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2018届奉贤区高考数学二模(附答案)


2017 学年第二学期奉贤区调研测试 高三数学试卷
(考试时间:120 分钟,满分 150 分) 一、填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 写正确的结果,1-6 每个空格填对得 4 分,7-12 每个空格填对得 5 分,否则一律得零分. 1、集合 A ? ? x (2018.4)

?

? x ? 0? , B ? {x | x ? Z } ,则 A ? B 等于 ? x?2 ?

. .

2、已知半径为 2R 和 R 的两个球,则大球和小球的体积比为 3、抛物线 y ? x2 的焦点坐标是 .

?x ? 2 ? 0 ? 4、已知实数 x, y 满足 ? y ? 1 ? 0 ,则目标函数 u ? x ? 2 y 的最大值是 ?x ? y ? 2 ?
2 2 2 5、 已知在 ?ABC 中,a ,b ,c 分别为 ?A, ?B, 若b ? c ? a ? ?C 所对的边.



2bc ,

则 ?A =



?5
6、 三阶行列式 4

6 2 3
x

7

0

1 中元素 ? 5 的代数余子式为 f ?x ? , 则方程 f ( x) ? 0 的解为____. 1
n

i 是虚数单位, 7、 设 z 是复数, 则 a? a( z ) 表示满足 z ? 1 时的最小正整数 n ,
n

?1? i ? ? =______. ?1? i ?

i l S n1? ,x ? ?0, ? ? 8、 无穷等比数列 ?an ? 的通项公式 an ? ?sin x? , 前 n 项的和为 Sn , 若m
n ??

则x=



9、给出下列函数:① y ? x ?

1 x ;② y ? x 2 ? x ;③ y ? 2 ;④ y ? x 3 ;⑤ y ? tan x ;⑥ x

2

y ? sin ?arccos x ? ;⑦ y ? lg x ? x2 ? 4 ? lg 2 .从这 7 个函数中任取两个函数,则其中
一个是奇函数另一个是偶函数的概率是
2 10、代数式 ( x ? 2)(

?

?

. . (用数字作答)
2

1 ? 1)5 的展开式的常数项是 x2
2

11 、角 ? 的始边是 x 轴正半轴,顶点是曲线 x ? y ? 25 的中心,角 ? 的终边与曲线

x 2 ? y 2 ? 25 的交点 A 的横坐标是 ? 3 ,角 2? 的终边与曲线 x 2 ? y 2 ? 25 的交点是 B ,

第 1 页

则过 B 点的曲线 x 2 ? y 2 ? 25 的切线方程是 12、已知函数 f ?x ? ? 5 sin ?2 x ? ? ?, ? ? ? 0,

. (用一般式表示)

? ?

??
2? ?

, x ? ?0,5? ? ,若函数 F ?x ? ? f ?x ? ? 3 的

所有零点依次记为 x1 , x2 , x3 ,?, xn ,且 x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn?1 ? xn , n ? N * 若 x1 ? 2 x 2 ? 2 x3 ? ? ? 2 x n ? 2 ? 2 x n ?1 ? x n ?

83 ? ,则 ? ? 2



二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表正确答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 13、 已知曲线的参数方程为 ? A.线段
2 ? ? x ? 3t ? 2 则曲线为 (0 ? t ? 5) , 2 ? y ? t ? 1 ?

( D.射线

) .

B.双曲线的一支

C.圆弧

14、设直线 l 的一个方向向量 d ? ?6,2,3? ,平面 ? 的一个法向量 n ? ?? 1,3,0? ,则直线 l 与 平面 ? 的位置关系是 A.垂直 C.直线 l 在平面 ? 内 B.平行 D.直线 l 在平面 ? 内或平行 ( ) .

15 、 已 知 正 数 数 列 ?an ? 是 公 比 不 等 于 1 的 等 比 数 列 , 且 lg a1 ? lg a2019 ? 0 , 若

f ?x ? ?

2 , 则 f ?a1 ? ? f ?a2 ? ? ? ? f ?a9 1 0 2 1? x2
B.4036 D.4038

??



) .

