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福建省宁德市2018届高三上学期期末(1月)质量检测数学(理)试题 Word版含答案

宁德市 2017—2018 学年度第一学期期末高三质量检测 理科数学 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 3}, B ? {x | 2x ? 1},则 A ? B ( A. [0,3] B. (0,3] C. [?1, ??) )

D. [?1,1) )

2.已知复数 z1 对应复平面上的点 (?1,1) ,复数 z2 满足 z1 z2 ? ?2 ,则 z2 ? 2i ? ( A. 2 3.若 tan( A. B. 2 C. 10 ) C. ? D. 10

?

3 5

1 ? ? ) ? ? ,则 cos 2? ? ( 4 3 3 B. ? 5

4 5

D.

4 5


4.执行如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的 a 值为(

A. 10

B. lg 99

C. 2

D. lg101

?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 5.设 x , y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,若目标函数 z ? x ? 2 y 的最小值大于 ?5 ,则 m 的 ?y ? m ? 0 ?
取值范围为( A. ? ?1, ) B. ? ?3,

? ?

11 ? ? 3?

? ?

11 ? ? 3?

C. (?3, 2)

D. (??, 2)

6.福建省第十六届运动会将于 2018 年在宁德召开.组委会预备在会议期间将 A ,B ,C ,D ,

E , F 这六名工作人员分配到两个不同的地点参考接待工作.若要求 A , B 必须在同一组,
且每组至少 2 人,则不同的分配方法有( A. 15 种 B. 18 种 ) C. 20 种 ) D. 22 种

7.一个几何体的三视图如图所示,则它的表面积为(

3? 2 5? C. 2 ? 7 ? 2
A. 4 ? 7 ? 8.已知 a ? log0.6 2 , b ? log2 0.6 , c ? 0.6 ,则(
2

5? 2 3? D. 1 ? 7 ? 2
B. 4 ? 7 ? ) C. c ? b ? a D. c ? a ? b

A. a ? b ? c
2

B. b ? c ? a

9.设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 过 F 点且倾斜角为

? 的直线 l 与抛物线相交于 A , 4
) D. y ? 16 x
2

B 两点,若以 AB 为直径的圆过点 ( ?
A. y ? 2 x
2 2

p , 2) ,则该抛物线的方程为( 2
C. y ? 8x
2

B. y ? 4 x

10.我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题: “今有三女,长女五日一归,中女四日一 归,少女三日一归.问:三女何日相会?”意思是: “一家出嫁的三个女儿中,大女儿每五天 回一次娘家,二女儿每四天回一次娘家,小女儿每三天回一次娘家.三个女儿从娘家同一天走 后,至少再隔多少天三人再次相会?”若当地风俗正月初二都要回娘家,且回娘家当天均返 回夫家,则从正月初三算起的一百天内,有女儿回娘家的天数有( A. 58 B. 59 C. 60 ) D. 61

11.函数 f ( x) ? a sin ? x ? b cos ?x (a, b ? R, ? ? 0) ,满足 f (? 意 x ? R ,都有 f ( x) ? f (? A. f ( x)max ? a

?
6

2? ? x) ? ? f (? x) ,且对任 3

) ,则以下结论正确的是(
B. f (? x) ? f ( x)

) D. ? ? 3

C. a ? 3b

12.设函数 f ( x) ? ae x?1 ?1 ? e x ln( x ? 1) 存在零点 x0 , 且 x0 ? 1 , 则实数 a 的取值范围是 ( A. (??,1 ? e ln 2) D. (1 ? e ln 2, ??) 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分. 13.已知向量 a , b 的夹角为 60 , a ? 2 , a ? 2b ? 2 7 ,则 b ? . B. (?e ln 2, ??) C. (??, ?e ln 2)



14.若双曲线 C 的右焦点 F 关于其中一条渐近线的对称点 P 落在另一条渐近线上,则双曲线

C 的离心率 e ?



15.若正三棱台 ABC ? A ' B ' C ' 的上、下底面边长分别为 3 和 2 3 ,高为 1 ,则该正三棱台 的外接球的表面积为 .

2 16.设函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ,若 a ? b ? 1 , f (a) ? f (b) ,则对任意的实数 c ,

(a ? c)2 ? (b ? c)2 的最小值为



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 an ? 0 , an ? 2 Sn ? 1 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ?

