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数理方程第1讲_图文

1

第一章 一些典型方程和定解条件的推导 §1.1 基本方程的建立

2

例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 平衡时沿直线拉紧, 而且除受不随时间而变的张力作用外, 不受外 力影响. 下面研究弦作微小横向振动的规律. 所谓"横向"是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓"微小"是指的振动的幅度及弦在任意位 置处切线的倾角都很小, 以致它们的高于一次 方的项都可略而不计.

3

u

? u ( x, t ) ?T sin a ? T ? sin a ? ? ? d s 2 ?t
2

ds
a

M'

a'

T'

M

T
O

N x

N' x+dx

x
4



? u ( x, t ) ?T sin a ? T ? sin a ? ? ? d s 2 ?t
2
2

? u ( x, t ) ? ?u ( x ? d x, t ) ?u ( x, t ) ? T? ? ? d s ? 2 ? ?t ?x ?x ? ? (1.2) 或

T ? u ( x, t ) ? u ( x, t ) ? 2 2 ? ?x ?t
2 2

5

最后得

?u T 2 ? u 2 ?a , (a ? ), 2 2 ?t ?x ?
2 2

(1.3)

(1.3)式称为一维波动方程.

6

如果在振动过程中, 弦上另外还受到一个与弦 的振动方向平行的外力, 且假定在时刻t弦上x 点处的外力密度为F(x,t), 则按照同样的推动 办法, 可得到弦的强迫振动方程为 2 2 ?u 2 ? u ?a ? f ( x, t ) (1.3)? 2 2 ?t ?x 其中 f ( x, t ) ?
1

? 的弦在x点处所受的外力密度

F ( x, t ), 表示t时刻单位质量

7

?u 2 ? u ?a 2 2 ?t ?x
2 2

(1.3) (1.3)?

?u 2 ? u ?a ? f ( x, t ) 2 2 ?t ?x
2 2

方程(1.3)与(1.3)'的差别在于(1.3)'的右端多了 一个与未知函数u无关的项f(x,t), 这个项称为 自由项. 包括有非零自由项的方程称为非齐次 方程, 自由项恒等于零的方程称为齐次方程. (1.3)为齐次一维波动方程, (1.3)'为非齐次一维 波动方程.
8

例2 传输线方程 对于直流电或低频的交流电, 电路的基尔霍夫 定律指出同一支路中电流相等, 但对于较高频 率的电流(指频率还没有高到能显著地辐射电 磁波的情况), 电路中导线的自感和电容的效 应不可忽略, 因而同一支路中电流未必相等.

9

今考虑一来一往的高频传输线, 它被当作具有 分布参数的导体. 在具有分布参数的导体中, 电流通过的情况, 可以用电流强度i和电压v来 描述, 此处i与v都是x,t的函数, 记作i(x,t)与 v(x,t). i i+Di LD x v x

CDx

v+Dv

x+Dx
10

L—每一回路单位的串联电感; C—每一单位长度的分路电容. i LDx v x CDx i+Di

v+Dv x+Dx

11

?i v ? (v ? Dv) ? LDx ?t ?v ?i ? ?L ?x ?t
i LD x v x CDx i+Di

(1.4)

v+Dv x+Dx

12

?v i ? (i ? Di ) ? C Dx ?t ?i ?v ? ?C ?x ?t
i LD x v x CDx i+Di

(1.5)

v+Dv x+Dx

13

?v ?i ? ?L ?x ?t

(1.4)

?i ?v ? ?C (1.5) ?x ?t (1.4)对t求偏导, 将(1.5)对x求偏导, 得 2 2 2 2 ?v ?i ?i ?v ? ?L 2 , ? ?C 2 ?t?x ?t ?x ?t?x 2 2 ?i ?i LC 2 ? 2 ?t ?x
14

?v ?i ? ?L ?x ?t

(1.4)