A.2018 C.2019

16、设 a ? R ,函数 f ?x ? ? cos x ? cosax ,下列三个命题: ①函数 f ?x ? ? cos x ? cosax 是偶函数. ②存在无数个有理数 a ,函数 f ?x ? 的最大值为 2. ③当 a 为无理数时,函数 f ?x ? ? cos x ? cosax 是周期函数. 以上命题正确的个数为 A.3 B.2 ( C.1 D.0 ) .

第 2 页

三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)解答下列各题必须写出必要的步骤. 17、已知几何体 A ? BCED 的三视图如图所示,其中左视图和俯视图都是腰长为 4 的等腰 直角三角形,主视图为直角梯形. (1)求几何体 A ? BCED 的体积; (2)求直线 CE 与平面 AED 所成角的大小.

18、已知函数 f ?x ? ?

2x 1 ? x ? 1, k ? 0 , k ? R . k 2

(1)讨论函数 f ?x ? 的奇偶性,并说明理由; (2)已知 f ?x ? 在 ?? ?,0? 上单调递减,求实数 k 的取值范围.

第 3 页

19、某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律,因而第 n 个月从事旅游 服务工作的人数 f ? n ? 可近似地用函数 f ?n? ? A cos?wn ? ? ? ? k 来刻画,其中正整数 n 表示月份且 n ? 1,12 ,例如 n ? 1 表示 1 月份, A 和 k 是正整数, w ? 0 , ? ? ?0, ? ? .

?

?

统计发现,该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律: ①每年相同的月份,该地区从事旅游服务工作的人数基本相同; ②该地区从事旅游服务工作的人数最多的 8 月份和最少的 2 月份相差 400 人; ③2 月份该地区从事旅游服务工作的人数为 100 人,随后逐月递增直到 8 月份达到最多. (1)试根据已知信息,求 f ? n ? 的表达式; (2)一般地,当该地区从事旅游服务工作的人数在 400 或 400 以上时,该地区也进入了一 年中的旅游“旺季” ,那么,一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”?请说明理由.

20 、 设 复 平 面 上 点 Z 对 应 的 复 数 z ? x ? yi

?x ? R, y ? R? ( i 为 虚 数 单 位 ) 满 足
y2 ? 1 与曲线 C1 有共 n

z ? 2 ? z ? 2 ? 6 ,点 Z 的轨迹方程为曲线 C1 .双曲线 C 2 : x 2 ?
同焦点, 倾斜角为

? 的直线 l 与双曲线 C 2 的两条渐近线的交点是 A 、B ,OA ? OB ? 2 , 4

O 为坐标原点.
(1)求点 Z 的轨迹方程 C1 ; (2)求直线 l 的方程; (3)设 ?PQR 的三个顶点在曲线 C1 上,求证:当 O 是 ?PQR 的重心时, ?PQR 的面积是 定值.

21、对于任意 n ? N ,若数列 ?xn ? 满足 xn?1 ? xn ? 1 ,则称这个数列为“K 数列” .
*

(1)已知数列: 1 , m ? 1 , m 是“K 数列” ,求实数 m 的取值范围;
2

(2)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,当首项 a1 与公差 d 满足什么条件时,数列 ?S n ? 是 “K 数列”?
* (3)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ,且 2Sn?1 ? 3Sn ? 2a1 , n ? N .

设 cn ? ?an ? ?? 1? an?1 ,是否存在实数 ? ,使得数列 ?cn ? 为“K 数列” .若存在,求
n

实数 ? 的取值范围;若不存在,请说明理由.

第 4 页

2018 年奉贤区高三数学二模参考答案
一、填空题(1-6,每个 4 分,7-12 每个 5 分,合计 54 分) 1、 ? 1? 或 x x ? 1 3、 (0, 5、

?

?

2、8 或 8 : 1 4、4 6、 x ? log2 3 8、

? 或 450 4

1 ) 4

7、4 9、

? 5? 或 6 6
? 9

3 7

10、3 12、

11、 7 x ? 24 y ? 125 ? 0

阅卷评分标准说明: 第 1 题必须集合形式,两种形式都可以;第 2 题 8 : 1 也可以;第 5 题也可以写 450 ; 第 8 题必须两解,而且必须弧度制,漏解或角度制均不给分; 第 9 题答案必须最简结果,唯一表达形式; 第 11 题直线方程必须一般式;第 12 题必须弧度制,角度制均不给分; ; 请严格执行此标准阅卷 二、选择题(每个 5 分,合计 20 分) 13、A 14、D 15、C 16、B 三、解答题(14+14+14+16+18=76 分) 17、(1) V ?

