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2011-2015全国卷ⅠⅡ选修4-4高考真题及答案


(2011 课标全国)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?
M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

uu u v

uuuv

? 与 C1 的异于极 3

解析:(I)设 P(x,y),则由条件知 M(

x y , ).由于 M 点在 C1 上,所以 2 2

?x ? ? 2cos ? , ? ? ?2 ? ? ? ? y ? 2 ? 2sin ? ? ?2 ? ? ?
从而 C 2 的参数方程为



? x ? 4cos ? ? ? ? ? y ? 4 ? 4sin ? ?

? x ? 4cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ?
(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? ,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ?

? ? 与 C 1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin , 3 3 ? ? 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin 。 3 3

射线 ? ?

所以 | AB |?| ? 2 ? ?1 |? 2 3 .

(2012 课标全国)已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x ?y ? 3sin?

轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在

? C 2 上,且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, ) 3

(1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

【解析】 (1)点 A, B, C , D 的极坐标为 (2,

?
3

), (2,

5? 4? 11? ), (2, ), (2, ) 6 3 6

点 A, B, C , D 的直角坐标为 (1, 3),(? 3,1),(?1, ? 3),( 3, ?1) (2)设 P( x0 , y0 ) ;则 ?
2 2 2

? x0 ? 2cos? (?为参数) ? y0 ? 3sin?
2

t ? PA ? PB ? PC ? PD ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 40

? 56 ? 20sin 2 ? ?[56,76]
(2013 课标全国Ⅰ)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 y ? 5 ? 5sin t ?

极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ). 解:(1)将 ?
2

? x ? 4 ? 5cos t , 2 2 消去参数 t,化为普通方程(x-4) +(y-5) =25, ? y ? 5 ? 5sin t
2

即 C1:x +y -8x-10y+16=0. 将?
2

? x ? ? cos ? , 2 2 代入 x +y -8x-10y+16=0 得 y ? ? sin ? ?

ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 2 ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. 2 2 (2)C2 的普通方程为 x +y -2y=0. 由?

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0,
2 2

?x ? y ? 2 y ? 0 ? x ? 1, ? x ? 0, 解得 ? 或? ? y ? 1 ? y ? 2.
所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 2,

? ?

π? ? π? ? , ? 2, ? . 4? ? 2?

(2013 课标全国Ⅱ)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C: ?

? x ? 2cos t , (t 为参数)上,对应参数分别为 t=α 与 t=2α (0 ? y ? 2sin t

<α <2π ),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程;

(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 解:(1)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),Q(2cos 2α ,2sin 2α ), 因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ).

M 的轨迹的参数方程为 ?

? x ? cos ? ? cos 2? , (α 为参数,0<α <2π ). ? y ? sin ? ? sin 2?

(2)M 点到坐标原点的距离

d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ? (0<α <2π ). 当 α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点.

? ?x=2+t, x2 y2 (2013 课标全国Ⅰ)已知曲线 C: + =1,直线 l:? (t 为参数). 4 9 ?y=2-2t ?

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线, 交 l 于点 A, 求|PA|的最大值与最小值.
?x=2cos θ , ? 解:(1)曲线 C 的参数方程为? (θ 为参数), ?y=3sin θ ?

直线 l 的普通方程为 2x+y-6=0. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ ,3sin θ )到 l 的距离 d= 5 |4cos θ +3sin θ -6|, 5 d 2 5 = |5sin(θ+α)-6|, 5 sin 30°

则|PA|=

4 其中 α 为锐角,且 tan α = . 3 22 5 当 sin(θ+α)=-1 时,|PA|取得最大值,最大值为 . 5 2 5 当 sin(θ+α)=1 时,|PA|取得最小值,最小值为 . 5 (2014 课标全国Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立 π 极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ ,θ ∈?0, ?. 2? ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标. 解:(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得 C 的参数方程为 ?x=1+cos t, ? ? (t 为参数,0≤t≤π ). ?y=sin t, ? (2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在 π 点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3,t= . 3

π π 3 3 故 D 的直角坐标为?1+cos ,sin ?,即? , ?. 3 3? ? 2 2 ? ?

(2015 课标全国Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 :

x = ? 2,圆 C2 :? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,
2 2

以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求 C1 , C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 的面积. (2015 课标全国Ⅱ)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 : ?

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,求 ?C2 MN

? x ? t cos ? , ( t 为参数, t ? 0 ) ,其 ? y ? t sin ? ,

中 0 ? ? ? ? ,在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 2sin ? , 曲线 C3 : ? ? 2 3 cos? . (Ⅰ).求 C2 与 C1 交点的直角坐标; (Ⅱ).若 C2 与 C1 相交于点 A , C3 与 C1 相交于点 B ,求 AB 的最大值.


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