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2018-2019学年度苏教版高中数学苏教版必修五学案:2.2.3 等差数列的前n项和(一)

数学 2.2.3 学习目标 等差数列的前 n 项和(一) 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程,体验从特殊 到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量 a1,d,n,an,Sn 的关系,能够由其中三个求另外两个. 知识点一 等差数列前 n 项和公式的推导 思考 高斯用 1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50 迅速求出了 等差数列前 100 项的和. 但如果是求 1+2+3+…+n, 不知道共有奇数项还是偶数项怎么办? 梳理 “倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前 n 项和,其方法如下: Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d]; Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1 =an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d]. 两式相加,得 2Sn=n(a1+an), n?a1+an? 由此可得等差数列{an}的前 n 项和公式 Sn= . 2 根据等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d, 代入上式可得 Sn=na1+____________. 知识点二 等差数列前 n 项和公式的特征 思考 1 等差数列{an}中,若已知 a2=7,能求出前 3 项和 S3 吗? 思考 2 我们对等差数列的通项公式变形:an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),分析出通项公式 数学 n?n-1? 与一次函数的关系.你能类比这个思路分析一下 Sn=na1+ d 吗? 2 梳理 等差数列{an}的前 n 项和 Sn,有下面几种常见变形: a1+an (1)Sn=n· ; 2 d d (2)Sn= n2+(a1- )n; 2 2 Sn d d Sn d (3) = n+(a1- )({ }是公差为 的等差数列). n 2 2 n 2 知识点三 等差数列前 n 项和公式的性质 思考 如果{an}是等差数列,那么 a1+a2+…+a10,a11+a12+…+a20,a21+a22+…+a30 是 等差数列吗? 梳理 Sm,S2m,S3m 分别为等差数列{an}的前 m 项,前 2m 项,前 3m 项的和,则 Sm,S2m- Sm,S3m-S2m 也成等差数列,公差为 m2d. 类型一 等差数列前 n 项和公式的应用 命题角度 1 方程思想 例 1 已知一个等差数列{an}的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1 220,由这些条件能确 定这个等差数列的前 n 项和的公式吗? 数学 反思与感悟 (1)在解决与等差数列前 n 项和有关的问题时,要注意方程思想和整体思想的运 用; (2)构成等差数列前 n 项和公式的元素有 a1,d,n,an,Sn,知其三能求其二. 跟踪训练 1 在等差数列{an}中,已知 d=2,an=11,Sn=35,求 a1 和 n. 命题角度 2 实际应用 例 2 某人用分期付款的方式购买一件家电,价格为 1 150 元,购买当天先付 150 元,以后每 月的这一天都交付 50 元,并加付欠款利息,月利率为 1%.若交付 150 元后的一个月开始算分 期付款的第一个月, 则分期付款的第 10 个月该交付多少钱?全部贷款付清后, 买这件家电实 际花费多少钱? 反思与感悟 建立等差数列的模型时,要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和 项数.本题是根据首项和公差选择前 n 项和公式进行求解. 跟踪训练 2 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动,甲第 1 分钟走 2 m,以后 每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙每分钟走 5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇? (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m,乙继续每分钟 走 5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇? 数学 类型二 等差数列前 n 项和的性质的应用 例3 (1)等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,求数列{an}的前 3m 项的和 S3m; Sn 7n+2 a5 (2)两个等差数列{an},{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,已知 = ,求 的值. Tn n+3 b5 反思与感悟 等差数列前 n 项和 Sn 的有关性质在解题过程中, 如果运用得当可以达到化繁为 简、化难为易、事半功倍的效果. 跟踪训练 3 设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列 ?Sn? ? ?的前 n 项和,求 Tn. ?n? 1.在等差数列{an}中,若 S10=120,则 a1+a10 的值是________. 2.记等差数列的前 n 项和为 Sn,若 S2=4,S4=20,则该数列的公差 d=________. 3.在一个等差数列中,已知 a10=10,则 S19=________. 4.已知等差数列{an}中, 3 1 (1)a1= ,d=- ,Sn=-15,求 n 及 an; 2 2 (2)a1=1,an=-512,Sn=-1 022,求 d. 数学 1.求等差数列前 n 项和公式的方法称为倒序相加法,在某些数列求和中也可能用到. 2.等差数列的两个求和公式中,一共涉及 a1,an,Sn,n,d 五个量,若已知其中三个量,通 过方程思想可求另外两个量.在利用求和公式时,要注意整体思想的应用,注意下面结论的 运用: 若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(n,m,p,q∈N*);若 m+n=2p,则 am+an=2ap. 3.本节基本思想:方程思想,函数思想,整体思想,分类讨论思想. 数学 答案精析 问题导学 知识点一 思考 不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对. 但我们可以采用倒序相加来

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