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第2讲 转化与化归思想、分类讨论思想_图文

第 2讲

转化与化归思想、分类讨论思想

一、转化与化归思想

二、分类讨论思想

一、转化与化归思想
[思想概述]
转化化归思想的基本内涵是:人们在解决数学问题时, 常常将待解决的数学问题A,通过某种转化手段,归结为另 一问题B,而问题B是相对较容易解决的或已经有固定解决 模式的问题,且通过问题B的解决可以得到原问题A的

解.用框图可直观地表示为:

一、转化与化归思想

二、分类讨论思想

转化有等价转化和非等价转化,等价转化前后是充要条件, 所以尽可能使转化具有等价性,等价转化策略就是把未知解 的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思 想方法.通过不断地转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题 转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.在不得已的情 况下,进行不等价转化,应附加限制条件,以保持等价性, 或对所得结论进行必要的验证.

预测2014年高考对转化与化归思想的考查的基本类型和重点
为:(1)常量与变量的转化:如分离变量,求范围等;(2)数与 形的互相转化:如解析几何中的斜率、函数中的单调性等; (3)数学各分支的转化:函数与立体几何、向量与解析几何等 的转化.
一、转化与化归思想 二、分类讨论思想

[类型讲解]

类型一

具体与抽象、特殊与一般的转化

【例1】 已知f(θ)=sin2θ+sin2(θ+α)+sin2(θ+β),问是否存

在常数α,β,满足0≤α<β≤π,使得f(θ)为与θ无关的定
值.
解 由于 f(0)= sin2α + sin2β . ? ?π ? ? f? ?= 1+ cos2α + cos2β , ?2? f(- α)= sin2α + sin2(α- β), f(- β)= sin2β + sin2(α- β).
2 ? ?sin α 所以有? 2 ? ?sin α

+ sin2β = 1+ cos2α + cos2β , + sin2( α- β)= sin2β + sin2( α- β),
一、转化与化归思想 二、分类讨论思想

? ?cos 2α + cos 2β =- 1, 化简整理得? 2 2 ? ?sin α = sin β ,

π 2 又因为 0≤α< β≤π ,所以得 α= ,β = π . 3 3 ? ? π? 2π ? ? ? 2 2? 2? 下面证明 f(θ)=sin θ +sin ?θ + ?+sin ?θ + ? 的值与 θ 无关. ? 3? ? 3 ? ? ? ? 1? 2π ? 4π ? ? ? ? ? ?? f(θ)= ?1- cos 2θ + 1-cos?2θ + ? + 1- cos?2θ + ? 2? ? 3 ? ? 3 ? ?? 1? π? ? = ?3- cos 2θ - 2cos(2θ+π ) cos ? 2? 3? ? 1 3 = [3- cos 2θ + cos 2θ ]= . 2 2 所以 f(θ)为与 θ 无关的定值. π 2π 即存在常数 α= ,β = ,使得 f(θ)为与 θ 无关的定值. 3 3
一、转化与化归思想 二、分类讨论思想

[规律方法] (1)由于题目中的参数和变量较多,所以直接 求解难以入手,因此对参数θ取特殊值,进行推理求解.

(2)当问题难以入手时,可以先对特殊情况或简单情形进
行观察、分析,发现问题中特殊的数量或关系结构或部 分元素,然后推广到一般情形,并加以证明.

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二、分类讨论思想

类型二

换元及常量与变量的转化

【例 2】 已知 f(x)为定义在实数集 R 上的奇函数,且 f(x)在 π [0,+∞ )上是增函数.当 0≤θ≤ 时,是否存在这样的 2 实数 m,使 f(cos 2θ -3)+f(4m- 2mcos θ )>f(0)对所有 ? π? ? 的 θ∈?0, ? 求出所有适合条件的实数 ? 均成立?若存在, ? 2? m;若不存在,请说明理由.



假设存在适合条件的m,

由f(x)是R上的奇函数可得f(0)=0.
又在[0,+∞)上是增函数, 故f(x)在R上为增函数.
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由题设条件可得f(cos 2θ-3)+f(4m-2mcos θ)>0.

又由f(x)为奇函数,可得
f(cos 2θ-3)>f(2mcos θ-4m), ∴cos 2θ-3>2mcos θ-4m,

即cos2θ-mcos θ+2m-2>0. π 令 cos θ = t,∵0≤θ ≤ , 2 ∴ 0≤ t≤ 1. 于是问题转化为对一切 0≤t≤ 1, 不等式 t2- mt+ 2m- 2> 0 恒成立.
2 t -2 2 ∴ t - 2> m(t- 2),即 m> 恒成立. t- 2

一、转化与化归思想

二、分类讨论思想

t2-2 2 又∵ =(t-2)+ +4≤4-2 2, t- 2 t- 2 且 t=2- 2时等号成立.∴m>4-2 2. ∴存在实数 m 满足题设的条件,m>4-2 2.
[规律方法] (1)本题正确求解的关键有三点:①去对应法 则“f”,②将“cos θ”用“t”代换,将较复杂的三角函数不