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 3n

18.如图,矩形 ABCD 中, AB ? 6 , AD ? 2 3 ,点 F 是 AC 上的动点.现将矩形 ABCD 沿 着对角线 AC 折成二面角 D '? AC ? B ,使得 D ' B ? 30 .

(1)求证:当 AF ? 3 时, D ' F ? BC ; (2)试求 CF 的长,使得二面角 A ? D ' F ? B 的大小为

? . 4

19.如图, 岛 A 、C 相距 10 7 海里.上午 9 点整有一客轮在岛 C 的北偏西 40 且距岛 C 10 海

里的 D 处, 沿直线方向匀速开往岛 A , 在岛 A 停留 10 分钟后前往 B 市.上午 9:30 测得客轮位 于岛 C 的北偏西 70 且距岛 C 10 3 海里的 E 处,此时小张从岛 C 乘坐速度为 V 海里/小时 的小艇沿直线方向前往 A 岛换乘客轮去 B 市.

(1)若 V ? (0,30] ,问小张能否乘上这班客轮? (2)现测得 cos ?BAC ? ?

4 5 ,sin ?ACB ? .已知速度为 V 海里/小时 (V ? (0,30]) 的小 5 5

艇每小时的总费用为 ( V ? V ? 50) 元,若小张由岛 C 直接乘小艇去 B 市,则至少需要多少
2

1 2

费用? 20.已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 .过 P (0, b) 且斜率 2 a b 2

为 k 的直线 l 与椭圆 C 相交于点 M , N .当 k ? 0 时,四边形 MNF1F2 恰在以 MF1 为直径,面 积为

25 ? 的圆上. 16 3 MN ,求直线 l 的方程. 7
2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若 PM ? PN ?

21.已知函数 f ( x) ? ax ? ln x(a ? R) 有最大值 ?

1 2 , g ( x) ? x ? 2x ? f ( x) ,且 g '( x) 是 2

g ( x) 的导数.
(1)求 a 的值; (2)证明:当 x1 ? x2 , g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 3 ? 0 时, g '( x1 ? x2 ) ?

1 . 2

请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时请写清题 号. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的 极坐标方程为 ? ? 4sin ? , M 为曲线 C1 上异于极点的动点,点 P 在射线 OM 上,且 OP ,

2 5 , OM 成等比数列.
(1)求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)已知 A(0,3) , B 是曲线 C2 上的一点且横坐标为 2 ,直线 AB 与 C1 交于 D , E 两点, 试求 AD ? AE 的值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? x2 ? a(a ? R) , g ( x) ? x ?1 ? x ? 2 . (1)若 a ? ?4 ,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集; (2)若 x ? [0,3] 时, f ( x) ? g ( x) 的解集为空集,求 a 的取值范围.

2018 年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学(理科)试题参考答案及评分标准 一、选择题 1-5:BCBDC 二、填空题 13. 2 三、解答题 17.解法一: (1) 14. 2 15. 20 ? 16. 8 6-10:DACBC 11、12:AD

an ? 2 Sn ? 1 , ?4Sn ? (an ? 1)2 .

当 n ? 1 时, 4S1 ? (a1 ? 1)2 ,得 a1 ? 1 . 当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? (an?1 ? 1)2 ,
?4( Sn ? Sn?1 ) ? (an ? 1)2 ? (an?1 ? 1)2 , ?4an ? an 2 ? 2an ? an?12 ? 2an?1 ,即 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? 2(an ? an ?1 ) ,
an ? 0, ? an ? an ?1 ? 2 .

? 数列 {an } 是等差数列,且首项为 a1 ? 1 ,公差为 2,
? an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 .

(2)由(1)可知, bn ? (2n ? 1) ?

1 , 3n

1 1 1 1 ?Tn ? 1 ? ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? ??? ? (2n ? 1) ? n ,——① 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? ??? ? (2n ? 3) ? n ? (2n ? 1) ? n?1 ,——② 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 ①–②得 Tn ? ? 2( 2 ? 3 ? ??? ? n ) ? (2n ? 1) ? n?1 3 3 3 3 3 3
1 1 ? n ?1 2 1 1 3 3 ? ? 2? ? (2n ? 1) ? n ?1 , 1 3 3 1? 3
化简得 Tn ? 1 ?

n ?1 . 3n

解法二: (1)同解法一. (2)由(1)可知, bn ? (2n ? 1) ? 设 bn ? (2n ? 1) ?

