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椭圆的标准方程123_图文

(第一课时)

图片感知 认识椭圆

如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢?

天体的运行

星系中的椭圆

——仙女座星系

1.椭圆的定义
椭圆定义的文字表述:

? 平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数 (大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。 ? 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 ? 两焦点之间的距离叫做焦距。
椭圆定义的符号表述: M F2 F1

MF1 ? MF2 ? 绳长
注意!

数学实验
改变两点之间的距离,使其与绳长相 等,画出的图形还是椭圆吗?

绳长能小于两点之间的距离呢?

感悟:(1)若|MF |+|MF |>|F F |,M点轨迹为椭圆.
1 2 1 2

(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段. (3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在.

2.椭圆的标准方程
y M y

M
O

F2 x

F1

O

F2

x

F1

方案一

方案二

建立平面直角坐标系通常遵循的原则:“对称”、“简洁”

? 以两定点F1、F2的所在直线为x 轴,线段F1F2的垂直平分线为y F1 (-c,0 轴,建立直角坐标系(如图)。
o

y

M (x,y) F2 x (c,0)

? 设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上任意一 点,则有F1(-c,0),F2(c,0),且M到F1,F2 的距离和为2a. 由椭圆的定义, 可知:|MF1|+|MF2|=2a

Y

由两点间的距离公式,可知:

M(x,y)
X

(x ? c) ? y ? (x ? c) ? y ? 2a
2 2 2 2

F1
(-c,0)

O

F2
(c,0)

所以 (x ? c)2 ? y 2 ? 2a ? (x ? c)2 ? y2
两边平方得: (x ? c)2 ? y 2 ? 4a2 ? 4a (x ? c)2 ? y 2 ?(x ? c)2 ? y 2
即:

a ? cx ? a (x ? c) ? y
2 2

2

两边平方得:a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

即:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 两边同时除以a2(a2-c 2) 得:
F1 (-c,0) o

y

M (x,y) F2 x (c,0)

x2 y2 ? 2 ?1 2 2 a a ?c
b>0,代入上式 , 可得:

因2a>2c,即a>c,故a2-c2>0, 令a2-c2=b2,其中

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
这就是所求椭圆的轨迹方程,它表示的椭圆的 焦点在x轴上,焦点是F1(-c,0)、F2(c,0).这

2

2

里c2=a2-b2.

思考:化简有没有第二种方法.
( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a (1)

直接平方,得: 移项,再平方 分子有理化,得: 2 2 2 2 22 22 2 2 4 ((xx?? c)c ?cx c)a ?? y 24? [( ? c) 22 ? ][( ? x? c)? ? y2 ]? ?y 42 a2 )? y ?? y ( x? 4 a2 ( xx? ?yy (x c) ? 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x ? c ) ? y ? ( x ? c ) ? y (x ? y ? c ) ? [( x ? c ) ? y ][( x ? c ) ? y ] ? a ? cx ? a ( x ? c ) ? y 2a 2 2 2 2 2 2 2 2 2cx 2 两边再平方,得 2 2 2 ? y 2? c )] [( x ? c ) ? y ][( x ? c ) ? y ] ? [ 2 a ? ( x 整理得 ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? (2)
2 2 (1) ? ( 2 ), 得 2 ( x ? c ) ? y ?2 2 2 2 22 4 2 2 2 2 2 2a ?

4 2 2 2 22 2 2 22 2 4 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 a a ?y2 ac cx a4a x( x??2 cx ?( x a ?ca ( x2 ? ? ) ?? 4cc xx ? 4? a ? ya ?2 ccx )? ?cy 2 ? ) y

2 2 2 a (x ? y ( ?a c )? ac? c x ? a y ? aa ? )x ( a ? c ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y ? a (a ? c 2 ) ( a 再平方整理即得 (a ? c ) x ? a y ? a ( a ? c )

椭圆的标准方程⑴
x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
它表示: ① 椭圆的焦点在x轴
2 2

y

M

F1

0

F2

x

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

② 焦点坐标为F1(-C,0)、F2(C,0) ③ c2= a2 - b2

思考:当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是 怎样的呢

y

椭圆的标准方程⑵
y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
它表示:
2 2

F2 M

O
F1

x

① 椭圆的焦点在y轴

( y ? c ) ? x ? ( y ? c ) ? x ? 2a
2 2 2 2

② 焦点是F1(0,-c)、 F2(0,c)

③ c2= a2 - b2

总体印象:对称、简洁

y

x y 方程 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 即为焦点在x轴上的椭圆的标准方程 .
所谓椭圆的标准方程,一定是 焦点在坐标轴上,且两焦点的 中点为坐标原点。
A1
y

2

2

F1

F2

x

B2 M

F1 o

b c c
B1

a
F2

A2x

思考:在图形中,a,b,c分别代表哪段的 长度?

定 义

|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y y
M F2 F 1
M

图 形

F1

o

F2 x

o

x

方 程 焦 点 a,b,c之间的关系

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F1(-c,0)、F2(c,0)

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F1(0,-c)、F2(0,c)

c2=a2-b2

注: 共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上, 中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1.
2 x 不同点:焦点在x轴的椭圆 项分母较大. 2 焦点在y轴的椭圆 y 项分母较大.

