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151820q:第3讲_等比数列及其前n项和(学生用)

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第3讲

等比数列及其前 n 项和

1.以等比数列的定义及等比中项为背景,考查等比数列的判定. 2.考查通项公式、前 n 项和公式以及性质的应用. 【复习指导】 本讲复习时,紧扣等比数列的定义,掌握其通项公式和前 n 项和公式,求和时要注意验证公 比 q 是否为 1;对等比数列的性质应用要灵活,运算中要注意方程思想的应用.

基础梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列叫做等 比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1·q 3.等比中项 若 G =a·b(ab≠0),那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am·q
n-m
2

n-1

.

,(n,m∈N+).

(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则 ak·al=am·an.
?1? ?an? 2 (3)若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λ an}(λ ≠0),? ?,{an},{an·bn},? ?仍是 ?an? ?bn?

等比数列. (4)公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其 公比为 q . 5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, 当 q=1 时,Sn=na1; 当 q≠1 时,Sn=
n

a1? 1-qn? a1-anq = . 1-q 1-q

一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和:

Sn=a1+a1q+a1q2+?+a1qn-1,
同乘 q 得:qSn=a1q+a1q +a1q +?+a1q ,
2 3

n

1

两式相减得(1-q)Sn=a1-a1q ,∴Sn= 两个防范

n

a1? 1-qn? (q≠1). 1-q

(1)由 an+1=qan,q≠0 并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证 a1≠0. (2)在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q=1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q =1 这一特殊情形导致解题失误. 三种方法 等比数列的判断方法有: (1)定义法:若 比数列. (2)中项公式法:在数列{an}中,an≠0 且 an+1=an·an+2(n∈N ),则数列{an}是等比数列. (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c·q (c,q 均是不为 0 的常数,n∈N ),则{an} 是等比数列. 注:前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列. 双基自测 1. (人教 A 版教材习题改编)在等比数列{an}中, 如果公比 q<1, 那么等比数列{an}是( A.递增数列 C.常数列 B.递减数列 D.无法确定数列的增减性 ).
n
* 2 *

an+1 an * =q(q 为非零常数)或 =q(q 为非零常数且 n≥2 且 n∈N ),则{an}是等 an an-1

1 2.已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则公比 q 等于( 4 1 A.- 2 B.-2 C.2 1 D. 2

).

3.在等比数列{an}中,a4=4,则 a2·a6 等于( A.4 B.8 C.16 D.32

).

4.设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =( A.-11 B.-8 C.5 D.11

S5 S2

).

2

5.(2011·广东)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0,则 k= ________.

考向一 等比数列基本量的计算 【例 1】? (2011·全国)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a2=6,6a1+a3=30.求 an 和

Sn.
[审题视点] 列方程组求首项 a1 和公差 d.

等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题, 数列中有五个量 a1, , , n q

an,Sn 一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解.
【训练 1】 等比数列{an}满足:a1+a6=11,a3·a4= (1)求数列{an}的通项公式; (2)若该数列前 n 项和 Sn=21,求 n 的值. 32 ,且公比 q∈(0,1). 9

3

考向二 等比数列的判定或证明 【例 2】? (2012·长沙模拟)已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式。

an+an+1
2

,n∈N .

*

证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法,其他方法只用于选择、填空 题中的判定;若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可. 1 1 2 2 n-1 n-1 n n 【训练 2】 (2011·四川)设 d 为非零实数,an= [Cnd+2Cnd +?+(n-1)Cn d +nCnd ](n

n

∈N ). (1)写出 a1,a2,a3 并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理由; (2)设 bn=ndan(n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
*

*

4

考向三 等比数列的性质及应用 【例 3】? 已知等比数列前 n 项的和为 2,其后 2n 项的和为 12,求再后面 3n 项的和. [审题视点] 利用等比数列的性质:依次 n 项的和成等比数列.

本题利用了等比数列的性质中的第 4 条,其和 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列, 若把数列{an}平均分成若干组,其积也为等比数列. 1 【训练 3】 (2011·北京)在等比数列{an}中,若 a1= ,a4=-4,则公比 q=________;|a1| 2 +|a2|+?+|an|=________.

规范解答 11——怎样求解等差与等比数列的综合性问题

【问题研究】 等差数列和等比数列既相互区别,又相互联系,高考作为考查学生综合能力 的选拔性考试,将两类数列综合起来考查是高考的重点.这类问题多属于两者基本运算的综 合题以及相互之间的转化. 【解决方案】 首先求解出两个数列的基本量:首项和公差及公比,再灵活利用性质转化条 件,以及利用等差、等比数列的相关知识解决.

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【示例】? (本题满分 12 分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个 数分别加上 2、5、13 后成为等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式;
? 5? (2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+ ?是等比数列. 4? ?

关于等差(比)数列的基本运算,其实质就是解方程或方程组,需要认真计算,灵 活处理已知条件.容易出现的问题主要有两个方面:一是计算出现失误,特别是利用因式分 解求解方程的根时, 不注意对根的符号进行判断; 二是不能灵活运用等差(比)数列的基本性 质转化已知条件,导致列出的方程或方程组较为复杂,增大运算量. 【试一试】 (1)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,

b3-a3=3,若数列{an}唯一,求 a 的值;
(2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公差不为 0 的 等差数列?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由.

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