1 , 3n

1 1 1 1 ? ( An ? B) ? n ? [ A(n ? 1) ? B] ? n?1 ? (?2 An ? 3 A ? 2B) ? n , n 3 3 3 3

??2 A ? 2, ? A ? ?1, 解得 ? ?? ?3 A ? 2 B ? ?1, ? B ? ?1.

?bn ? (2n ? 1) ?

1 1 1 1 1 ? (?n ? 1) ? n ? (?n) ? n?1 ? n ? n?1 ? (n ? 1) ? n , n 3 3 3 3 3

?Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn

? (1? ?1?

1 1 1 1 ? 2 ? 1 ) ? (2 ? 1 ? 3 ? 2 ) ? 0 3 3 3 3

? [n ?

1 1 ? (n ? 1) ? n ] 3 3
n ?1

n ?1 . 3n

18.解: (1)连结 DF , BF . 在矩形 ABCD 中, AD ? 2 3, CD ? 6 ,
? AC ? 4 3, ?CAB ? 300 , ?DAC ? 600 .

在 ?ADF 中,∵ AF ? 3 ,
? DF 2 ? DA2 ? AF 2 ? 2DA ? AF ? cos ?DAC ? 9 ,

∵ DF 2 ? AF 2 ? 9 ? 3 ? DA2 ,
? DF ? AC ,即 D?F ? AC .

又在 ?ABF 中,
BF 2 ? AB2 ? AF 2 ? 2 AB ? AF ? cos ?CAB ? 21 ,

∴在 ?D?FB 中, D?F 2 ? FB2 ? 32 ? ( 21)2 ? D?B2 ,

? , ?BF ? DF

AC FB ? F ,

∴ D?F ? 平面 ABC . ∴ D?F ? BC . D C

F A B

(2)解:在矩形 ABCD 中,过 D 作 DE ? AC 于 O ,并延长交 AB 于 E . 沿着对角线 AC 翻折 后, 由(1)可知, OE , OC , OD? 两两垂直,

以 O 为原点, OE 的方向为 x 轴的正方向建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则
O(0,0,0), E (1,0,0), D?(0,0,3), B(3,2 3,0) ,
EO ? 平面 AD?F ,

?OE ? (1,0,0) 为平面 AD?F 的一个法向量.
设平面 BD?F 的法向量为 n ? ( x, y, z ),
F (0, t,0) ,? BD? ? (?3, ?2 3,3), BF ? (?3, t ? 2 3,0) ,

?n ? BD? ? 0, ? ? ??3x ? 2 3 y ? 3z ? 0, 由? 得? ? ? ?n ? BF ? 0, ??3x ? (t ? 2 3) y ? 0,
取 y ? 3, 则 x ? t ? 2 3, z ? t ,? n ? (t ? 2 3,3, t ) .
? cos

?
4

?

| n ? OE | |t ?2 3| 2 , 即 , ? 2 | n || OE | (t ? 2 3)2 ? 9 ? t 2

?t ?

3 . 4

? 当 CF ?
D?

11 ? 3 时,二面角 A ? D?F ? B 的大小是 . 4 4

A E

O

F

C

B 19.解: (1)如图,根据题意得:
CD ? 10 , CE ? 10 3 , AC ? 10 7 , ?DCE ? 700 ? 400 ? 300 .

在 ?CDE 中,由余弦定理得,
DE ? CD2 ? CE 2 ? 2CD ? CE ? cos ?DCE
3 2

? 102 ? (10 3) 2 ? 2 ?10 ?10 3 ?

? 10 ,

所以客轮的航行速度 V1 ? 10 ? 2 ? 20 (海里/小时) . 因为 CD ? DE ,所以 ?DEC ? ?DCE ? 300 ,

所以 ?AEC ? 1800 ? 300 ? 1500 . 在 ?ACE 中,由余弦定理得, AC 2 ? AE 2 ? CE 2 ? 2 AE ? CE ? cos ?AEC , 整理得: AE 2 ? 30 AE ? 400 ? 0 , 解得 AE ? 10 或 AE ? ?40 (不合舍去) . 所以客轮从 E 处到岛 A 所用的时间 t1 ? 小张到岛 A 所用的时间至少为 t2 ?
1 由于 t2 ? t1 ? , 6 10 1 ? 小时, 20 2

10 7 7 ? 小时. 30 3

所以若小张 9 点半出发,则无法乘上这班客轮.
5 4 (2)在 ?ABC 中, cos ?BAC ? ? , sin ?ACB ? , 5 5 2 5 3 所以 ?ACB 为锐角, sin ?BAC ? , cos ?ACB ? . 5 5

所以 sin B ? sin[1800 ? (?BAC ? ?ACB)]
? sin(?BAC ? ?ACB)
? sin ?BAC cos ?ACB ? cos ?BAC sin ?ACB

3 2 5 4 5 ? ? ? ? 5 5 5 5 ? 2 5 . 25

由正弦定理得,

BC AC , ? sin ?BAC sin B
3 5 ? 15 35 ,

所以 BC ?