等式化为二次不等式,③分离参数,转化为求最值.
(2)在求解过程中,①切记注意t∈[0,1],②分离参数注 意不等式的性质,不要弄错不等号的方向.对于形式较 复杂的式子,我们常通过更换某个(或某部分)变量的方法 转化为相对简单易解的问题.
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类型三

命题的等价转化与化归

【例 3】 (2011· 盐城模拟)如图所示, 在正 三棱柱 A1B1C1-ABC 中,点 D 是 BC 的中点,BC= 2BB1,设 B1D∩BC1 =F,求证: (1)A1C∥平面AB1D;

(2)BC1⊥平面AB1D. 证明 (1)连接A1B,设A1B与AB1交于E,连接DE.

∵点D是BC中点,点E是A1B中点, ∴DE∥A1C, ∵A1C?平面AB1D, DE?平面AB1D, ∴A1C∥平面AB1D.
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(2)∵△ ABC 是正三角形,点 D 是 BC 的中点, ∴ AD⊥ BC. ∵平面 ABC⊥平面 B1BCC1, 平面 ABC∩平面 B1BCC1= BC, AD?平面 ABC, ∴ AD⊥平面 B1BCC1, ∵ BC1?平面 B1BCC1,∴ AD⊥ BC1. 2 ∵点 D 是 BC 的中点,BC= 2BB1,∴ BD= BB1. 2 BD CC1 2 ∵ = = ,∴ Rt△ B1BD∽ Rt△ BCC1. BB1 BC 2 ∴∠ BDB1∠= BC1C. ∴∠ FBD+∠ BDF=∠ C1BC+∠ BC1C= 90°, ∴ BC1⊥ B1D.∵ B1D∩ AD= D,∴ BC1⊥平面 AB1D.

一、转化与化归思想

二、分类讨论思想

[规律方法] (1)根据问题的特点转化命题,使原问题转化

为与之相关,易于解决的新问题,是我们解决数学问题
的常用思路. (2)本题把立体几何问题转化为平面几何问题,三维降为 二维,难度降低,易于解答.

一、转化与化归思想

二、分类讨论思想

二、分类讨论思想
[思想概述]
分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分 割)成若干个基础性问题,通过对基础性问题的解答来实现 解决原问题的思想策略.对问题实行分类与整合,分类标准 等于增加一个已知条件,实现了有效增设,将大问题(或综

合性问题)分解为小问题(或基础性问题),优化解题思路,降
低问题难度. 分类讨论的常见类型:

一、转化与化归思想

二、分类讨论思想

(1)由数学概念引起的分类讨论:有的概念本身就是分类的, 如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等. (2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论:有的定理、 公式、性质是分类给出的,在不同的条件下结论不一致,如等 比数列的前n项和公式、函数的单调性等. (3)由数学运算和字母参数变化引起分类;如偶次方根非负, 对数的底数与真数的限制,方程(不等式)的运算与根的大小比 较,含参数的取值不同会导致所得结果不同等. (4)由图形的不确定性引起的分类:有的图形的形状、位置关 系需讨论,如二次函数图象的开口方向,点、线、面的位置关 系,曲线系方程中的参数与曲线类型等. 分类讨论思想,在近年高考试题中频繁出现,涉及各种题型, 已成为高考的热点.考查的重点是含参数函数性质、不等式 (方程)问题,与等比数列的前n项和有关的计算推理,点、 线、面的位置以及直线与圆锥曲线的位置关系不定问题等.
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[类型讲解]

类型一

数学概念与运算引起的分类讨论
2 ? ?sin(π x ),- 1< x< 0, f(x)=? x-1 若 ? ,x≥0. ?e

【例 1】 函数

f(1)+f(a)

=2,则 a 的所有可能值为________. 解析 (1)f(1)=e0=1,即 f(1)=1. 由 f(1)+f(a)=2,得 f(a)=1. 当 a≥0 时,f(a)=1=ea-1,∴a=1. 当-1<a<0 时,f(a)=sin(πa2)= 1, π 2 ∴πa =2kπ+ (k∈Z). 2 1 1 ∴a2=2k+ (k∈Z), k 只取 0,此时 a2= , 2 2 2 ∵-1<a< 0,∴ a=- . 2
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答案

2 1,- 2

[规律方法] (1)分段函数在自变量不同取值范围内,对应 关系不同,必需进行讨论.由数学定义引发的分类讨论 一般由概念内涵所决定,解决这类问题要求熟练掌握并 理解概念的内涵与外延.

(2)在数学运算中,有时需对不同的情况作出解释,就需
要进行讨论,如解二次不等式涉及到两根的大小等.