?i ?v ? ?C (1.5) ?x ?t (1.4)对x求偏导, 将(1.5)对t求偏导, 得 2 2 2 2 ?v ?i ?i ?v ? ?L , ? ?C 2 2 ?x ?t?x ?t?x ?t 2 2 ?v ?v ? LC 2 2 ?x ?t
15

最后得

?i 1 ?i ? , 2 2 ?t LC ?x 2 2 ?v 1 ?v ? 2 2 ?t LC ?x 这两个方程称为高频传输线方程. 1 2 若令 a ? LC 这两个方程与(1.3)完全相同. 由此可见, 同 一个方程可以用来描述不同的物理现象
2 2
16

复习高等数学内容 以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量, 则 任何一个三维空间的点或者向量a可表示为 a=xi+yj+zk, 或表示为a=(x,y,z) 则二向量a1=(x1,y1,z1)和a2=(x2,y2,z2)的数量积 或点积为: a1· a2=x1x2+y1y2+z1z2 它们的向量积或叉积为
i a ? b ? x1 x2 j y1 y2 k z1 z2
17

? ( y1 z2 ? y2 z1 )i ? ( z1 x2 ? z2 x1 ) j ? ( x1 y2 ? x2 y1 )k

用M来代表三维空间中的一点x,y,z, 则一个数 量场函数就是一个三元函数, 用f(M)表示. 一 个向量场函数F(M), 表示每给一点, 都有一个 向量与之对应, F(M)可表示为 F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k 其中P(M),Q(M),R(M)都是数量函数. 一个数量场函数f(M)在某点x,y,z的沿l方向的 方向导数为 ?f ?f ?f ?f ? cos a ? cos ? ? cos ? ?l ?x ?y ?z 其中a,?,?为方向l的方向角
18

数量场函数f(M)的梯度是一个向量场函数, 记 为grad f(M) ?f ?f ?f grad f ( x, y, z ) ? i ? j? k ?x ?y ?z 函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向 与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为 方向导数的最大值.

19

向量场函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在点M 处的散度是一个标量场函数, 记为div F, ?P ?Q ?R div F ? ? ? ?x ?y ?z 在这里可看作稳定流动的不可压缩流体在 点M的源头强度—在单位体积内所产生的 流体的质量. 如果为负, 表示点M处流体 在消失.

20

向量场函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在点M 处的旋度是一个向量场函数, 记为rot F, ? ?R ?Q ? ? ?P ?R ? ? ?Q ?P ? ? ? rot F ? ? i ?? k ? ? j ?? ? ? ? ?y ?z ? ? ?z ?x ? ? ?x ?y ? i j k ? ? ? ? ?x ?y ?z P Q R

21

向量微分算子?的定义为 ? ? ? ?? i? j? k ?x ?y ?z 它又称为?(Nabla)算子或哈密尔顿(Hmilton) 算子. 运用向量微分算子, 设数量场函数为 f(x,y,z), 向量场函数为F(x,y,z)=Pi+Qj+Rk,

22

? ? ? ?? i? j? k ?x ?y ?z ?f ?f ?f ?f ? i ? j ? k ? grad f ?x ?y ?z

? f ? f ? f ? f ? 2 ? 2 ? 2 ? Df ?x ?y ?z 2 2 2 ? ? ? 其中 D ? 2 ? 2 ? 2 ?x ?y ?z
2 2 2 2

称为拉普拉斯(Laplace)算子.
23

? ? ? ?? i? j? k ?x ?y ?z ? ? ? ? ? j ? k ? ( Pi ? Qj ? Rk ) ? F ?? i? ?y ?z ? ? ?x
?P ?Q ?R ? ? ? ? div F ?x ?y ?z i ? ?? F ? ?x P j ? ?y Q k ? ? rot F ?z R

24

? ? ? ?? i? j? k ?x ?y ?z

高斯公式和斯托克斯公式可分别写成

? F d v ? ?? F d S , ??? ? ?
n

(? ? F ) ?? ?

n

dS ?

