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16.2矩形、菱形与正方形的性质 矩形 课件


A

D

O
B C

我是平行四边形, 我的角,边,对角线 都有哪些特性呢?

概念:有两组对边分别平行的四边行是平行四边行.

两组对边分别平行;即:AD∥BC; AB∥ CD
两组对边相等; 即:AB=CD; AD=BC

对角相等;即:∠DAB=∠ BCD ; ∠ABC=∠CDA
对角线互相平分;即 AO=CO; BO=DO
回答正确,真棒!

观察下面图案,有没有你熟悉的几何图形?

A

D

B

C

其实我还是平行四 边形啊!只是我比较 特殊而已,大家发现 了我的特殊之处吗? 请同学们举手回答!
A A A A D D

D D

A

D α BB B C CC

B

C

矩形: 有一个角是直角的特殊平行四边形。

木门

纸张

电脑显示器

实质上: 矩形是特殊的平行四边形。 特殊

四边形、平行四边形、矩形
矩形 平行四边形 四边形

想一想:
矩形是轴对称图形吗?是中心对称图形吗?

对称轴?对称轴有几条?

矩形有何特征?

矩形特征1: 矩形的四个角都是直角
∵矩形ABCD, ∴ ∠BAD=∠CDA = ∠BCD=∠ABC =Rt∠

A

D

O
C

B

矩形特征2:矩形的对角线相等且互相平分.
∵AC,BD是矩形ABCD的对角线 ∴ AC=BD,OA=OC,OB=OD

矩形特征

A
O

D

B

C

对边:平行 (共性) 相等 (共性) (1)边: 邻边:互相垂直 (个性)

?

?

(2)角: 四个角都是直角 (个性)
互相平分 (共性) (3)对角线: 相 等 (个性)

?

平行四边形ABCD再加上什么条件就可以变为矩形了呢 ?
矩形的识别? 有一个角是直角的平行四边形 是矩形;
∵ ∠A=Rt∠, 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形
A A A A D D D D

α BB B A C CC D

对角线相等 的平行四边形
是矩形;
∵ AC=BD 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形

O
B
C

四边形ABCD加上什么条件,可以成为矩形: 有三个角都是直角 的四边形是矩形;
∵ ∠A= ∠B=∠C= Rt∠, ∴四边形ABCD是矩形 B A D

C

对角线互相平分且相等 的 四边形是矩形.
∵ AC=BD,OA=OC,OB=OD ∴四边形ABCD是矩形

A

D

O
B C

矩形的识别:
矩形识别依据1 定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 矩形识别依据2 对角线相等的平行四边形是矩形。

矩形识别依据3 有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形识别依据4
对角线互相平分且相等的四边形是矩形.

有一个角是直角 平行四边形 对角线相等 矩形

对角线

有三个角 互相平分 是直角 且相等

四边形

例1 已经:矩形ABCD的两条对角线相交于点0, ∠AOD=120°, AB = 4cm, 求矩形对角线的长. A D 解:∵四边形ABCD是矩形 ∴AC = BD( 矩形的对角线相等 ∴ OA= OC = OB= OD = AC BD( 平行四边形的对角线互相平分 )

O
) B C

∴ OA= OB ∵∠AOD=120° ∴∠AOB=180°-∠AOD = 60° ∴ △AOB 是等边三角形∴OA=OB=AB=4cm ∴AC = 2OA=8cm.

例2 如图,矩形ABCD被两条对角
线分成四个小三角形,如果四个小 三角形的周长的和是86cm,对角线长 是13cm,那么矩形的周长是多少? 解: ∵ △AOB、 △BOC、 △COD

A

D



B

C

和△AOD四个三角形的周长和为86cm,

又∵ AC=BD=13cm,



AB+BC+CD+DA=86-2(AC+BD) =86-4×13=34(cm)

即矩形ABCD的周长等于34cm。

例3 在△ABC中,已知∠ACB=90°,
CD为AB边上的中线,延长CD到点E, 使得DE=CD.连结AE,BE,请说明 四边形ACBE为矩形. 解 ∵ CD是AB边上的中线, ∴ AD=DB. 又∵ DE=CD, ∴四边形ACBE是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行四边形.)