一、转化与化归思想

二、分类讨论思想

类型二

由图形或图象位置不同引起的分类讨论

x2 y2 【例 2】 设 F1,F2 为椭圆 + =1 的两个焦点,P 为椭圆 9 4 上一点.已知 P,F1,F2 是一个直角三角形的三个顶点, |PF1| 且|PF1|>|PF2|,求 的值. |PF2|
解 若∠PF2F1= 90° . 则 |PF1|2= |PF2|2+|F1F2|2, 又∵ |PF1|+ |PF2|= 6, |F1F2|=2 5, 14 4 解得 |PF1|= ,|PF2|= , 3 3 |PF1| 7 ∴ = . |PF2| 2
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若∠F1PF2=90°,则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2, ∴|PF1|2+(6-|PF1|)2=20, ∴|PF1|=4,|PF2|=2, |PF1| ∴ =2. |PF2| |PF1| 7 综上知, = 或 2. |PF2| 2

[规律方法] (1)本题中直角顶点的位置不定,影响边长关 系,需按直角顶点不同的位置进行讨论. (2)涉及几何问题时,由于几何元素的形状、位置变化的 不确定性,需要根据图形的特征进行分类讨论.

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二、分类讨论思想

类型三

由定理、性质、公式等引起的分类讨论

【例3】 已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=(4-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前n项 和Sn.
解 (1)设数列{an}的公差为 d,由已知,得
? ? ?3a1+3d=6, ?a1=3, ? 解得? ? ? ?8a1+28d=-4, ?d=-1.

故 an=3-(n-1)=4-n.

一、转化与化归思想

二、分类讨论思想

(2)由 (1)可得 bn= n· qn 1,于是 Sn= 1· q0+ 2· q1+ 3· q2+…+ n· qn -1 . 若 q≠ 1,将上式两边同乘 q,得 - qSn= 1· q1+ 2· q2+…+(n- 1)· qn 1+ n· qn . - 两式相减,得 (q- 1)Sn= nqn- 1- q1- q2-…- qn 1


n n+ 1 n q - 1 nq -( n + 1 ) q +1 n = nq - = . q- 1 q- 1

nqn+ 1-( n+ 1) qn+ 1 于是, Sn= . 2 ( q- 1) n( n+ 1) 若 q= 1,则 Sn= 1+ 2+ 3+…+ n= . 2 ? ?n( n+ 1) ( q= 1), 2 ? 所以, Sn=? n+ 1 n nq -( n + 1 ) q +1 ? ( q≠ 1) . 2 ? ( q- 1) ?
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[规律方法] (1)利用等比数列的前n项和公式时,需要分公
比q=1和q≠1两种情况进行讨论,这是由等比数列的前n 项和公式决定的.一般地,在应用带有限制条件的公式

时要小心,根据题目条件确定是否进行分类讨论.
(2)由性质、定理、公式等引起的讨论,主要是应用的范 围受限时,存在多种可能性.

一、转化与化归思想

二、分类讨论思想

类型四

由字母参数引起的分类讨论

【例4】 已知函数f(x)=x3+x2-ax(a∈R).

(1)当a=0时,求与直线x-y-10=0平行,且与曲线y=
f(x)相切的直线方程;
f(x) (2)求函数 g(x)= -aln x(x>1)的单调递增区间. x 2 2 解 (1)设切点为 T(x0,x3 + x ) , f ′ ( x ) = 3 x +2x. 0 0 1 2 由题意得 3x0+2x0=1,解得 x0=-1 或 . 3 ∴切线的方程为 x-y+1=0 或 27x-27y-5=0. a 2 (2)g(x)=x +x-a-aln x(x>1),由 g′(x)=2x+1- >0 得 x 2x2+x-a>0.令 φ(x)=2x2+x-a(x>1),
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由于φ(x)在(1,+∞)上是增函数.∴φ(x)>φ(1)=3-a.
①当a≤3时,φ(x)>0,则g′(x)>0. ∴g(x)的单调增区间为(1,+∞), ②当a>3时,φ(1)<0.∴φ(x)的一个零点小于1,另一个零点 大于1.由φ(x)=0.
- 1- 1+ 8a - 1+ 1+ 8a 得 x1= < 1, x2= > 1. 4 4 ?- 1+ ? 1+ 8a ? ? ∴φ (x)> 0(x> 1)的解集为? ,+∞?. ? 4 ? ?- 1+ ? 1+ 8a ? ? ∴ g(x)的单调增区间为? ,+∞ ?. ? 4 ? 综合①②得, 当 a≤ 3 时, 函数 g(x)的单调递增区间为 (1, +∞ ); - 1+ 1+ 8a 当 a> 3 时, 函数 g(x)的单调递增区间为 ( , +∞ ). 4
一、转化与化归思想 二、分类讨论思想

[规律方法] 利用分类讨论策略解题的关键是分类标准的
确定,分类讨论时要注意根据具体的问题情境确立分类 的标准,做到不重不漏,分类解决问题后要根据问题的 要求进行合理的整合.如本题利用二次函数的性质,求 出g′(x)的下界值,从而找到分类标准,突破解题瓶颈,

优化了解题过程.

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二、分类讨论思想