F ds ? ?
t

其中Fn为向量场函数在曲面元法线方向上 的投影, 而Ft为向量场函数在曲线切线方向 上的投影.
25

例3 电磁场方程 电磁场的特性可用电场强度E与磁场强度H以 及电感应强度D与磁感应强度B来描述. 它们 可用麦克斯韦(Maxwell)方程组描述为: ?D rot H ? J ? (1.8) ?t ?B rot E ? ? ( 1.9) ?t div B ? 0 (1.10)
div D ? ? (1.11) J—传导电流面密度,?—电荷的体密度.

26

?D rot H ? J ? ?t ?B rot E ? ? ?t div B ? 0 div D ? ?

(1.8) ( 1.9) (1.10) (1.11) (1.12)

D ??E B ? ?H J ?? E

(1.13) (1.14)
27

?—介电常数,?—导磁率,?—导电率.

?E rot H ? ? E ? ? ?t ?H rot E ? ? ? ?t div H ? 0

(1.8)' ( 1.9)' (1.10)' (1.11)'

? div E ? ?

? rotrot H ? ? rot E ? ? rot E ?t 2 ? H ?H ? ??? 2 ? ?? ?t ?t
28

?E rot H ? ? E ? ? ?t ?H rot E ? ? ? ?t div H ? 0

(1.8)' ( 1.9)' (1.10)' (1.11)'

? div E ? ?
2

? H ?H rotrot H ? ??? 2 ? ?? ?t ?t 而rotrot H=graddiv H??2H=?2H
29

最后得到H所满足的方程为

? H ?H ? H ? ?? 2 ? ?? ?t ?t 同理, 若消去H即得E所满足的方程 2 ? E ?E 2 ? E ? ?? 2 ? ?? ?t ?t 如?=0, 则 2 ? H 1 2 ? ? H, (1.15) 2 ?t ??
2 2

? E 1 2 ? ? E, 2 ?t ??
2

(1.16)
30

? H 1 2 ? ? H, 2 ?t ??
2 2

(1.15)

? E 1 2 ? ? E, (1.16) 2 ?t ?? (1.15)与(1.16)称为三维波动方程. 用标量形式 表示可写成 2 2 2 2 ? ?u ? u ? u? 2 2 2 ? u ? a ? u ? a ? 2 ? 2 ? 2 ? (1.17) 2 ?t ?y ?z ? ? ?x 1 2 u是E(或H)的任意一个分量, 而 a ?

??

31

从(1.11)和(1.12)还可以推出静电场的电位所 满足的微分方程. 因E??grad u, 由 div D=? div E=? 可得 div grad u???/?, 或 ? 2 ? u?? . (1.18)

?

此非齐次方程称为泊松(Poisson)方程. 如果静电场是无源的, 即r=0, 则(1.18)变成 ?2u=0 (1.19) 这个方程称为拉普拉斯(Laplace)方程.
32

例4 热传导方程 在物体中任取一闭曲面S, 它所包围的区域记 作V. 假设在时刻t区域V内点M(x,y,z)处的温度 为u(x,y,z,t), n为曲面元素DS的法向(从V内指向 V外). 由传热学中傅里叶实验定律可知, 物体在无穷 小时间段dt内, 流过一个无穷小面积dS的热量 dQ与时间dt, 曲面面积dS, 以及物体温度u沿曲 面dS的法线方向的方向导数三者成正比

33

DS M

n

V

S

热场

34

?u d Q ? ?k d S d t ?n ? ? k (grad u ) n d S d t ? ? k grad u d S d t

DS M

n

k为热传导系数.这里为常数。 从时刻t1到t2, 通过曲面S流 入区域V的全部热量为(负号 表明热量是由高温向低温流 t2 动) ? ? Q1 ? ? ?? k grad u d S d t ? t1 ? ?S ?