1 ? S BCED ? AC ……………………………………………………………3 分 3 40 ? …………………………………………………………………………3 分 3

踩分点,两个步骤环节,每一个 3 分 (2)分别以 CA 、 CB 、 CE 方向为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系,则:

C ?0,0,0? 、 E ?0,0,4? 、 A?4,0,0? 、 D?0,4,1? ,

…………………………………2 分

所以 CE ? ?0,0,4?, AE ? ?? 4,0,4? , ED ? ?0,4,?3? 设平面 AED 的法向量为 n ? ?x, y, z ?

于是可以取 n ? ?4,3,4? .……………………………………………………………………1 分 设 CE 与平面 AED 所成的角为 ? ,则:

? ? ? x?z ?n ? AE ? 0 ? ? y ? 3z ,……………………………………………………………… 2 分 ? ? ? ?n ? ED ? 0 4 ?

sin ? ?

n ? CE n ? CE

?

4 41 ,………………………………………………………………2 分 41
4 41 .…………………………………………1 分 41

所以 CE 与平面 AED 所成的角为 arcsin

建系设点 2 分,列方程组 2 分,求出法向量 1 分,套用公式 1 分,求出角 2 分

第 5 页

18、(1)函数定义域为 R ……………………………………………………………………1 分

? f (0) ?

? f ?x ? 不是奇函数……………………………………………………………………2 分 1 ? 1? f ?? x ? ? ? 2 x ? 1 ,令 f ?? x ? ? f ?x ? ? ?1 ? ??2 x ? 2? x ? ? 0 恒成立, x k ?2 ? k? 所以当 k ? 1 时,函数 f ?x ? 为偶函数;……………………………………………4 分 当 k ? 1 时,函数 f ?x ? 是非奇非偶函数。…………………………………………1 分
说明:定义域 1 分,说明不是奇函数 2 分,说明偶函数 4 分,结论 1 分 (2)【方法一】 对任意 x1、x2 ? ?? ?,0? ,且 x1 ? x2 ,有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 0 恒成立

1 ?0 k

1 ? ?1 ? f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? 2 x1 ? 2 x2 ? ? x1 x2 ? ? 0 ……………………………………2 分 ? k 2 ?2 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 2 ? 2 1 1 ? ? x1 ? x2 恒成立……………………………………………………………………2 分 k 2 1 ? ? 1 ? k ? ?? ?,0? ? ?1,?? ? ……………………………………………………2 分 k

?

?

【方法二】

t 1 ? ?1 , 0 ? t ? 1 k t 当 k ? 0 时,函数 f ?x ? 在 R 上单调递减,所以满足条件。………………………2 分
x 设 2 ? t ,则 y ?

当 k ? 0 时, t ? 0, k 时单调递减, t ?

?

?

? k ,???单调递减,…………………2 分

? k ? 1 ? k ? 1 ……………………………………………………………………2 分 ? k ? ?? ?,0? ? ?1, ??

19、(1) w ?

?

6 ? A ? k ? 500 ……………………………………………………………………1 分 ? k ? A ? 100 ? ? A ? 200 ………………………………………………………………………2 分 ? k ? 300 ? 2? ?? …………………………………………………………………………2 分 3

………………………………………………………………………2 分

2? ? ?? ? f ?n ? ? 200cos? n ? ? ? 300………………………………………………………1 分 3 ? ?6 (2)令 f ?n? ? A cos?wn ? ? ? ? k ? 400 ……………………………………………2 分

第 6 页

2? ? 1 ?? ? c o? s n? ? ? ? n ? ?12k ? 6,12k ? 2??k ? Z ? 3 ? 2 ?6 ? n ? ?1,12? ? n ? ?6,10? ? n ? 6,7,8,9,10 …………………………………………………3 分 答:一年中 6,7,8,9,10 月是该地区的旅游“旺季” 。…………………………1 分
应用答 1 分必须要重视,没有扣 1 分,列不等式 2 分,过程 3 分

