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2014届高考理科理数学第一轮知识点总复习测试题15





三角函数的图象与性质

【选题明细表】 知识点、方法 函数的定义域、值域 函数的单调性、周期性、奇偶性、对称性 函数的图象 题号 1、7、11 2、3、5、6、9、10 4、8

一、选择题 1.函数 y= (A) (B) (C) (D)R 解析:由题意得 cos x≥ , ∴2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z. 故选 C. 2.(2012 遵义模拟)若函数 f(x)=sin ax+cos ax(a>0)的最小正周期为 ,k∈Z ,k∈Z 的定义域为( C )

1,则它的图象的一个对称中心为( C ) (A) (C) (B)(0,0) (D) (a>0),

解析:f(x)= sin

又函数的最小正周期为 1, 故 =1, ∴a=2π,故 f(x)= sin 将 x=- 代入得函数值为 0. 故选 C. 3.(2012 济南模拟)使函数 f(x)=sin(2x+φ)为 R 上的奇函数的φ值可 以是( C ) (A) (B) (C)π (D) .

解析:要使函数 f(x)=sin(2x+φ)为 R 上的奇函数,需φ=kπ,k∈Z.故 选 C. 4.函数 f(x)=sin xcos (A)关于原点对称 (B)关于 y 轴对称 (C)关于点 对称 +sin sin 的图象( D )

(D)关于直线 x= 对称 解 析 : 利 用 诱 导 公 式 可 得 xsin =sin =sin =sin f(x)=sin xcos +cos ≠f(x), =sin =1,

,f(0)=- ≠0,f(-x)=sin =-1≠0,选项 C 错误;f

故选项 A、B 均错误;f 选项 D 正确,所以选 D.

5.(2012 温州模拟)已知函数 y=2sin(ωx+φ)(ω>0)为偶函数(0<φ< π),其图象与直线 y=2 某两个交点的横坐标分别为 x1,x2,若|x2-x1|的 最小值为π,则该函数的一个递增区间可以是( A ) (A) (C) (B) (D)

解析:由函数为偶函数知φ= +kπ(k∈Z), 又因为 0<φ<π, 所以φ= , 从而 y=2cos ωx. 由题意知函数的最小正周期为π, 故ω=2, 因此 y=2cos 2x, 经验证知选项 A 满足条件.故选 A.

6.(2011 年高考天津卷)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω >0,-π<φ≤π.若 f(x)的最小正周期为 6π,且当 x= 时,f(x)取得最 大值,则( A ) (A)f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 (B)f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 (C)f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 (D)f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 解析:∵f(x)的最小正周期为 6π, ∴ω= , ∵当 x= 时,f(x)有最大值, ∴ × +φ= +2kπ(k∈Z),φ= +2kπ, ∵-π<φ≤π, ∴φ= . ∴f(x)=2sin ,由函数 f(x)的图象(图略)易得,在区间[-2π,0]

上是增函数,而在区间[-3π,-π]或[3π,5π]上均没单调性,在区间 [4π,6π]上是增函数.故选 A. 二、填空题 7.函数 f(x)=sin x+ cos x 解析:∵f(x)=sin x+ cos x 的值域是 .

=2sin 又 x∈ ∴x+ ∈ ∴2sin

, , , ∈[-1,2].

答案:[-1,2] 8.函数 y=tan 的图象与 x 轴交点的坐标是 .

解析:由 2x+ =kπ(k∈Z)得, x= - (k∈Z). ∴函数 y=tan 答案: 9. 已 知 函 数 f(x)=Acos( ω x+ φ ) 的 图 象 如 图 所 示 ,f f(0)= . =- , 则 的图象与 x 轴交点的坐标是 .

解析:法一

由题中图象可知所求函数的最小正周期为 ,故ω=3,从 中心对称,也就是函数

函数图象可以看出这个函数图象关于点

f(x)满足 f f

=-f

,当 x= 时,得 f

=-f

=-f(0),由图象知

=- ,故得 f(0)= .

法二 根据题图,可得ω=3, 把 x= = 代入函数解析式,得 A=Acos ,取一个满足这个方程

的最简单的φ,令φ=- , 故函数的解析式是 f(x)=Acos 由f =- ,可得 Acos =- , ,

由此得 A= , 故函数的解析式是 f(x)= cos 故 f(0)= × = . 答案: 三、解答题 10.已知函数 f(x)=asin (1)求实数 a 的值; (2)求函数 y=f(x)· x 的最小正周期和单调递增区间. cos 解:(1)因为 f(x)=asin - cos x, - cos x,且 f = . ,

且f

= ,

则有 a- = ,所以 a=1. (2)由(1)知,f(x)=sin - cos x= sin x,

所以 y=f(x)· x= sin xcos x= sin 2x, cos 其最小正周期 T=π. 由 2kπ- ≤2x≤2kπ+ (k∈Z), 得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 故函数 y=f(x)· x 的单调递增区间为 cos (k∈Z). 11.(2012 北京西城区期末)已知函数 f(x)= sin2x+sin xcos x,x∈ . (1)求 f(x)的零点; (2)求 f(x)的最大值和最小值. 解:(1)令 f(x)=0,得 sin x· sin x+cos x)=0, ( 所以 sin x=0 或 tan x=- . 由 sin x=0,x∈ 由 tan x=- ,x∈ ,得 x=π; ,得 x= .

综上,函数 f(x)的零点为 或π. (2)f(x)= (1-cos 2x)+ sin 2x =sin 因为 x∈ + . ,所以 2x- ∈ .

所以当 2x- = , 即 x= 时,f(x)的最大值为 ; 当 2x- = , 即 x= π时,f(x)的最小值为 .