V

S

35

上式的负号表示热流流向是温度梯度的相反 方向。

36

? ? Q1 ? ? ?? k grad u d S d t ? t1 ? ?S ? 因S为闭曲面, 式中的二重积分可利用高斯公 式化为三重积分, 即
t2

?? k grad u d S ? ??? k div grad u dV
S V

? ??? k ? u d V
2 V

Q1 ? ?

t2

t1

? k ? 2u d V ? d t ??? ? ? ?V ?
37

流入的热量使V内温度发生了变化, 在时间间 隔[t1,t2]内区域V内各点温度从u(x,y,z,t1)变化到 u(x,y,z,t2), 则在[t1,t2]内温度升高所需要的热量 为 ??? c?[u ( x, y, z, t2 ) ? u ( x, y, z, t1 )]dV (1.20)
V

? t2 ?u ? ? ??? c ? ? ? d t ? dV t1 ?t ? ? V ??
t2 t1

?u ? ? ? ??? c ? ?t d V ? d t ?V ?
38

c—物体的比热, ?—物体的密度.

流入的热量应等于物体吸收的热量, 因此有 t2 ? ?u ? k ? 2u d V ? d t ? t 2 ? d t (1.20)' c ? d V ? ? ?t1 ? ? ? t1 ??? ? ??? ? ?t ?V ? V 由于[t1,t2]及V是任取的, 上式成立的条件就 是被积函数相等, 即
2 2 2 ? ?u ? u ? u? 2 2 2 ? u ? a ? u ? a ? 2 ? 2 ? 2 ? , (1.21) ?t ?y ?z ? ? ?x k 2 其中 a ? c?

方程(1.21)称为三维热传导方程.
39

若物体内有热源, 其强度为F(x,y,z,t), 则相应的 热传导方程为
2 2 2 ? ?u ? u ? u? 2 ? u ? a ? 2 ? 2 ? 2 ? ? f ( x, y , z , t ) ?t ?y ?z ? ? ?x 其中 F f ? c?

40

作为特例, 如果所考虑的物体是一根细杆(或 一块薄板), 或者即使不是细杆(或薄板)而其中 的温度u只与x,t(或x,y,t)有关, 则(1.21)就变成 一维或二维热传导方程 2 ?u 2 ? u ?a 2 ?t ?x
2 2 ? ?u ? u? 2 ? u ?a ? 2 ? 2 ? ?t ?y ? ? ?x

41

如果考虑稳恒温度场, 即在热传导方程中物体 的温度趋于某种平衡状态, 这时温度u已与时 间无关, 此时方程(1.21)就变成拉普拉斯方程 (1.19). 由此可见稳恒温度场内的温度u也满足 拉普拉斯方程. 在研究气体或液体的扩散过程时, 若扩散系数 是常数, 则所得的扩散方程与热传导方程完全 相同.

42

§1.2 初始条件与边界条件

43

上面讨论的是如何将一个具体问题所具有的 物理规律用数学式子表达出来. 除此以外, 我 们还需要把这个问题所具有的特定条件也用 数学形式表达出来, 这是因为任何一个具体的 物理现象都是处在特定条件之下的. 例如弦振 动问题, 上节所推导出来的方程是一切柔软均 匀的弦作微小横向振动的共同规律, 在推导这 个方程时没有考虑到弦在初始时刻的状态以 及弦所受的约束情况.如果我们不是泛泛地研 究弦的振动, 势必就要考虑到弦所具有的特定 条件.
44

因为任何一个振动物体在某时刻的振动状态 总是和此时刻以前的状态有关, 从而就与初始 时刻的状态有关. 另外, 弦的两端所受的约束 也会影响弦的振动, 端点处的物理条件不同就 会产生不同的影响, 因而弦的振动也不同. 所 以对弦振动问题来说, 除了建立振动方程以外, 还需列出它所处的特定条件. 对热传导方程, 拉普拉斯方程也是如此.

45

提出的条件应该能够用来说明某一具体物理 现象的初始状态或者边界上的约束情况. 用以 说明初始状态的条件称为初始条件; 用以说明 边界上的约束情况的条件称为边界条件.