20、 (1) 【方法一】 由题意知,点 Z 的轨迹为椭圆 ∵ a ? 3, c ? 2 ∴ b2 ? 5 ∴点 Z 的轨迹方程 C1 为 【方法二】

………………………2 分

x2 y 2 ? ? 1。 9 5

………………………2 分

2 2 2 2 由题意知 ( x ? 2) ? y ? ( x ? 2) ? y ? 6 ……………2 分

整理得 (2) 【方法一】 ∵ C1 与 C2 有共同焦点
2 ∴ c ? 4 ? 1 ? n ,即 n ? 3

x2 y 2 ? ?1 9 5

………………………………2 分

……………………………………1 分
2

y ?1 3 ∴双曲线 C2 的渐近线方程 y ? ? 3x 设直线 l 的方程为 y ? x ? t
∴双曲线 C2 的方程为 x ?
2

……………………………………1 分 ……………………………………1 分

联立方程

? y ? ? 3x ? ? ? ? y ? x?t
…………………………1 分

t 3t ?t 3t , ), B( , ) 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 ? t 2 3t 2 ? OA ? OB ? ? 2 2 2 t ?2 即直线 l 的方程为 y ? x ? 2
得 A(

…………………………2 分 ………………………1 分

求出 n 的值 1 分,直线方程 1 分,渐近线方程 1 方程,求出两个交点 1 分,数量积 2 分,答案 1 分, 【方法二】 ∵ C1 与 C2 有共同焦点
2 ∴ c ? 4 ? 1 ? n ,即 n ? 3

……………………………………1 分

∴双曲线 C2 的方程为 x ?
2

y ?1 3
第 7 页

2

设直线 l 的方程为 y ? x ? t ,联立方程

……………………………………………1 分

? 2 y2 ?0 ?x ? 得到 2 x 2 ? 2tx ? t 2 ? 0 3 ? ? y ? x?t ? ? x1 ? x2 ? t ? ∴? ………………………………………2 分 t2 x ? x ? ? ? 1 2 ? 2 又 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? t )( x2 ? t )

? 2 x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? t 2 ? t 2 ? 2 (也可OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? 3x1 ? 3x2 ? ?2 x1 x2 ? t 2 ? 2)
∴t ? ? 2 ……………………………2 分

即直线 l 的方程为 y ? x ? 2 …………………………1 分 求出 n 的值 1 分,直线方程 1 分,韦达定理 2 分,数量积 2 分,答案 1 分, (3)设 P(3cos ?1, 5sin ?1), Q(3cos ?2, 5sin ?2), R (3cos ?3 , 5sin

?3 ) ,

?1 ,?2 ,?3 ?[0, 2? )
∵ O 为 ?PQR 的重心

?cos ?1 + cos ? 2 + cos ?3 =0 ……………………………………1 分 ?? ? sin ?1 +sin? 2 +sin ?3 ? 0
1 ? ? cos(?1 ? ? 2 ) ? ? 2 ? 1 ? 得 ? ?cos(? 2 ? ?3 ) ? ? 2 ? 1 ? ? cos(?3 ? ?1 ) ? ? 2 ?
只需一个值即可得 1 分

…………………………………………1 分

? S?PQR ? 3S?OPQ

3cos ?1 1 ? 3 3cos ? 2 2 0

3 5 sin ? 2 1 ? 3 5 sin ?? 2 ? ?1 ? ………………2 分 2 0 1

5 sin ?1 1

?

9 15 4

………………1 分

( 也可 ? S?PQR

3cos ?1 1 ?? 3cos ? 2 2 3cos ?3

5 sin ?1 1 5 sin ? 2 1 5 sin ?3 1
………2 分)

=

1 9 15 3 5 sin(?2 ? ?1 )+3 5 sin(?3 ? ? 2 )+3 5 sin(?1 ? ?3 ) ? 2 4
第 8 页

得出重心关系式 1 分,夹角三角比 1 分,面积推导 2 分,结论 1 分 补充其他:

