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18学年高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.2.1圆的切线学案新人教B版选修4_1

1.2.1 圆 的 切 线 [对应学生用书 P15] [读教材·填要点] 1.直线与圆的位置关系 (1)相离:直线和圆没有公共点,称直线和圆相离. (2)相交:如果圆心到一条直线的距离小于半径,则这条直线和该圆一定相交于两点, 此时称直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线. (3)相切:如果一条直线与一圆只有一个公共点,则这条直线叫做这个圆的切线,公共 点叫做切点. 2.圆的切线判定定理 经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3.圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论 1:从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等. 推论 2:经过圆外的一个已知点和圆心的直线,平分从这点向圆所作的两条切线所夹的 角. 4.三角形的内切圆、旁切圆 (1)内切圆:与一三角形三边都相切的圆,叫做这个三角形的内切圆. (2)旁切圆:与三角形的一边和其它两边的延长线都相切的圆,叫做三角形的旁切圆, 一个三角形有三个旁切圆. [小问题·大思维] 1.下列关于切线的说法中,正确的有哪些? ①与圆有公共点的直线是圆的切线; ②垂直于圆的半径的直线是圆的切线; ③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线; ④过直径的端点,垂直于此直径的直线是圆的切线. 提示:由切线的定义及性质可知,只有③④正确. 2.圆的切线的判定方法有哪些? 提示:圆的切线的判定方法有: 1 (1)定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线; (2)几何法:和圆心距离等于半径的直线是圆的切线. (3)判定定理:过圆的半径的外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线. [对应学生用书 P16] 切线的判定 [例 1] 如图所示,已知 AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为 B,OC 平行于弦 AD.求证:DC 是⊙O 的切线. [思路点拨] 本题考查圆的切线的判定方法.解决本题只要证明 OD⊥ CD 即可. [精解详析] 如图,连接 OD. ∵OC∥AD,∴∠3=∠1,∠4=∠2. ∵OD=OA,∴∠1=∠2,∴∠4=∠3. ∵OD=OB,OC=OC, ∴△DOC≌△BOC. ∴∠CDO=∠CBO. ∵AB 是直径,BC 是切线, ∴∠CBO=90°,∴∠CDO=90°. ∴DC 是⊙O 的切线. 证明某条直线是圆的切线,有以下规律: (1)若已知直线经过圆上的某一点,则需作出经过这一点的半径,证明直线垂直于这条 半径,简记为“连半径,证垂直”; (2)若直线与圆的公共点没确定,应过圆心作直线的垂线,得到垂线段,再证明这条垂 线段的长等于半径,简记为“作垂直,证半径”. 1.如图所示,在△ABC 中,已知 AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D,DE⊥AC 于 2 点 E. 求证:DE 是⊙O 的切线. 证明:连接 OD 和 AD,如图所示. ∵AB 是⊙O 的直径,∴AD⊥BC. 又∵AB=AC,∴BD=CD. ∵AO=OB,∴OD∥AC. ∵DE⊥AC,∴DE⊥OD, ∴DE 是⊙O 的切线. 切线的性质及判定定理的应用 [例 2] 如图,OA 和 OB 是⊙O 的半径,并且 OA⊥OB,P 是 OA 上 任意一点,BP 的延长线交⊙O 于 Q,过 Q 作⊙O 的切线交 OA 的延长线 于 R, 求证:△PQR 为等腰三角形. [思路点拨] 本题考查切线的性质的应用.解答本题需要证明△PQR 中的两个角相等, 因为 QR 为切线,故可考虑连接 OQ,得到垂直关系,然后再证明. [精解详析] 连接 OQ. 因为 QR 是⊙O 的切线,所以 OQ⊥QR. 因为 OB=OQ, 所以∠B=∠OQB. 因为 BO⊥OA, 所以∠BPO=90°-∠B=∠RPQ, ∠PQR=90°-∠OQP. 所以∠RPQ=∠PQR. 所以 RP=RQ,所以 PQR 为等腰三角形. 3 (1)圆的切线的性质定理及它的两个推论,概括起来讲就是三点:①经过圆心;②切线 长相等;③平分切线的夹角. (2)若题目条件中有圆的切线,可考虑连接圆心和切点,则得垂直关系. 2.如图,AB 是⊙O 直径,弦 CD∥AB,连接 AD,并延长交⊙O 过 B 点的切线于 E 点,作 EG⊥AC 交 AC 的延长线于 G 点. 求证:AC=CG. 证明:如图,连接 BC 交 AE 于 F 点. ∵AB∥CD,∴∠1=∠3. 又∵∠2=∠3, ∴∠1=∠2,即 AF=BF.① AB 为⊙O 的直径,BE 为⊙O 的切线, ? ?∠2+∠4=90° ∴? ?∠1+∠5=90° ? , ∴∠4=∠5,即 FE=BF.② 由①②得 AF=FE.③ 又 AB 为⊙O 的直径,∴BC⊥AG. 又 EG⊥AG, ∴BC∥EG.④ 由③④得 AC=CG. [例 3] 某海域直径为 30 海里的暗礁区中心有一哨所,值班人员发现有一轮船从哨所 正西方向 45 海里的 B 处向哨所驶来,哨所及时向轮船发出危险信号,但是轮船没有收到这 一信号,直到又继续前进了 15 海里到达 C 处才收到此哨所第二次发出的紧急危险信号. (1)若轮船收到第一次信号后,为避免触礁,航向改变角度至少为东偏北多少度. (2)当轮船收到第二次信号后,为避免触礁,轮船航向改变的角度至少应为东偏南多少 度? [思路点拨] (1)根据题意转化为 B 作暗礁区域圆的切线问题. (2)与(1)问思路一致,在 C 处作暗礁区域圆的切线求解. [精解详析] (1)如图所示, 圆心 A 为暗礁区中心的哨所位置, ⊙A 的半径为 15 海里. 过 点 B 作⊙A 的切线,D 是切点,连接 DA. 4 由切线的性质定理,知∠ADB=90°. 在 Rt△ABD 中,sin∠ABD= AD 15 1 = = . AB 45 3 1 ∵sin 20°≈ ,∴∠ABD≈20°. 3 ∴当轮船第一次收到危险信号时,所改变角的度数应至少为东偏北 20°. (2)过点 C 作⊙A 的切线,E 为切