46

下面具体说明初始条件和边界条件的表达形 式. 先谈初始条件, 对于弦振动问题来说, 初始 条件就是弦在开始时刻的位移及速度, 若以 j(x), y(x)分别表示初位移和初速度, 则初始条 件可以表达为
? u t ?0 ? j ( x), ? ? ?u ? y ( x ). ? ?t ? t ?0 (1.22)

47

而对热传导方程来说, 初始条件是指在开始时 刻物体温度的分布情况, 若以j(M)表示t=0时 物体内任一点M处的温度, 则热传导方程的初 始条件就是 u(M,t)|t=0=j(M). (1.23) 泊松方程与拉普拉斯方程都是描述稳恒状态 的, 与初始状态无关, 所以不提初始条件.

48

再谈边界条件. 还是先从弦振动问题说起, 从 物理学得知, 弦在振动时, 其端点(以x=a表示 这个端点)所受约束情况, 通常有以下三种类 型: 第一, 固定端, 即弦在振动过程中这个端点始 终保持不动. 对应于这种状态的边界条件为 u|x=a=0, (1.24) 或 u(a,t)=0.

49

第二, 自由端, 即弦在这个端点不受位移方向 的外力, 从而在这个端点弦在位移方向的张力 应该为零. 由前面的推导过程可知, 此时对应 的边界条件为
?u T ? 0, ?x x ? a ?u ? 0. ?x x ? a u x (a, t ) ? 0.

即 或

(1.25)

50

第三, 弹性支承端, 即弦在这个端点被某个弹 性体所支承. 设弹性支承原来的位置为 u=0, 则 u|x=a 就表示弹性支承的应变,这时弦在 x=a ?u 处沿位移方向的张力T 应该等于?ku|x=a, ?x x ? a ?u T ? ? ku x ? a 即 ?x x ? a ? ?u ? (1.26) 或 ? ? ? u ? ? 0, ? ?x ? x?a 其中 k 为弹性体的倔强系数, ?=k/T.
51

对热传导方程来说, 也有类似的情况. 以S表示 某物体V的边界, 如果在导热过程中边界S的 温度为已知的函数f(x,y,z,t), 则这时的边界条 件为 u|S=f (1.27) 这里的f是定义在S上(一般依赖于t)的函数. 如果在导热过程中, 物体V与周围介质处于绝 热状态, 则在S上的热量流速始终为零, 则在边 界S上必满足 ?u ?0 (1.28) ?n S
52

如果物体的内部和周围的介质通过边界 S 有 热量交换, 以 u1 表示物体接触处的介质温度, 这时利用另一个热传导实验定律: 从一介质 流入另一介质的热量和两介质间的温度差成 正比 dQ=k1(u?u1)dSdt, 其中 k1 是两介质间的热交换系数. 在物体内 部任取一个无限贴近于边界 S 的闭曲面?, 由 于在 S 上内侧热量不能积累, 所以在?上的热 量流速应等于边界 S 上的热量流速, 而在?上 ?Q ?u ? ?k 的热量流速为 , d S dt ? ?n ?
53

所以, 当物体和外界有热交换时, 相应的边界 条件为 ?u ?k ? k1 (u ? u1 ) |S ?n S 即
? ?u ? ? ? ? u ? ? ? u1 |S ? ?n ?S (1.29)

其中?=k1/k

54

综上所述可知, 不论对弦振动问题, 还是对热 传导问题, 它们所对应的边界条件, 从数学角 度看不外有三种类型: 一是在边界S上直接给出了未知函数u的数值, 即 u|S=f1 (1.30) 这种形式的边界条件称为第一类边界条件. 二是在边界S上给出了未知函数u沿S的外法线 方向的方向导数, 即 ?u ? f2 (1.31) ?n S 这种形式的边界条件称为第二类边界条件.
55

