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2018-2019学年度苏教版高中数学苏教版必修五学案:2.2.3 等差数列的前n项和(一)

数学 2.2.3 学习目标 等差数列的前 n 项和(一) 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程,体验从特殊 到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量 a1,d,n,an,Sn 的关系,能够由其中三个求另外两个. 知识点一 等差数列前 n 项和公式的推导 思考 高斯用 1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50 迅速求出了 等差数列前 100 项的和. 但如果是求 1+2+3+…+n, 不知道共有奇数项还是偶数项怎么办? 梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前 n 项和,其方法如下: Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d]; Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1 =an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d]. 两式相加,得 2Sn=n(a1+an), n?a1+an? 由此可得等差数列{an}的前 n 项和公式 Sn= . 2 根据等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d, 代入上式可得 Sn=na1+____________. 知识点二 等差数列前 n 项和公式的特征 思考 1 等差数列{an}中,若已知 a2=7,能求出前 3 项和 S3 吗? 思考 2 我们对等差数列的通项公式变形:an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),分析出通项公式 数学 n?n-1? 与一次函数的关系.你能类比这个思路分析一下 Sn=na1+ d 吗? 2 梳理 等差数列{an}的前 n 项和 Sn,有下面几种常见变形: a1+an (1)Sn=n· ; 2 d d (2)Sn= n2+(a1- )n; 2 2 Sn d d Sn d (3) = n+(a1- )({ }是公差为 的等差数列). n 2 2 n 2 知识点三 等差数列前 n 项和公式的性质 思考 如果{an}是等差数列,那么 a1+a2+…+a10,a11+a12+…+a20,a21+a22+…+a30 是 等差数列吗? 梳理 Sm,S2m,S3m 分别为等差数列{an}的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则 Sm,S2m- Sm,S3m-S2m 也成等差数列,公差为 m2d. 类型一 等差数列前 n 项和公式的应用 命题角度 1 方程思想 例 1 已知一个等差数列{an}的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1 220,由这些条件能确 定这个等差数列的前 n 项和的公式吗? 数学 反思与感悟 (1)在解决与等差数列前 n 项和有关的问题时,要注意方程思想和整体思想的运 用; (2)构成等差数列前 n 项和公式的元素有 a1,d,n,an,Sn,知其三能求其二. 跟踪训练 1 在等差数列{an}中,已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和 n. 命题角度 2 实际应用 例 2 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为 1 150 元,购买当天先付 150 元,以后每 月的这一天都交付 50 元,并加付欠款利息,月利率为 1%.若交付 150 元后的一个月开始算分 期付款的第一个月, 则分期付款的第 10 个月该交付多少钱?全部贷款付清后, 买这件家电实 际花费多少钱? 反思与感悟 建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和 项数.本题是根据

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