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数学第二章 2.2 2.2.3 独立重复试验与二项分布.ppt


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张全刚

第二章

随机变量及其分布

2.2.3 独立重复试验与二项分布

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第二章

随机变量及其分布

第二 章 2.2 二项 分布 及其 应用

2.2. 3 独 立重 复试 验与 二项 分布

课前预习巧设计

名师课堂一点通

创新演练大冲关

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第二章

随机变量及其分布

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第二章

随机变量及其分布

[读教材· 填要点] 1.n次独立重复试验的概念 在 相同 条件下重复做的n次试验称为n次独立重复

试验.

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第二章

随机变量及其分布

2.二项分布 在 n 次独立重复试验中,设事件 A 发生的次数为 X,在 每次试验中事件 A 发生的概率为 p,那么在 n 次独立重
k 复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X=k)=Cn

pk(1-p)n-k ,k=0,1,2,?,n.此时称随机变量 X 服从二

项分布,记作 X~ B(n,p) ,并称 p 为 成功概率 .

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第二章

随机变量及其分布

[小问题· 大思维] 1.在n次独立重复试验中,各次试验的结果相互有影 响吗? 提示:在n次独立重复试验中,各次试验的结果相 互间无影响.因为每次试验是在相同条件下独立进 行的.

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第二章

随机变量及其分布

2.二项分布与两点分布的关系是什么? 提示:二项分布是指n次独立重复试验中某事件恰好 发生k次的概率分布列,需要在相同条件下做n次试

验,两点分布指的是一次试验的两个结果的概率分
布.两者的含义不同,将两点分布的试验进行n次, 恰好发生k次的概率分布就成了二项分布.

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第二章

随机变量及其分布

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第二章

随机变量及其分布

[例 1] 某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的 3 概率为 ,且每次射击的结果互不影响,已知射手射击了 5 5 次,求: (1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率; (2)其中恰有 3 次击中目标的概率; (3)其中恰有 3 次连续击中目标,而其他两次没有击中目 标的概率.

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第二章

随机变量及其分布

[自主解答]

(1)该射手射击了 5 次,其中只在第一、三、五

次击中目标,是在确定的情况下击中目标 3 次,也就是在第 二、四次没有击中目标,所以只有一种情况,又因为各次射 3 3 3 击的结果互不影响,故所求概率为 P= ×(1- )× ×(1- 5 5 5 3 3 108 )× = ; 5 5 3 125

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第二章

随机变量及其分布

(2)该射手射击了 5 次,其中恰有 3 次击中目标.根据排列 组合知识,5 次当中选 3 次,共有 C3种情况,因为各次射击 5 的结果互不影响, 所以符合 n 次独立重复试验概率模型. 故 所求概率为 33 3 2 216 3 P=C5×( ) ×(1- ) = ; 5 5 625

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第二章

随机变量及其分布

(3)该射手射击了 5 次, 其中恰有 3 次连续击中目标, 而其他 两次没有击中目标,应用排列组合知识,把 3 次连续击中目 标看成一个整体可得共有 C1种情况. 3 故所求概率为 32 1 3 3 P=C3· ) · ( (1- ) = 5 5 324 . 3 125

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第二章

随机变量及其分布

保持例题条件不变,求3次击中目标且恰有2次连续 命中的概率?

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第二章

随机变量及其分布

解:5 次射击 3 次击中目标且恰有 2 次连续命中的情况有
2 A3=6 种情况.故所求概率为

32 2 3 3 P=A3( ) (1- ) = 5 5

648 . 3 125

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第二章

随机变量及其分布

解决此类问题的关键是正确设出独立重复试验中的事 件 A,接着分析随机变量是否服从二项分布,若服从,利 用公式 P(X=k)=Ck pk(1-p)n-k 计算便可. n

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第二章

随机变量及其分布

1.在人寿保险事业中,很重视某一年龄段的投保人的
死亡率,假如每个投保人能活到65岁的概率为0.6, 试问3个投保人中: (1)全部活到65岁的概率; (2)有2个活到65岁的概率;

(3)有1个活到65岁的概率;
(4)都活不到65岁的概率.

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第二章

随机变量及其分布

解:设 A={投保人能活到 65 岁}, 则 A ={投保人活不到 65 岁},P(A)=p=0.6, 所以 P( A )=1-p=1-0.6=0.4. 3 个投保人中活到 65 岁的人数 X 相当于 3 次独立重复试验 中事件 A 发生的次数,则 X~B(3,0.6).

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第二章

随机变量及其分布

(1)P(X=3)=C3×0.63×(1-0.6)0=0.216; 3 (2)P(X=2)=C2×0.62×(1-0.6)1=0.432; 3 (3)P(X=1)=C1×0.61×(1-0.6)2=0.288; 3 (4)P(X=0)=C0×0.60×(1-0.6)3=0.064. 3

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第二章

随机变量及其分布

[例2] 如果袋中有6个红球,4个白球,从中任取1球,
记住颜色后放回,连续抽取4次,设X为取得红球的次

数.求X的概率分布.

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第二章

随机变量及其分布

[自主解答]

采用有放回的取球,每次取得红球的概率都

3 相等,均为 ; 5 取得红球次数 X 可能取的值为 0,1,2,3,4. 由以上分析,知随机变量 X 服从二项分布, 3 4-k k?3?k ? 1- ? (k=0,1,2,3,4). P(X=k)=C4 ·
?5? ? ? ? ? ?

5?

