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高一数学直线与方程复习课件


直线与方程复习课

1.直线的倾斜角:理解直线的倾斜 角的概念要注意三点: (1)直线向上的方向; (2)与x轴的正方向; (3)所成的最小正角,其范围是 [0,180°) 规定:直线与x轴平行或重合时的 倾斜角为0°

2

2.直线的斜率: (1)定义:倾斜角不是90°的直线的 ? 的正切值叫做这条直线的斜率, 倾斜角 k ? tan ? 常用 k 表示,即: ? ? 90? 的直线斜率不存在; (2)经过两点 P 1 ( x1 , y1 )、P 2 ( x2 , y2 )的直

y2 ? y1 线的斜率公式 k ? (其中 x1 ? x2 ) x2 ? x1
3

直线方程归纳
名 称 已 知 条 件 标准方程 适用范围
不表示垂直于x 轴的直线 不表示垂直于x 轴的直线

点斜式 点P( x0 , y0 )和斜率 k y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 斜截式 斜率 k 和纵截距 b
y ? kx ? b

y ? y1 x ? x1 不表示垂直于 两点式 点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) y ? y ? x ? x 坐标轴的直线 2 1 2 1

截距式 横截距 a ,纵截距 b

x y ? ?1 a b

不表示垂直于 坐标轴和过原 点的直线
A、B 不同时为0
4

一般式 两个独立的条件 Ax ? By ? C ? 0

判断两条直线的位置关系
L1:y=k1x+b1 L2:Y=K2x+b2 (K1,k2均存在) L1:A1X+B1Y+C1=0 L2:A2X+B2Y+C2=0 (A1、B1 , A2 、 B2 均不同 时为0)

平行
重合

K1=K2且b1≠b2
K1=K2且b1=b2

A1B2 ? A2 B1 ? 0 BC 1 2 ? B2C1 ? 0 A1B2 ? A2 B1 ? 0 BC 1 2 ? B2C1 ? 0

相交
垂直

K1≠K2
K1k2=-1

A1B2 ? A2 B1 ? 0 A1 A2 ? B1B2 ? 0
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直线的交点个数与直线位置的关系
方程组: 一组 无数解 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0的解 两条直线L1,L2的公共点 一个 无数个 无解

零个

直线L1,L2间的位置关系

相交

重合

平行
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关于距离的公式
2 2 | PP | ? ( x ? x ) ? ( y ? y ) 1、两点间的距离公式 1 2 2 1 2 1

x1 ? x2 ? ? x0 ? 2 2、中点坐标公式 ? y1 ? y 2 ? y0 ? 2 ?

3、点到直线的距离公式: d?
4、两平行直线间的距离公式: d?

Ax0 ? By0 ? C A ?B C1 ? C2
2 2

A ?B
2

2

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自我测评
1.直线 3 x-y+1=0的倾斜角等于( B ) A. 120 ° C. 150 ° B. 60 ° D. 30 °

2. 设直线l1的方程为:x+y=2,

直线l2的方程为:ax+y=1.
(1)当 a≠1 时, l1与l2相交;

(2)当 a=1

时, l1与l2平行,
2 2

它们间的距离为



(3)当 a=-1 时, l1与l2垂直.
9

练习题一: 1、求经过点A(-1,2),斜率为 2 的直线方 程。

y ? 2 ? 2 ( x ?1)即: 2x ? y ? 2 ? 2 ? 0
2、求倾斜角是 120 ,在y轴上的截距是2的直 线方程。
?

y ? ? 3x ? 2即: 3x ? y ? 2 ? 0
3、求经过点(2,1)、(0,-2)的直线方程

y ?1 x ? 2 ? 即 : 3x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 2 ?1 0 ? 2

