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高中数学综合复习 函数课件 新课标 人教版 必修1(A).ppt


知识结构
指数函数 单调性 映射 函数 奇偶性 对数函数

一一 映射

应用

(一)知识点归纳 1、映射、函数、函数的三要素、 函数的单调性、函数奇偶性。 2、反函数,互为反函数的函数图 像间的关系。 3、指数,对数;指数函数,对数函数

(二)典例分析
(三)单元测试

例1 函数y=log 12 (x2-2x+3)的定义域为_____ 值域为_____,单调增区间为______,减区 间为______。

解:x2-2x+3>0 ∴x∈R x2-2x+3=(x-1)2+2≥2 ∴y=log 12 (x2-2x+3)≤-1 单调增区间为(-∞,1], 减区间为[1,+∞)

例2 y=log2 ? ( x ? 6 x ? 5) 的值域为_______, 增区间为______,减区间为_______。
2

解:-(x2-6x+5)>0
2

x2-6x+5<0

1<x<5

? ( x 2 ? 6 x ? 5) ? ? ( x ? 3) 2 ? 4 ? 2

∴y=log2 ? ( x ? 6 x ? 5) ≤log22=1 ∴值域为y≤1 增区间为(1,3] 减区间为[3,5)

例3 函数y=log 12 (x2-ax-a)在区间(-∞,1- 3 ) 上是增函数则a的范围是_______。 (f(x)=log 12 (3x2-ax+5)在[-1,+∞)上是减函数 则a范围为______)。
2 a a 2 解:∵x2-ax-a=(x- 2 )2-a 4 ∵y=log 1 (x2-ax-a)在(-∞,1-

是增函数 a ∴ 2 ≥1- 3 (1- 3 )2-a(1- 3 )-a≥0 ∴2-2 3 ≤ a≤2

2

3)上

例4 当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax恒成 立,则a的范围是________。 解:令y1=(x-1)2 y2=logax 当曲线y=logax过A(2,1)时 1=loga2 ∴a=2 欲使x∈(1,2] (x-1)2<logax恒成立 O 必须使1<a≤2
y

A(2,1)
1 2 x

2x+log1x单调减区间为___。 例5 函数y=log1 3 3

解:令t=log 1 x 3 1 2 1 2 y=t +t=(t+ 2 ) - 4 1 ∴log 1 x ≥ 3 2 ∴0<x≤ 3 2x+log 1 x ∴函数y=log 1 3 3 单调减区间为(0, 3 ]

例6 设0<a<1,x,y满足 logax+3logxa-logxy=3 若y有最大值为 42 ,求此时a值及x的值。 3 y x 解:logx =loga + log ax -3 ∴logay=log2ax-3logax+3

y?a
3 4

3 2 3 (loga x ? ) ? 2 4

a = 42 ∴a= 1 3 4 3 2 x 1 1 ∴log 4 = 2 ∴x=( 4 ) =

1 8

例7 函数y=logax(0<a<1) x≥1的图象上有 A、B、C三点,它们的横坐标分别为t, t+2,t+4。 (1)若△ABC面积为S,求S=f(t)。 (2)判断S=f(t)的单调性。 (3)求S=f(t)的最大值。
S

0

t A′ t+2 B′ t+4 C′ A

t

B

C

解:A(t,logat) B(t+2,loga(t+2)) C(t+4,loga(t+4)) S=SAA′BB′+SBB′CC′-SAA′C′C =(|logat|+|loga(t+2)|)+(|loga(t+2)|+|loga(t+4)|) -2(|logat|+|loga(t+4)|) ∴ t≥ 1 t (t ? 4) ∴S=loga ( t ? 2 ) 2 4 S=loga(1- (t ? 2 ) 2 )在[1+∞)上为减函数 (3)∴当t=1时 5 S大=loga 9

例8 当0<a<1时方程a|x|=|logax|解的个数为 y _____个。
1

A
0

B
x

例9 方程ax+1=-x2+2x+2a(a>0,且a≠1)解 的个数为______。 y
解:-x2+2x+2a =-(x-1)2+2a+1 2a+1>a+1
2

