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2016届北京市西城区高三一模理科数学试题及答案


北京市西城区 2016 高三一模试卷

数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

2016.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.
2 1.设集合 A ? x x ? 4 x ? 0 ,集合 B ? n n ? 2k ? 1, k ? Z ,则 A ? B ?

?

?

?

?

(A) ??1,1?

(B) ?1,3?

(C) ??3, ?1?

(D) ??3, ?1,1,3?

2.在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C 的参数方程为 ? 线是 (A)关于 x 轴对称的图形 (C) 关于原点对称的图形

? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 sin ?

( ? 为参数) , 则C 曲

(B)关于 y 轴对称的图形 (D)关于 y ? x 对称的图形

3.如果 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是 (A) y ? x ? f ? x ? (B) y ? xf ? x ? (C) y ? x ? f ? x ?
2

(D) y ? x f ? x ?
2

4.在平面直角坐标系 xOy 中,向量 OA ? ? ?1, 2 ? , OB ? ? 2, m ? ,若 O , A , B 三点构成的 三角形,则 (A) m ? ?4 C) m ? 1 (B) m ? ?4 (D) m ? R

??? ?

??? ?

开始 输入A,S k=1 A=A+k S=S?A k=k+2

5.执行如图所示的程序库按图,若输入的 A 、 S 分别为 0 , 1 则输出的 S ? (A) 4 (B) 16 (C) 27 (D) 36

6.设 x ? ? 0, ? ,则“ a ? ? ??,0? ”是“ log 1 x ? x ? a ”的
2

? ?

1? 2?

k>4 是 输出S 结束



·1·

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

7.设函数 f ? x ? ? Asin ??x ? ? ? ( A , ? , ? 是常数, A ? 0 , ? ? 0 ) ,且函数 f ? x ? 的 部分图像如图所示,则有

y

O π
12

5π 6

x

(A) f ? ?

? 3? ? ? 5? ?? f ? ? 4 ? ? 3 ? 5? ? 3

? ? 7? ? ?? f ? ? ? ? 6 ?

(B) f ? ?

? 3? ? ? 7? ?? f ? ? 4 ? ? 6 ? 5? ? 3 ? ? 3? ? ? f ?? ? ? 4

? ? 5? ? ?? f ? ? ? ? 3 ? ? ? 7? ? ?? f ? ? ? ? 6 ?

(C) f ?

? ? 7? ? ? 3? ? ?? f ? ? ? f ?? ? ? ? 6 ? ? 4 ?

(D) f ?

8.如图, 在棱长为 a ? a ? 0? 的正四面体 ABCD 中, 点 B ,C ,D 分别在棱 AB ,AC ,AD 上,且平面 B1C1D1 ∥平面 BCD , A1 为 △BCD 内一点,记三棱锥 A 1?B 1C1D 1 的体积 为 V ,设 (A)当 x ?

AD1 ? x ,对于函数 V ? F ? x ? ,则 AD

A B1 B A1 C C1 D D1

2 时,函数 f ? x ? 取得最大值 3

?1 ? (B)函数 f ? x ? 在 ? ,1? 上是减函数 ?2 ?
(C)函数 f ? x ? 的图像关于直线 x ?

1 对称 2

(D)存在 x0 ,使得 f ? x0 ? ? VA? BCD (其中 VA? BCD 为四面体 ABCD 的体积)

1 3

·2·

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.在复平面内,复数 z1 与 z2 对应的点关于虚轴对称,且 z1 ? ?1 ? i ,则 10.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 , a3 ? ?3 , a2 a4 ? 5 ,则 an ? 为 Sn ,则 Sn 的最小值为
2

z1 ? z2

.

;记 ?an ? 的前项和

.

2 11.若圆 ? x ? 2 ? ? y ? 1 与双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的渐近线相切,则 a ? 2 a

;双

曲线 C 的渐近线方程是

.

12.一个棱长为 4 的正方体,被一个平面截去一部分后,所得几何体的三视图如图所示,则 该截面的面积是 .

2 正(主)视图

2 侧(左)视图

俯视图
13.在冬奥会志愿者活动中,甲、乙等 5 人报名参加了 A , B , C 三个项目的志愿者工作, 因工作需要,每个项目仅需 1 名志愿者工作,且甲不能参加 A , B 项目,乙不能参加 B ,C 项目,共有 种不同的志愿者分配方案.(用数字作答)

14.一辆赛车在一个周长为 3km 的封闭跑道上行驶,跑道由几段直道和弯道组成,图 1 反映 了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系.

