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2.2.3向量数乘运算及其几何意义


2.2 平面向量的线性运算 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 复习回顾 向量的加法 如图,已知向量a和向量b,作向量a+b. b a b a O. B o. a+b A B a+b A C 复习回顾 向量的减法 如图,已知向量a和向量b,作向量a-b. a b o. a-b A B 探究一:向量的数乘运算及其几何意义 思考1:已知非零向量a,如何求作向量 a +a +a和(-a)+(-a)+(-a)? a a O a A B a C OC ? a ? a ? a -a -a M O -a P N OP ? (?a) ? (?a) ? (?a) 思考2:向量a +a +a和(-a)+(-a)+(-a) 分别如何简化其表示形式? a+a+a记作3a,(-a)+(-a)+(-a)记为-3a 思考3:向量3a和-3a与向量a的大小和 方向有什么关系? a a O A a B a -a P N -a M -a O C 思考4:一般地,我们规定:实数λ与向量 a的积是一个向量,这种运算叫做向量的 数乘.记作λa. 其长度和方向规定如下: 1.|λa|=|λ||a|; 2.λ>0时,λa与a方向相同; λ<0时,λa与a方向相反; λ=0时,λa =0. 思考5:如图,设点M为△ABC的重心,D为 BC的中点,那么向量 BD 与 BC , AD 与 DM 分别有什么关系? 注:三角形的三条 高的交点叫垂心, 中线的交点叫重心, 角平分线的交点叫内心, 中垂线的交点叫外心. A M B 1 BD ? BC 2 D C AD ? ?3DM 探究二:向量的数乘运算性质 思考1:你认为-2×(5a), 2a+2b, (3 + 2) a可分别转化为什么运算? -2×(5a)= -10a ; 2a+2b = 2(a+b); (3+ 2 )a =3a+ 2 a. 向量的数乘运算满足如下运算律: 设? , ?为实数,那么: ? ?? ( ? a) ? (?? )a; 1 ? ?(? ? ? )a ? ? a ? ? a; 2 ? ?? (a ? b) ? ? a ? ? b. 3 特别地有: (?? )a ? ?(? a) ? ? (?a), ? (a ? b) ? ? a ? ? b. 思考 2 :对于向量 a(a≠0) 和 b ,若存在 实数 λ ,使 b=λa ,则向量 a 与 b 的方向有 什么关系? 思考 3 :若向量 a(a≠0) 与 b 共线,则一 定存在实数λ,使b=λa成立吗? 思考4:综上可得向量共线定理: 向量 a(a≠0) 与 b 共线 , 当且仅当有唯 一一个实数λ,使b=λa. 思考5:若存在实数λ,使 AB ? ? BC ,则 A、B、C三点的位置关系如何? AB ? ? BC ? A, B, C三点共线 思考6:如图,若P为AB的中点,则 OP 与 OA 、 OB 的关系如何? O 1 OP ? (OA ? OB ) 2 A P B 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 对于任意向量 a, b,以及任意实数 ? , ?1 , ?2 , 恒有 : ? ( ?1 a ? ?2 b) ? ?? 1 a ? ?? 2 b 理论迁移 例1.计算: (1)(-3)×4a; (2)3(a+b)-2(a-b)-a; (3)(2a+3b-c)-(3a-2b+c). 例2.如图,已知任意两个非零向量 a , b , ????

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