、选择题 1、已知 A(3,5,2),B(-1,2,1),把 AB 按向量 a=(2,1,1)平移后所得的向量是 A.(-4,-3,0) B.(-4,-3,-1) C.(-2,-1,0) D.(-2,-2,0) 2.平面 ? 的一个法向量为(1,2,0) ,平面 ? 的一个法向量为(2,-1,0) ,则平面 ? 与 ? 的位置关系是 A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.不能确定 3.从点 A(2,-1,7)沿向量 a=(8,9,-12)的方向 取线段长 AB=34,则 B 点坐标为 A.(-9,-7,7)B.(18,17,-17) C.(9,7,-7) D.(-14,-19,31) 4、已知 a=(2,4,5)b=(3,x,y)分别是直 线 l1 ,l 2 的方向向量,若 l1 // l 2 ,则 A.x=6,y=15 C.x=3,y=15 9 、 △ ABC 是 一 个 正 三 角 形 , EC ⊥ 平 面 ABC,BD//CE,且 CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点, 求 证:平面 DEA⊥平面 ECA.
M D N A B C P

15 2 15 D.x=6,y= 2
B.x=3,y=

5、若直线 l 的方向向量为 a=(1,0,2,),平面 ? 的法向量为 u=(-2,0,-4),则 A. l // ? B. l ⊥ ? C. l ? ? D. l 与 ? 斜交 二、填空题 6、已知 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5), 若|a|= 3 ,且 a ⊥ AB , a ⊥ AC ,则向量 a 的坐标为 7、 已知平面 ? 经过点 O 0, 0)且 e=(1,1,1) ( 0, , 是 ? 的法向量,M(x,y,z)是平面 ? 内任意一 点,则 x,y,z 满足的关系式是 。 三、解答题 8、如图,已知 P 是正方形 ABCD 平面外一点, M,N 分别是 PA,BD 上的点, PM:MA=BN:ND=5:8, 且 求证:直线 MN//平面 PBC
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10、在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为正方 形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中 点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F (1)证明:PA//平面 EDB; (2)证明:PB⊥平面 EFD.

P

F D

E

C

A

B


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