0 x=1

x

例10 已知x1是方程x+lgx=4的解,x2是方 程x+10x=4的解,则x1+x2=_____。 (A)5 (B)4 (C)3 (D)1 法1:∵x1+lgx1=4又x2+10x2=4 ∴3<x1<4 0<x2<1 ∴3<x1+x2<5 ∴选B

法2

lgx=4-x 10x=4-x ∴x1+x2=4

y (2,2)

x2

x1

x

法3 令lgx1=t 则x1+t=4 x1=10t ∴10t+t=4 又∵x2+10x2=4 ∴t=x2 ∴x1+x2=4

例11 已知关于θ的方程sin2θ+acosθ-2a=0 有实数解,求实数a的范围。 解:原方程可化为: cos2θ-acosθ+2a-1=0 令cosθ =t -1≤t≤1 t2-at+2a-1=0

法1 令f(t)=t2-at+2a-1
y y

-1
O

1
x



-1 O

1
x

f(1)· f(-1)≤0 ∴a· 3a≤0 ∴a=0

△≥0 a -1≤ 2 ≤1 f(-1)≥0 f(1)≥0

∴0≤a≤4-2 3

法2

+2-cosθ)≤4-2 3 ∴0≤a≤4-2 3

1?cos2 θ a= 2?cosθ 3 =4-( 2?cosθ

法3 原方程可化为: cos2θ-1=a(cosθ-2) t2-1=a(t-2) 0≤a≤4-2 3

y
0 t

例12 某厂1、2、3月的产量分别为1,1.2 ,1.3(万件)日产量是月份的函数,模拟 函数可以为二次函数,也可以为函数 g(x)=a· bx+c。已知4月份产量为1.37(万件 )问用哪一个函数模拟好? 解:设f(x)=px2+qx+r 由题设知: p+q+r=1 4p+2q+r=1.2 9p+3q+r=1.3

∴p=-0.05 q=0.35 r=0.7 f(x)=-0.05x2+0.35x+0.7 f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3 又 ab+c=1 ab2+c=1.2 ab3+c=1.3 ∴a=-0.8 b=0.5 c=1.4 ∴g(x)=-0.8· 0.5x+1.4 g(4)=-0.8· 0.54+1.4=1.35 ∴用g(x)好。

例13 设a>0,a≠1为常数,函数 x ?5 f(x)=loga x ? 5 (1)讨论f(x)在区间(-∞,-5)内的单调性, 并给予证明。 (2)设g(x)=1+loga(x-3)如果方程f(x)=g(x) 有实根,求a的范围。 解:设U(x)= x1<x2<-5 x1 ?5 x2 ? 5 则U(x1)-U(x2)= x ?5 ? x ?5 1 2 10 ( x1 ? x 2 ) = ( x1 ? 5 )( x 2 ? 5 )
x ?5 x ?5

∵x1<x2<-5 ∴x1-x2<0 x1+5<0 x2+5<0 ∴U(x1)-U(x2)<0 ∴U(x)在(-∞,-5)上是增函数。 x ?5 当a>1时 f(x)=loga x ? 5 在(-∞,-5)上是增函数。 x ?5 当0<a<1时 f(x)=loga x ? 5 在(-∞,-5)上是减函数。

x ?5 (2)loga x ? 5

=1+loga(x-3)有大于5的实根
x ?5 x ?5

∴a(x-3)=

a[(x-5+2]=

x ?5 x ?5?10

令x-5=t (t>0) +12≥12+4

t a(t+2)= t ?10 (t ? 2)(t ?10 ) 20 1 ∴ a= =t+ t t 1 3 5 ∴a≤12?4 5 = 16 ∴0<a≤ 3165 。

单元测试 一、单选题 1)若指数函数y=f(x)反函数的图像过点 (2,-1),则此指数函数是() 1 x (A) y=( 2 ) (B) y=2x (C) y=3x (D)y=10x x?2 x?2 x 2)若f(x)= x ? 2 ,则f( x ? 2 )=- 2 的解为() (A)2 (B)-2 (C)±2 (D)±1 3)若函数y=f(x)的定义域是[-2,2],则函数 g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是() (A) [-4,2] (B) [-2,2] (C) [-2,4] (D) [-4,-2]