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第二章

随机变量及其分布

随机变量 X 的分布列为 X 0 16 625 1 96 625 2 216 625 3 216 625 4 81 625

P

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第二章

随机变量及其分布

二项分布中“X=k”表示在n次独立重复试验中事件 恰好发生k次,其特点是:①一次试验中只有两种可能 结果;②事件在每次试验中出现的概率相等;③随机变 量X只取有限个实数.

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第二章

随机变量及其分布

2.甲、乙两人约定以“五局三胜”制进行乒乓球比赛, 2 比赛没有平局.设甲在每局中获胜的概率为 , 且各局 3 胜负相互独立.已知比赛中,乙赢了第一局比赛. (1)求甲获胜的概率;(用分数作答) (2)设比赛总的局数为 ξ,求 ξ 的分布列.

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第二章

随机变量及其分布

解:(1)甲获胜的概率
?2? ? ? 16 3 1 1 ?2?3 ? ? +C3·· = . P= 3 3 ?3? 27 ? ?

(2)由题意知,ξ=3,4,5
?1? 1 2 P(ξ=3)=?3? = , 9 ? ? ?2? ? ? 4 3 1 2 ?1?2 P(ξ=4)=?3? +C2·· = , 3 ?3? 9 ? ?

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第二章

随机变量及其分布

4 2?2?2?1?2 1 1 ?2?3 P(ξ=5)=C3 +C3·· = .
?3? ?3?

? ? ? ?

? ?

3 ?3?

9

∴ξ 的分布列为: ξ P 3 1 9 4 4 9 5 4 9

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第二章

随机变量及其分布

[例 3]

某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训, 以

提高下岗人员的再就业能力,每名下岗人员可以选择参加 一项培训、参加两项培训或不参加培训,已知有 60%的下 岗人员参加过财会培训,有 75%的下岗人员参加过计算机 培训. 假设每名下岗人员对培训项目的选择是相互独立的, 且各人的选择相互之间没有影响.

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随机变量及其分布

(1)任选 1 名下岗人员,求该人员参加过培训的概率; (2)任选 3 名下岗人员, ξ 为这 3 人中参加过培训的人 记 数,求 ξ 的分布列.

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第二章

随机变量及其分布

[自主解答] 任选 1 名下岗人员,记“该人员参加过财会培 训”为事件 A,“该人员参加过计算机培训”为事件 B, “该人员参加过培训”为事件 C,由题设知,事件 A 与 B 相互独立,且 P(A)=0.6,P(B)=0.75.

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第二章

随机变量及其分布

(1)法一:P( C )=P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.6)×(1-0.75) =0.1. 所以该人员参加过培训的概率是 P(C)=1-P(C)=1-0.1 =0.9.


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第二章

随机变量及其分布

法二:任选 1 名下岗人员,该人员只参加过一项培训的概率 是 P(AB)+P(AB)=0.6×(1-0.75)+(1-0.6)×0.75=0.45. 该人员参加过两项培训的概率是 P(AB)=0.6×0.75=0.45. 所以该人员参加过培训的概率是 P(C)=P(AB )+P(A B)+ P(AB)=0.45+0.45=0.9.
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第二章

随机变量及其分布

(2)因为每名下岗人员对培训项目的选择是相互独立的,所以 3 人中参加过培训的人数 ξ 服从二项分布 ξ~B(3,0.9),P(ξ
k =k)=C3×0.9k×0.13-k,k=0,1,2,3,故 ξ 的分布列是

ξ P

0 0.001

1 0.027

2 0.243

3 0.729

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第二章

随机变量及其分布

解决此类问题首先判断随机变量是否服从二项分布: 一般地,如果几个相互独立的试验具备相同的条件,在这 相同的条件下只有两个结果(A 和A),且 P(A)相同,那么 即可建立二项分布的概率模型; 其次计算 P(ξ=k)=Ck pk(1 n -p)n k,k=0,1,2,?,n;最后根据每次试验都是相互独 立的,求出相应的概率即可.
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随机变量及其分布

3.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第 18、19、20 层 可以停靠.若该电梯在底层载有 5 位乘客,且每位乘客在 1 这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用 X 表示这 5 位乘 3 客在第 20 层下电梯的人数,求随机变量 X 的分布列.

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第二章

随机变量及其分布

解:可视一位乘客是否在 20 层下电梯为一次试验,相当于 1 做了 5 次独立重复试验,故 X~B(5, ),即有 3
k 1 k 2 5- k P(X=k)=C5( ) ( ) ,k=0,1,2,3,4,5.从而,X

3 3 0

的分布列为:

X

1 80 243

2 80 243

3 40 243

4 10 243

5 1 243

P

32 243

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随机变量及其分布

有 10 台都为 7.5 千瓦的机床, 如果每台机床的使用情况是相 互独立的,且每台机床平均每小时开动 12 min,问全部机床 用电超过 48 千瓦的可能性有多大?(保留两位有效数字) 12 [巧思] 由于每台机床正常工作的概率为 =0.2,而且每台 60
机床都只有“工作”与“不工作”两种情况,故某一时刻正 常工作的机床台数服从二项分布.

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随机变量及其分布

[妙解]

设 X 为某一时刻正常工作的机床的台数,则 X~


B(10,0.2),P(X=k)=Ck · k· 10 k(k=0,1,2,?,10),根据 10 0.2 0.8 题意,48 千瓦可供 6 台机床同时工作,用电超过 48 千瓦,即 意味着有 7 台或 7 台以上的机床在工作, 这一事件的概率为: P(X≥7) = P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = C 7 10 ×0.27×0.83 + C
8 10

×0.28×0.82 + C

9 10

×0.29×0.81 + C

10 10

×0.210×0.80≈0.000 86.

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