练习题二 1、求过点A(1,2),且与直线4x+y+3=0平 行的直线方程。

4x ? y ? 6 ? 0
2、求过点B(2,0),且与直线x+2y+5=0垂 直的直线方程。

2x ? y ? 4 ? 0

类型一:直线方程及其应用 例1:求经过 P(3,?4) ,并且在两轴上截距之 和为0的直线方程。 解析:(1)当直线过原点时,横截距与纵截 距之和为0,符合题意。此时易得直线的方程 为:4 x ? 3 y ? 0 (2)当直线不过原点时,可设直线的 横截距为 a,则纵截距为 ? a,根据截距式方程

x y ? 1 ,将点 P(3,?4) 代入方程, 有: ? a ?a a ? 7 ,所以直线方程为: x ? y ? 7 ? 0 解得: 综上:直线方程为4 x ? 3 y ? 0 或 x ? y ? 7 ? 0

例1:求经过 P(3,?4) ,并且在两轴上截距之 和为0的直线方程。
易错点分析:在解题的过程中,同学们容易想 到利用截距式来解题,但是忽略了截距式的使 用条件(不能表示过原点的直线),而恰恰过 原点的直线就是符合题意的一个答案。

类型二:两直线平行的条件

例2:已知直线 l1 : ax ? (a ? 1) y ? a ? 0 和

l2 : (a ? 2) x ? 2(a ? 1) y ? 4 ? 0 ,若 l1 ∥l2 ,
求 a 的值.

a a?2 , k2 ? ? 解析:因为 k1 ? ? a ?1 2(a ? 1) a ? ?1 (1)当 k1不存在时, ,此时 k2也不存在, 有 l1 ∥l2,满足条件。所以 a ? ?1 。
(2)当 k1与k2都存在时,有k1 ? k 2,即:

a a?2 ? ?? a ?1 2(a ? 1)

? l1 : 2 x ? 3 y ? 2 ? 0 解之得:a ? 2 ,此时有: ? ?l2 : 4 x ? 6 y ? 4 ? 0 显然 l1 与 l 2 重合,不符合题意,故舍去。 a ? ?1 综上:

类型二:两直线平行的条件

例2:已知直线 l1 : ax ? (a ? 1) y ? a ? 0 和

l2 : (a ? 2) x ? 2(a ? 1) y ? 4 ? 0 ,若 l1 ∥l2 ,
求 a 的值.
易错点分析:在解题的过程中,同学们 往往会忽略斜率相等的直线并不一定会 平行,还有可能是重合,所以算出结果 后,还需代进原方程进行检验。

类型三:点到直线的距离 例3:直线 l 经过 P(?1,2) ,且点 A(?4,1), B(2,5) 到直线 l 的距离相等,求直线 l 的方程。

解析:(1)当直线 l 的斜率不存在时,则直 线 l 的方程为 x ? ?1 ,此时点 A、B 到直线 的 距离均为3,显然满足条件; (2)当直线 l 的斜率存在时,可设斜 率为 k ,则其方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,整理成 一般式得: kx ? y ? k ? 2 ? 0 ,因为点 A、B 到 直线的距离相等,则有:

? 4k ? 1 ? k ? 2 k ? (?1)
2 2

?

2k ? 5 ? k ? 2 k ? (?1)
2 2

2 k ? ,则直线方程为:2 x ? 3 y ? 8 ? 0 解之得: 3
综上:直线方程为 x ? 1 ? 0或2 x ? 3 y ? 8 ? 0

类型三:点到直线的距离 例3:直线 l 经过 P(?1,2) ,且点 A(?4,1), B(2,5) 到直线 l 的距离相等,求直线 l 的方程。 易错点分析:在选择直线的方程时,理论上 可以选择任意一种方程形式,而同学们更容 易选择点斜式,因为没有说明斜率是否存在, 所以导致漏解。因此在选择任何一种方程的 时候,一定要注意所选方程的使用范围。

l2 B(5,0) 跟踪训练:直线 l1 经过 A(0,1) ,经过点 若l1 ∥l2,且 l1 与l 2 的距离为5,求直线 l1 与 l 2 的方程

课堂小结
1. 掌握倾斜角及斜率的相关概念; 2. 正确使用直线的5种方程式,特别

要注意其使用范围;
3. 三个距离:两点间的距离、点到直

线的距离、两平行线间的距离;
4. 掌握分类讨论的数学思想;


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