·3·

根据图 1 ,有一些四个说法: ①在这第二圈的 2.6km 到 2.8km 之间,赛车速度逐渐增加; ②在整个跑道中,最长的直线路程不超过 0.6km ; ③大约在这第二圈的 0.4km 到 0.6km 之间,赛车开始了那段最长直线路程的行驶; ④在图 2 的四条曲线(注: s 为初始记录数据位置)中,曲线 B 最能符合赛车的运动轨迹. 其中,所有正确说法的序号是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分) 在 △ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,设 A ? (Ⅰ)若 a ?

?
3

, sin B ? 3sin C .

7 ,求 b 的值;

(Ⅱ)求 tan C 的值.

16. (本小题满分 13 分) 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取 40 名学生的测试成 绩,整理数据并按分数段 ? 40,50? ,?50,60? ,?60,70? ,?70,80? ,?80,90? ,?90,100? 进 行分组, 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替, 则得到体育成绩的折线图 (如 下).

·4·

(Ⅰ)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被成为“体育良好”.已知该校高一年级有 1000 名学生,试估计,高一全年级中“体育良好”的学生人数; (Ⅱ)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在 ?60,70? 和 ?80,90? 的样本学生 中随机抽取 2 人,至少有 1 人体育成绩在 ?60,70? 的概率; (Ⅲ)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为 a , b , c ,且分别在 ?70,80? , ?80,90? ,

?90,100? 三组中,其中 a , b , c ? N ,当数据 a , b , c 的方差 s2 最小时,写出 a , b ,
c 的值.(结论不要求证明)
2 (注: s ?

1? x ?x ? 1 n?

?

? ??x
2

2 ?x

?

2

2 ? ??? ? xn ? x ? ,其中 x 为数据 x1 , x2 , ???, xn 的平均 ? ?

?

?

数)

17. (本小题满分 14 分) 如图,四边形为梯形 ABCD , DAD ∥ BC , ?BAD ? 90 ,四边形 CC1D1D 为矩形,已
?

知 AB ? BC1 , AD ? 4 , AB ? 2 , BC ? 1 . (Ⅰ)求证: BC1 ∥平面 ADD1 ; (Ⅱ)若 DD1 ? 2 ,求平面 AC1D1 与平面 ADD1 所成的锐二面角的余弦值; (Ⅲ)设 P 为线段 C1D 上的一个动点(端点除外) ,判断直线 BC1 与直线 CP 能否垂直?并

·5·

说明理由.

D1 C1

A B C

D

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? xe x ? ae x ?1 ,且 f ' ?1? ? e . (Ⅰ)求 a 的值及 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ? x ? ? kx ? 2 ? k ? 2? 存在两不相等的正实数根 x1 , x2 ,证明:
2

4 x1 ? x2 ? ln . e

19.(本小题满分 14 分)
2 2 已知椭圆 C : mx ? 3my ? 1? m ? 0? 的长轴长为 2 6 , O 为坐标原点

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程和离心率; (Ⅱ)设点 A?3, 0? ,动点 B 在 y 轴上,动点 P 在椭圆 C 上,且 P 在 y 轴的右侧,若

BA ? BP ,求四边形 OPAB 面积的最小值.

20. (本小题满分 13 分) 设数列 ?an ? 和 ?bn ? 的项均为 m ,则将数列和的距离定义为 (Ⅰ)该出数列 1,3,5, 6 和数列 2,3,10, 7 的距离

? a ?b
i ?1 i

m

i

.

·6·

(Ⅱ)设 A 为满足递推关系 an ?1 ?

1 ? an 的所有数列 ?an ? 的集合,?bn ? 和 ?cn ? 为 A 中的两 1 ? an

个元素,且项数均为 m ,若 b1 ? 2 , c1 ? 3 , ?bn ? 和 ?cn ? 的距离小于 2016 ,求 m 得最大 值; (Ⅲ)记 S 是所有 7 项数列 an 1 ≤ n ≤ 7, an ? 0 或 1? 的集合, T ? S ,且 T 由任何两个元 素的距离大于或等于 3 ,证明:中的元素个数小于或等于 16 .

?

·7·

·8·

·9·

·10·

·11·

·12·

·13·

·14·

·15·


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