? ? sin(?1 ? ? 2 ) ? ? 2? 2? 4? ? ? ? ?sin(? 2 ? ?3 ) ? ,? 2 =?3 ? ,?1 =?3 ? 不妨设 ?1 ? ?2 ? ?3 ,则 ?1 =? 2 ? 3 3 3 ? ? ? sin(?3 ? ?1 ) ? ? ?
【方法二】 设 P?x1 , y1 ? 、 Q?x2 , y 2 ? 、 R?x3 , y3 ?,则有:

3 2 3 2 3 2

? x1 ? x 2 ? x3 ? 0 ? ? y1 ? y 2 ? y 3 ? 0

…………………………………………………………………1 分

? x ? ? x1 ? x2 ,代入椭圆方程得: 10x1 x2 ? 18y1 y 2 ? ?45 ………………1 分 ?? 3 ? y3 ? ? y1 ? y 2 27 2 2 2 2 所以 ?18y1 y2 ? ? ?45 ? 10x1 x2 ? ? x1 ? x 2 ? x1 x 2 ? ……………………1 分 4 3 S ?PQR ? 3S ?POQ ? x1 y 2 ? x 2 y1 2 45 2 ?x12 ? x22 ? x1 x2 ? ………………………………………………………1 分 ? S? PQR ? 4 45 27 9 15 ? S ?PQR ? ? ? …………………………………………………………1 分 4 4 4 得出重心关系式 1 分,坐标关系 10x1 x2 ? 18y1 y 2 ? ?45得 1 分,面积推导 2 分结论 1 分
? m ?1 ?1 ? 1 2 ?m ? m ? 1 ? 1
? m ? 2或m ? ?3
n?n ? 1?d 2

21、 (1) ?

………………………………………………………2 分

…………………………………………………………2 分 (1)的说明:列式 2 分,答案 2 分 (2) S n ? na1 ?

; ? 数列 ?S n ? 是“K 数列” ? S n?1 ? S n ? 1
*

? an?1 ? 1

? a1 ? nd ? 1 对 n ? N 恒成立…………………………………………………2 分 ?d ? 0 1分 ? a1 ? d ? 1 且 d ? 0 …………………………………………………………… 1 分 * (2) )的说明: an?1 ? 1 或 a1 ? nd ? 1 对 n ? N 恒成立 2 分, 两个结论,每个各 1 分, d ? 0 1 分, a1 ? d ? 1 1 分 (3) 2Sn?1 ? 3Sn ? 2a1 2Sn ? 3Sn?1 ? 2a1 ?n ? 2? ? 2an?1 ? 3an ?n ? 2? ? 2a2 ? 3a1 也成立……………………………………………………………1 分
第 9 页

? 2an?1 ? 3an ?n ? 1? 3 a 3 ? n ?1 ? ? ?an ?是公比为 的等比数列 2 an 2
?3? ? a1 ? 1 ? an ? ? ? ?2?
n ?1

………………2 分
n

? 3? n ? 3? ? cn ? ? ? ? ? ? ?? 1? ? ? ? ? 2? ? 2? 由题意得: cn?1 ? cn ? 1
1 ? 3? ? ?? ?? ? 2 ? 2?
n ?1

n ?1

? ?? 1?

n ?1

5 ? 3? ? ?? ? ?1 2 ? 2?
n ?1

n

……………………………2 分

? 2? 1? 当 n 为偶数时, ? ? 2 ? ? ? ? 3?

?
n ?1

53 15 恒成立 ? ? ? ……………………2 分 6 2

11 15 ? 2? 2? 当 n 为奇数时, ? ? 2 ? ? ? ? 恒成立 ? ? ? ? …………………2 分 2 2 ? 3? 53 所以综上: ? ? ………………………………………………………………1 分 6
此环节 3+2+5 分阅卷标准: 正确求出通项公式 a n ? ? ?

? 3? ? 2?

n ?1

3 分,说明

a2 ?

3 a1 2 必须要说明,否则扣 1 分

代入列出目标不等式 2 分,分类讨论各 2 分,结论 1 分 若有目标不等式,在后面 5 分中,只有通过 c1 , c2 , c3 , c4 等特殊几项得出正确的结论,只有 2 分, 若没有列出目标不等式,在后面 7 分中,若只有通过 c1 , c2 , c3 , c4 等特殊几项得出正确的结 论,只有 2 分

第 10 页


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