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高中数学第一章统计案例1.1独立性检验课堂探究新人教B版选修1-2资料


高中数学 第一章 统计案例 1.1 独立性检验课堂探究 新人教 B 版 选修 1-2
探究一 相互独立事件的概率 相互独立事件的概率求解要使用相互独立事件的概率公式, 即若事件 A 与事件 B 相互独 立,则满足 P(AB)=P(A)P(B),涉及两个以上独立事件,则用相互独立事件定义的推广,应 用公式时,一定要优先判断事件之间的关系. 【典型例题 1】 下列是某班英语及数学成绩的分布表,已知该班有 50 名学生,成绩分 1~5 共 5 个档次.如:表中所示英语成绩为第 4 档,数学成绩为第 2 档的学生有 5 人,现 设该班任意一名学生的英语成绩为第 m 档,数学成绩为第 n 档.

(1)求 m=4,n=3 的概率; (2)若 m=2 与 n=4 是相互独立的,求 a,b 的值. 思路分析:能理解表中数据的含义是解题的关键,再根据两事件独立列出等式,进而求 出参数 a,b 的值. 解:(1)由表知英语成绩为第 4 档、数学成绩为第 3 档的学生有 7 人,而总学生数为 50 人, 7 ∴P= . 50 (2)由题意知,a+b=3.① 又 m=2 与 n=4 相互独立, 所以 P(m=2)P(n=4)=P(m=2,n=4), 即 1+b+6+a 3+1+b b · = .② 50 50 50

由①②,解得 a=2,b=1. 探究二 独立性检验的应用 独立性检验实际上是检验两个分类变量是否相关, 相关的程度有多大, 其应用过程是先

1

通过 χ 统计量的计算公式求出 χ 的值,其值越大,说明两个分类变量有关系成立的可能 性越大,具体统计判断如下:若 χ >6.635,则有 99%的把握说 A 与 B 有关;若 χ >3.841, 则有 95%的把握说 A 与 B 有关,这样就可以拒绝统计假设 H0;反之,若 χ ≤3.841,我们就 认为没有充分的证据说事件 A 与 B 有关. 【典型例题 2】 某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:mm)的值落 在[29.94,30.06)的零件为优质品.从两个分厂生产的零件中各抽出了 500 件,量其内径尺 寸,得结果如下表: 甲厂: 分组 频数 分组 频数 乙厂: 分组 频数 分组 频数 [29.86,29.90) 29 [30.02,30.06) 76 [29.90,29.94) 71 [30.06,30.10) 62 [29.94,29.98) 85 [30.10,30.14) 18 [29.98,30.02) 159 [29.86,29.90) 12 [30.02,30.06) 92 [29.90,29.94) 63 [30.06,30.10) 61 [29.94,29.98) 86 [30.10,30.14) 4 [29.98,30.02) 182
2 2 2

2

2

(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (2)由以上统计数据填下面 2×2 列联表,并问是否有 99%的把握认为“两个分厂生产的 零件的质量有差异”. 甲厂 优质品 非优质品 合计 附:χ =
2

乙厂

合计

n(n11n22-n12n21)2 , n1+n2+n+1n+2 P(χ 2≥k0) k0
0.05 3.841 0.01 6.635

思路分析:(1)利用样本的频率来估计零件的优质品率; (2)对题干中甲、乙两厂的数据信息进行归纳整理完成 2×2 列联表,再求出 χ 的值并 结合检验标准进行判断. 360 解: (1)甲厂抽查的产品中有 360 件优质品, 从而甲厂生产的零件的优质品率估计为 500 =72%;
2

2

320 乙厂抽查的产品中有 320 件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 =64%. 500 (2) 甲厂 优质品 非优质品 合计
2

乙厂 320 180 500

合计 680 320 1 000

360 140 500

1 000×(360×180-320×140) 2 χ = =7.353>6.635, 500×500×680×320 所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”. 探究三 易错辨析 易错点:忽略公式 P(AB)=P(A)·P(B)的使用前提而致误 【典型例题 3】 有 10 个零件,其中 3 个次品,现从中任取 2 个,记 A:恰好有 1 个次 品,B:至少有 1 个次品,求 P(AB). 7 错解:由题意,得 P(A)= , 15

P(B)= ,
7 8 56 则 P(AB)=P(A)P(B)= × = . 15 15 225 错因分析:因为 A:恰好有 1 个次品,B:至少有 1 个次品,所以 AB:恰好有 1 个是次 品, 即 P(AB)=P(A)≠P(A)P(B), 从而 A 与 B 不独立, 不能使用 P(AB)=P(A)P(B)计算 P(AB). 正解:因为 A:恰好有 1 个次品,B:至少有 1 个次品,则 AB:恰好有 1 个次品. 7 故 P(AB)=P(A)= . 15

8 15

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