∵ ∠ACB=90°, ∴四边形ACBE为矩形
(有一个角是直角的平行四边形是矩形。)

例4 如图, ABCD的四个内角平分线相交于 点E,F,G,H.试说明:EG=FH.
解 ABCD中,AD∥BC,
∴ ∠DAB+∠ABC=180°. 又∵ AG、BG分别平分∠DAB、∠ABC, ∴ ∠GAB+∠ABG=90°. ∵ ∠GAB+∠ABG+∠AGB=180°, ∴ ∠AGB=90°. 同理∠FEH=90°,∠BFC=90°. ∴ ∠EFG=90°.
∴四边形EFGH为矩形.(有三个角是直角的四边形是矩形。)

∴ EG=FH.

交流反思:四边形、平行四边形、矩形的关系
矩形 平行四边形 四边形

想一想:
矩形是轴对称图形吗?是中心对称图形吗?

对称轴?对称轴有几条?

矩形的特征?
A D

矩形特征1:矩形的四个角都是直角
∵矩形ABCD, ∴ ∠BAD=∠CDA = ∠BCD=∠ABC =Rt∠
B

O
C

矩形特征2:矩形的对角线相等且互相平分.
∵AC,BD是矩形ABCD的对角线 ∴ AC=BD,OA=OC,OB=OD

平行四边形ABCD再加上什么条件就可以变为矩形了呢 ?
矩形的识别? 有一个角是直角的平行四边形 是矩形;
∵ ∠A=Rt∠, 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形
A A A A D D D D

α BB B A C CC D

对角线相等 的平行四边形
是矩形;
∵ AC=BD 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是矩形

O
B
C

四边形ABCD加上什么条件,可以成为矩形: 有三个角都是直角 的四边形是矩形;
∵ ∠A= ∠B=∠C= Rt∠, ∴四边形ABCD是矩形 B A D

C

对角线互相平分且相等 的 四边形是矩形.
∵ AC=BD,OA=OC,OB=OD ∴四边形ABCD是矩形

A

D

O
B C

矩形的判定:
矩形判定依据1 定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 矩形判定依据2 对角线相等的平行四边形是矩形。

矩形判定依据3 有三个角是直角的四边形是矩形。 矩形判定依据4
对角线互相平分且相等的四边形是矩形.

有一个角是直角 平行四边形 对角线相等 矩形

对角线

有三个角 互相平分 是直角 且相等

四边形

矩形的识别口诀:
任意一个四边形, 三角直角定矩形。 对角线则要平分且相等。 对于平行四边形, 一个直角即可定; 对角线相等也可以。

1.下列各句判定矩形的说法是否正确?

(1)对角线相等的四边形是矩形;

X

(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;

(3)有一个角是直角的四边形是矩形;X (4)有四个角是直角的四边形是矩形;

(5)四个角都相等的四边形是矩形; (6)矩形的对角相等且互补;

(7)对角线相等且互相垂直的四边形是矩形; X

(8)一组邻边垂直,一组对边平行且相等四边形是矩形;

2.已知:

ABCD中,∠A和∠C互补,
ABCD是矩形吗?为什么?
A D

解:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴ ∠A=∠C ,∠B=∠D

∵ ∠A+∠C= 180° ∴ ∠A=∠C= 90° ∴ ∠A=∠B =∠C= 90°

B

C

∵ ∠A+∠C+ ∠B+∠D = 360°
∴四边形EFGH为矩形. (有三个角是直角的四边形是矩形。)

3.如图,矩形ABCD的两条对角线交于点O,且 ∠AOD=120°,你能说明AC=2AB吗?
解:∵四边形ABCD是矩形 ∴AC = BD( 矩形的对角线相等 ∴ OA= OC = OB= OD = AC BD( 平行四边形的对角线互相平分 ) )

∴ OA= OB ∵∠AOD=120° ∴∠AOB=180°-∠AOD = 60° ∴ △AOB 是等边三角形∴OA=OB=AB ∴AC = 2OA=2AB.

4.矩形ABCD的周长为56cm,对角线AC、BD交于O, △BOC和△AOB的周长差是4cm,那么矩形各边的 长是多少?
解 ∵AB + BC + CD + DA = 56, (BC + BO + CO)-(AB + AO + BO)= 4,

又∵四边形ABCD是矩形, ∴AB = CD,AD = BC(平行四边形的 对边平行 ). AO = CO,BO = DO(平行四边形的 对角线互相平分 ).

∴ AB + BC =28,BC-AB = 4, ∴ AD = BC =16,AB = CD =12.


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