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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第2章 推理与证明章末复习提升2 苏教版选修1-2


第 2 章 推理与证明 章末复习提升 2

1.归纳和类比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整体的推理,后者是由特殊到特 殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论不一定为真,有待进一 步证明. 2.演绎推理与合情推理不同,是由一般到特殊的推理,是数学中证明的基本推理形式.也是 公理化体系所采用的推理形式,另一方面,合情推理与演绎推理又是相辅相成的,前者是后 者的前提,后者论证前者的可靠性. 3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法 和分析法:综合法是从已知条件推导出结论的证明方法;分析法是由结论追溯到条件的证明 方法,在解决数学问题时,常把它们结合起来使用,间接证法的一种方法是反证法,反证法 是从结论反面成立出发,推出矛盾的证明方 法.

题型一 归纳推理和类比推理 归纳推理和类比推理是常用的合情推理,两种推理的结论“合情”但不一定“合理” ,其正确 性都有待严格证明.尽管如此,合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用. 运用合情推理时,要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时, 可以先从观察入手,发现问题的特点,形成解决问题的初步思路,然后用归纳、类比的方法 进行探索、猜想,最后用逻辑推理方法进行验证. 例 1 观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +
-12 2 3 3 4 4 5 5 10

b10=________.
答案 123 解析 记 a +b =f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3+4=7;f(5) =f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N , n≥3), 则 f(6)=f(4) +f(5)=18; f(7)=f(5)+f(6)=29; f(8)=f(6)+f(7)=47; f(9)=f(7)+f(8)=76; f(10) =f(8)+f(9)=123.所以 a +b =123. 跟踪演练 1 给出下列三个类比结论: ①(ab) =a b 与(a+b) 类比,则有(a+b) =a +b ; ②loga(xy)=logax+logay 与 sin(α +β )类比,则有 sin(α +β )=sinα sinβ ; ③(a+b) =a +2ab+b 与(a+b) 类比,则有(a+b) =a +2a·b+b . 其中正确结论的个数是________. 答案 1 解析 (a+b) ≠a +b (n≠1,a·b≠0),故①错误. sin(α +β )=sinα sinβ 不恒成立. 如 α =30°,β =60°,sin90°=1,sin30°·sin60°= 由向量的运算公式知③正确. 题型二 直接证明 综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法, 也是解决数学问题常用的思维方式. 如 果从解题的切入点的角度细分,直接证明方法可具体分为:比较法、代换法、放缩法、判别 式法、构造函数法等,应用综合法证明问题时,必须首先想到从哪里开始起步,分析法就可 以帮助我们克服这种困难,在实际证明问题时,应当把分析法和综合法结合起来使用. 例 2 已知 a>0,求证: 证明 要证 只需证 1 3 ,故②错误. 4
n n n
2 2 2 2 2 2 2 10 10 *

n

n

n

n n

n

n

n

n

a2+ 2- 2≥a+ -2. a a
1

1

1

a2+ 2- 2≥a+ -2, a a
1 1

a2+ 2+2≥a+ + 2. a a

∵a>0,故只需证? 1 2 即 a + 2+4 1

? ?

? ?2 2 a2+ 2+2? ≥?a+a+ 2? , a ? ? ?
1 1 1

?

a

a2+ 2+4≥a2+2+ 2+2 2?a+ ?+2, a a ? a? a2+ 2≥ 2?a+ ?, a ? a?
1

?

1?

从而只需证 2

?

1?

1? ? 2 1? ? 2 只要证 4?a + 2?≥2?a +2+ 2?, a a

?

?

?

?

-2-

1 2 即 a + 2≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.

a

跟踪演练 2

如图,在四面体 B-ACD 中,CB=CD,AD⊥BD,且 E,F 分别是 AB,BD 的中点,求证: (1)直线 EF∥平面 ACD; (2)平面 EFC⊥平面 BCD. 证明 (1)要证直线 EF∥平面 ACD, 只需证 EF∥AD 且 EF?平面 ACD. 因为 E,F 分别是 AB,BD 的中点, 所以 EF 是△ABD 的中位线, 所以 EF∥AD,所以直线 EF∥平面 ACD. (2)要证平面 EFC⊥平面 BCD, 只需证 BD⊥平面 EFC,

EF⊥BD, ? ? 只需证?CF⊥BD, ? ?CF∩EF=F.

因为?

? ?EF∥AD, ?AD⊥BD, ?

所以 EF⊥BD.

又因为 CB=CD,F 为 BD 的中点, 所以 CF⊥BD.所以平面 EFC⊥平面 BCD. 题型三 反证法 如果一个命题的结论难以直接证明时,可以考虑反证法.通过反设结论,经过逻辑推理,得 出矛盾,从而肯定原结论成立. 反证法是高中数学的一种重要的证明方法,在不等式和立体几何的证明中经常用到,在高考 题中也经常体现,它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要 证明:否定性、惟一性命题;至多、至少型问题;几何问题. 例 3 已知二次函数 f(x)=ax +bx+c(a>0)的图象与 x 轴有两个不同的交点,若 f(c)=0, 且 0<x<c 时,f(x)>0. 1 (1)证明: 是函数 f(x)的一个零点;
2

a

1 (2)试用反证法证明 >c.

a

证明 (1)∵f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点,

-3-

∴f(x)=0 有两个不等实根 x1,x2, ∵f(c)=0,∴x1=c 是 f(x)=0 的根,

c 1 1 又 x1x2= ,∴x2= ( ≠c), a a a
1 ∴ 是 f(x)=0 的一个根.

a a

1 即 是函数 f(x)的一个零点. 1 1 (2)假设 <c,又 >0,由 0<x<c 时,f(x)>0,

a

a

1 1 1 知 f( )>0 与 f( )=0 矛盾,∴ ≥c,

a

a

a

1 1 又∵ ≠c,∴ >c.

a

a

π π π 2 2 2 跟踪演练 3 若 a,b,c 均为实数,且 a=x -2y+ ,b=y -2z+ ,c=z -2x+ .求证: 2 3 6

a,b,c 中至少有一个大于 0.
证明 假设 a,b,c 都不大于 0,即 a≤0,b≤0,c≤0, π π π 2 2 2 2 2 则 a+b+c≤0,而 a+b+c=x -2y+ +y -2z+ +z -2x+ =(x-1) +(y-1) +(z 2 3 6 -1) +π -3. ∵π -3>0,且(x-1) +(y-1) +(z-1) ≥0, ∴a+b+c>0, 这与 a+b+c≤0 矛盾,因此假设不成立, ∴a,b,c 中至少有一个大于 0.
2 2 2 2

1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理 (1)归纳推理的基本模式:a,b,c∈M 且 a,b,c 具有某属性,结论:? d∈M,d 也具有某属 性. (2)类比推理的基本模式:A 具有属性 a,b,c,d;B 具有属性 a′,b′,c′;结论:B 具有 属性 d′.(a,b,c,d 与 a′,b′,c′,d′相似或相同) 2.使用反证法证明问题时,常见的“结论词”与“反设词”列表如下: 原结论词 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有 n-1 个 原结论词 对所有 x 成立 对任意 x 不成立 反设词 存在某个 x 不成立 存在某个 x 成立

p或q

p且 q
-4-

至多有 n 个

n+1 个

p且q

p或 q

-5-


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