4)设集合A和B都是坐标平面上的点集 |(x,y)|x∈R,y∈R|,映射f:A→B把A中的元 素(x,y)映射成B中的元素(x+y,x-y),则在映 射下,象(2,1)的原象是() 3 1 3 1 (A) (3,1) (B) ( 2 , 2 ) (C) ( 2 ,- 2 ) (D) (1,3) 5)函数y=f(x)的定义域和值域都是(-∞,0), 那么函数y=f(-x)的图像一定位于() (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

6)如果0<a<1,0<x2<x1,则下列各式中正 确的是(B) (A)1<ax2<ax1 (B)ax1<ax2<1 (C)ax2<ax1<1 (D)ax1<1<ax2 7)若函数f(x-1)是偶函数,则函数f(x) () (A) 以x=1为对称轴 (B) 以x=-1为对称轴 (C) 以y轴为对称轴 (D) 不具有对称性 8)已知f(x)=asinx+b3 x +4(a,b∈R),且f(lg log310)=5,则f(lg lg3)的值是() (A)-5 (B)5 (C)-3 (D)3

9)已知函数f(x),(x∈R)满足: (1)f(1+x)=f(1-x);(2)在[1,+∞)上为增函数 ;(3)x1<0,x2>0,且x1+x2<-2,则f(-x1)与f(x2)的大小关系是() (A) f(-x1)>f(-x2) (B) f(-x1)=f(-x2) (C) f(-x1)<f(-x2) (D)无法确定 10)若f(x)为奇函数,且在(-∞,0)内是增函 数,又f(-2)=0,则x· f(x)<0的解集为() (A) (-2,0)∪(0,2) (B) (-∞,-2)∪(2,+∞) (C) (-∞,-2)∪(2,+∞) (D) (-2,0)∪(2,+∞)

11)若f(x),g(x)均为奇函数,且 F(x)=af(x)+bg(x)+1在(0,+∞)上有最大值4 ,则F(x)在(-∞,0)上有最小值() (A)-4(B)-2(C)-1(D)3 12)定义在R上的函数y=f(x)有反函数,则 函数y=f(x+a)+b的图像与y=f-1(x+a)+b的图 像间的关系是() (A) 关于直线y=x+a+b对称 (B) 关于直线x=y+a+b对称 (C) 关于直线y=x+a-b对称 (D) 关于直线x=y+a-b对称

二、填空题 13)已知函数f(x)=ax2+b(x<0)的图像过点 ?1 (-2,11),f (x)的图像过点(2,-1),则a=___, b=___。 14)已知logx3<logy3<0,则0,1,x,y之间的 大小关系是_________。 15)已知0<a<1,则方程a|x|=|logx| 。实根 的个数是____个。x 4 ?a 16)设函数g(x)= 2 x 是奇函数,则a=__。
a

三、解答题 17)设f(x)是R上的偶函数,且在区间(-∞,0) 上递增,若有f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1),求a 的取值范围。 解:∵2a2+a+1>0 3a2-2a+1>0 ∴2a2+a+1>3a2-2a+1 a2-3a<0 0<a<3

18)已知常数a>1,变数x,y之间有关系式: logax+3logxa-logxy=3。 (1)若x=at(t≠0),试求以a,t表示y的表达式; (2)若t的变化范围为[1,+∞)此时y的最小值为8, 求a和x值。 解:(1)logax+3logxa-logxy=3 log a y 3 ∴ =logax+ log x -3 log a x a 2 ∴logay=loga x-3logax+3 3 2 3 (log x ? ) ? 4 y=a a 2 3 2 3 ( t ? ) ? =a 2 4 3 3 (2)当t= 时 y小=a =8 24 4 ∴a=8 3 =16 3 此时x=16 2 =64

19)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函 数g(x)=-bx,其中a,b,c满足a>b>c,a+b+c=0 (1)求证:两函数的图像交于不同的两 点A,B; (2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长 的取值范围。 解: (1) y=ax2+bx+c ∴ax2+bx+c=-3x y=-bx ax2+2bx+c=0① △=4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac c 2 3 2 =4[(a+ 2 ) + 4 c ] ∵a>b>c a+b+c=0 ∴a>0 c<0 ∴△>0 ∴两函数图象交于两个不同点。