三是在边界S上给出了未知函数u及其沿S的外 法向的方向导数某种线性组合的值, 即 ? ?u ? (1.32) ? ? ? u ? ? f3 ? ?n ?S 这种形式的边界条件称为第三类边界条件. 需要注意的是(1.30),(1.31),(1.32)右端的 fi(i=1,2,3)都是定义在边界S上(一般说来, 也 依赖于t)的已知函数. 不论哪一类型的边界 条件, 当它的数学表达式中的自由项(即不依 赖于u的项)恒为零时, 则这种边界条件称为 是齐次的, 否则称为非齐次的.
56

§1.3 定解问题的解法

57

前面推导了三种不同类型的偏微分方程并讨 论了与它们相应的初始条件与边界条件的表 达方式. 由于这些方程中出现的未知函数的偏 导数的最高阶都是二阶, 而且它们对于未知函 数及其各阶偏导数来说都是线性的, 所以这种 方程称为二阶线性偏微分方程. 在工程技术上 二阶偏微分方程遇到最多.

58

如果一个函数具有某偏微分方程中所需要的 各阶连续偏导数, 并且代入该方程中能使它变 成恒等式, 则此函数称为该方程的解(古典解). 由于每一个物理过程都处在特定的条件之下, 所以我们的任务是要求出偏微分方程的适合 某些特定条件的解. 初始条件和边界条件都称 为定解条件, 把某个偏微分方程和相应的定解 条件结合在一起, 就构成了一个定解问题.

59

只有初始条件, 没有边界条件的定解问题称为 始值问题(或柯西(Cauchy)问题); 反之, 没有初始条件, 只有边界条件的定解问 题称为边值问题. 即有初始条件也有边界条件的定解问题称为 混合问题.

60

一个定解问题提得是否符合实际情况, 当然必 须靠实践来证实. 然而从数学角度来看, 可以 从三方面加以检验: 1) 解的存在性, 即看所归结出来的定解问题是 否有解; 2) 解的惟一性, 即看是否只有一个解; 3) 解的稳定性, 即看当定解条件有微小变动时, 解是否相应地只有微小的变动. 如果确实如此, 此解便称为稳定的, 否则所得的解就无实用价 值.
61

如果一个定解问题存在惟一且稳定的解, 则此 问题称为适定的. 在以后讨论中我们把着眼点 放在讨论定解问题的解法上, 而很少讨论它的 适定性, 这是因为讨论定解问题的适定性往往 十分困难, 而本书所讨论的定解问题都是经典 的, 它们的适定性都是经过证明了的.

62

一个含n个自变量的二阶线性偏微分方程的最 一般的形式应该是 2 n n ?u ?u Lu ? ? Aik ? ? Bi ? Cu ? f (1.33) ?xi ?xk i ?1 ?xi i , k ?1 其中Aik, Bi, C, f都只是x1,x2,…,xn的已知函数, 与未知函数无关. 在两个自变量的情形, (1.33) 式可写为
?u ?u ?u ?u A( x, y ) 2 ? 2 B( x, y ) ? C ( x, y ) 2 ? D ( x, y ) ?x ?x?y ?y ?x ?u ? E ( x, y ) ? F ( x, y )u ? f ( x, y ) (1.34) ?y
2 2 2
63

线性偏微分方程(1.33)满足叠加原理, 即若ui 是方程 Lui=fi (i=1,2,…) 的解, 而且级数
u ? ? Ciui
i ?1 ?

收敛, 并且能够逐项微分两次, 其中 Ci(i=1,2,…)为任意常数, 则u一定是方程
Lu ? ? Ci f i
i ?1 ?

的解(假定这个方程右端的级数是收敛的).
64

特别是, 如果ui(i=1,2,…)是二阶线性齐次方程 Lu=0 的解, 则只要
u ? ? Ciui
i ?1 ?

收敛, 并且可以逐项微分两次, u一定也是此 方程的解. 这个结论的证明是非常容易的(留 作练习, 但它却是下一章要讲的分离变量法 的出发点.

65

作业 习题一 第17页 第1,3,5题

66


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