牛刀小试
1.下列方程哪些表示椭圆?若是,则判定其焦点在哪条坐标轴?

x2 y2 (1) ? ?1 16 16

(3)9 x 2 ? 25y 2 ? 225 ? 0
x2 y2 (4) 2 ? 2 ? 1( m ? 0) m m ?1

x2 y2 ( 2) ? ?1 25 16

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则: 焦点在分母大的那个轴上。

牛刀小试

x y 2. 2 ? 2 ? 1,则a= 5 ,b= 3 , 5 3 - 4,0)(4,0) , 焦距等于___. 焦点坐标为(___________ 8
3.

2

2

9x ? 4 y ? 36 则a= 3
2 2

.

, b= 2



2 5 (0, ? 5)、 (0, 5) , 焦距等于______. 焦点坐标为_____________

例题精析
例1、填空:

判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的 准则: 焦点在分母大的那个轴上。

x2 y2 ? 1 ,则 (1)已知椭圆的方程为: ? 25 16 5 ,b=_______ 4 a=_____ ,c=_______ ,焦点坐标 3 6 (3,0)、(-3,0) 焦距等于______; 为:____________ 若CD为过 左焦点F1的弦,则?F2CD的周长为________ 20
C y

|CF1|+|CF2|=2a
F1 D F2 x

y (2)已知椭圆的方程为: x ? ? 1 ,则 25 F2 5 ,b=_______ a=_____ ,c=_______ 1 2 6 ,
2

2

y

P x

焦点坐标为:______ __ (0,2 6 )(0,? 2 __ 6 ),

O
F1

4 6 焦距等于_________;

若曲线上一点P到左焦点F1的距离为2,则
8 点P到另一个焦点F2的距离等于_________ ,

10 ? 4 6 则?F1PF2的周长为___________
|PF1|+|PF2|=2a

例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)两焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0), 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10。

(2)两焦点的坐标分别是(-2,0)、(2,0), 5 3 且椭圆经过点P ( ,? )。 2 2

(1)两焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭 圆上一点P到两焦点距离之和等于10。
解:因为椭圆的焦点在X轴上,所以可设它的方程
2 2 x y 为: ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b ?2a=10,2c=8 即 a=5,c=4

故 b2=a2-c2=52-42=9

x2 y2 ?1 所以椭圆的标准方程为: ? 25 9

(2)两焦点的坐标分别是(-2,0)、(2,0),且

椭圆经过点P

5 3 ( ,? ) 2 2



解:因为椭圆的焦点在X轴上,所以可设它的方程为:

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

?由椭圆的定义可知:
5 3 5 3 2a ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? 2 10 2 2 2 2

所以a ? 10

2=a2-c2=10-22=6 故 b 又因 c=2,

所以椭圆的标准方程为:
x2 y2 ? ?1 10 6

课堂练习
4.动点P到两个定点F1(- 4,0)、F2(4,0)的距离 之和为8,则P点的轨迹为 A、椭圆 B、线段F1F2 C、直线F1F2 ( B) D、不能确定

5.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
x2 答案: (1) ? y 2 ? 1 ①a=4,b=1,焦点在x轴上; 16 2 y ② a ? 4, c ? 15 ,焦点在Y轴上; (2) ? x 2 ? 1 16 ③a+b=10, c?2 5 。 x2 y2 y2 x2 (3) ? ? 1或 ? ?1 36 16 36 16

练习6:

x 2 y2 1.方程 ? ? 1表示焦点在x轴上的椭圆 a 3 则a的范围为( a>3 )。

x 2 y2 2.方程 ? ? 1表示焦点在y轴上的椭圆 b 9 则b的范围为( 0<b<9 )。

例3 : 已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一 个椭圆, 它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为 3m,求这个椭圆的标准方程.
解: 以两焦点F1、F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标系xOy,则这个椭圆的标准 y 方程可设为

x2 y 2 ? 2 ? 1??? a ? b ? 0? 2 a b 根据题意有 2a ? 3?,2c ? 2.4? 即 a ? 1.5?, c ? 1.2?

F1

O

F2

x

? b2 ? a 2 ? c 2 ? 1.52 ? 1.22 ? 0.81 x2 y2 ? ? 1? 因此,这个椭圆的标准方程为 2.25 0.81

小结
定 义
︱MF1 ︱ + ︱ MF2 ︱ =2a

y
图 形
F 1

(2a>2c>0) y
F 2
M

M

o

F2 x

o
F 1

x

方 程 焦 点 a,b,c之间的关系

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b

F(±c,0)

F(0,±c)

c2=a2-b2

注: 共同点:椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上, 中心在坐标原点的椭圆;方程的左边是平方和,右边是1. 2 不同点:焦点在x轴的椭圆 x 项分母较大. 2 y 焦点在y轴的椭圆 项分母较大.

课后作业

? 习题2.1:A组

P 42

第1、2题

? 《导与练》相关练习

探索-嫦娥奔月
2010年10月8日中国“嫦娥”二号卫星成功实现 第 二次近月制动,卫星进入距月球表面近月点高度 约210公里,远月点高度约8600公里,且以月球 的球心为一个焦点的 椭圆形轨道。已知月 球半径约3475公里, 试求“嫦娥”二号卫 星运行的轨迹方程。


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