(2)设方程两个根分别为x1,x2 2b 则 x1+x2=- a c x1x2= a |A1B1|2=(x1+x2)2-4x1x2 2 4 b ? 4 ac 2b 2 4 c =(- a ) - a = a 2 2 4 ( ? a ? c ) 2 ? 4 ac c 3 1 = =4 [( a ? 2 ) ? 4 ] 2 a a>b>c a+b+c=0 ∴a>0 c<0 a>-a-c>c c 1 a ∈(-2,- 2 ) ∴|A1B1|2∈(3,12) 3 <|A1B1|<2 3

20)如图所示,铁路线上AB段长100千米 ,工厂C到铁路的距离CA为20千米,现在 要在AB上某一点D处,向C修一条公路, 已知铁路与公路的每吨千米的运费之比为 3:5,为了使原料从供应站B运到工厂C的 C 运费最省。D点应选在何处? 解:设|AD|=x 铁路上每吨千米运费 为3k,公路为5k。 2 A 400 ? x 总运费y=5k +3k(100-x) B D (0≤x≤100) y ?300 k ∴ =5 400? x2 -3x
k

y ?300 k 令 k =t ∴(t+3x)2=25(x2+400) ∴16x2-6tx+10000-t=0

△=36t2-4×16(10000-t)≥0 ∴t≥80 当t=80时 x=15时,即D取在距A15千米处,总 运费量省。 法2 设∠ACD=a 20 则总运费量y=3(100-20tana)+5 × cos? 5 60 ( 3 ?sin ? ) 5 5 ??? 5 ? sin a=300+ cos?
cos? 0 ? ( ? cos a ) 5 ??? 3 3 ( cos? )小= 4 3
3

?

3

3

此时 tana= 4 ∴AD=15(千米)

21)已知函数f(x)=3x且f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x的定义域为区间[0,1]。 (1)求g(x)的解析式; (2)求g(x)的单调区间,确定其增减性并 试用定义证明; (3)求g(x)的值域。 解:(1)∵f(x)=3x且f-1(18)=a+2 ∴f(a+2)=3a+2=18 3a=2 ∴g(x)=2x-4x

(2)令t=2x 2+ 1 g(t)=t-t2=-(t- 1 ) t∈[1,2] 2 4 ∵g(t)在[1,2]上单调递减 ∴g(x)在[1,2]上单调递减 证:设0≤x1<x2≤1 g(x2)-g(x1)=2x2-4x2-2x1+4x1 =(2x2-2x1)-(2x2-2x1)(2x2+2x1) =(2x2-2x1)(1-2x1-2x2) ∵0≤x1<x2≤1 ∴2x2-2x1>0 1-2x1-2x2<0 ∴g(x2)<q(x1) q(x)在[0,1]上是减函数 (3)g(1)≤q(x)≤g(0) ∴-2≤g(x)≤0 ∴g(x)值成为[-2,0]

? 22)设函数f(x)=log2 定义域为全体实数。 (1)求实数m的所有允许取值所组成的集 合M; (2)求证:对所有m∈M所确定的所有函 数f(x)的函数值中,最小的一个是2,并求 出使函数值等于2的m和x的值。 1 2 2 解:(1)x -2mx+2m + m2 ?2 >0 恒成立 1 2 2 ∴△=4m -4(2m + m2 ?2 )<0 4 2 m ? 2 m ?1 即 m 2 ? 2 >0 ∴m> 2 或m<- 2
(x2-2mx+2m2
1 m2 ?2)的

(2)令U(x)=x2-2mx+2m2+

=(x-m)2+m2=

当x=m时 U(x)小 ∵m2-2>0 1 2 ∴U(x)小=m -2+ m2 ?2 +2≥4 1 2 由m -2= m2 ?2 (m2-2)2=1 ∴m=± 3 此时f(x)小=2 x= 3或- 3

1 m2 ? 2

1 m2 ? 2 1 m2 ? 2

=m2+


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