10 7 ? 2 5 25

所以小张由岛 C 直接乘小艇去城市 B 的总费用为
f (V ) ? 15 35 1 2 1 50 ( V ? V ? 50) ? 15 35( V ? 1 ? ) ? 165 35 ( V ? (0,30] ), V 2 2 V

1 50 当且仅当 V ? ,即 V ? 10 时, f (V )min ? 165 35 (元) , 2 V

所以若小张由岛 C 直接乘小艇去 B 市,其费用至少需 165 35 元. 20.解: (1)当 k ? 0 时,直线 l // x 轴, 又四边形 MNF1 F2 恰在以 MF1 为直径,面积为 ∴四边形 MNF1 F2 为矩形,且 MF1 ?

25 ? 的圆上, 16

5 . 2

∴点 M 的坐标为 (c, 又 ∴
b2 3 ? b, a 2 b 3 ? . a 2

b2 ). a

设 a ? 2k , b ? 3k ,则 c ? k .

3 在 Rt ?MF1 F2 中, MF2 ? k , F1F2 ? 2k , 2 5 5 ∴ MF1 ? k ? , 2 2
∴ k ?1. ∴ a ? 2, b ? 3 ,

x2 y 2 ? ?1. 4 3 3 (2)将 l : y ? kx ? 与椭圆方程联立得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 12kx ? 3 ? 0 , 2 12k 3 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,得 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
∴椭圆 C 的方程为 故 PM ? PN ? 1 ? k 2 ? x1 ? 0 ? 1 ? k 2 ? x2 ? 0

? (1 ? k 2 ) x1 x2 =

3+3k 2 . 3 ? 4k 2
192k 2 ? 36 , 3 ? 4k 2

又 MN ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?
3+3k 2 3 192k 2 ? 36 2 ? ? 1 ? k ? , 3 ? 4k 2 7 3 ? 4k 2



即 7 1 ? k 2 ? 192k 2 ? 36 , 解得 k ? ?
11 , 11 11 3 x? . 11 2

∴直线 l 的方程为 y ? ?

y

B1
P O

M

N

x

B2
21.解: (1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,
f ( x) 在 (0, ?) 上为单调递增函数,无最大值,不合题意,舍去;

f ?( x) ? 2ax ?

1 x.

当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?

1 , 2a

当 x ? (0, ?

1 ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 2a

当 x?( ?

1 , ?? ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减, 2a 1 1 1 ) ? ? ? ln ? , 2a 2 2a

? f ( x) max ? f ( ?

1 1 1 ?? ? ln ? ?? , 2 2a 2

1 ?a ? ? . 2

(2)由(1)可知, g ( x) ?
? g ?( x) ? x ? x? 1 ?2. x

1 2 x ? 2 x ? ln x , 2

1 ? 2 ,? g ?( x) ? 0 , x

? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增.



3 x1 ? x2 , g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ?3 且 g (1) ? ? , 2

? 0 ? x1 ? 1 ? x2 .

g ??( x) ? 1 ?

1 x2 ? 1 ? 2 , x2 x

? 当 x ? 1 时, g ??( x) ? 0 , g ?( x) 单调递增,
要证 g ?( x1 ? x2 ) ?
1 ,即 g ?( x1 ? x2 ) ? g ?(2) ,只要证 x1 ? x2 ? 2 ,即 x2 ? 2 ? x1 . 2

x1 ? 1 ,? 2 ? x1 ? 1 ,
所以只要证 g (2 ? x1 ) ? g ( x2 ) ? ?3 ? g ( x1 ) ? g ( x1 ) ? g (2 ? x1 ) ? ?3 ————(*), 设 G( x) ? g ( x) ? g (2 ? x) ? x2 ? 2x ? 2 ? ln x ? ln(2 ? x) (其中 0 ? x ? 1),
?G?( x) ? 2 x ? 2 ?
? 2(1 ? x)[
?

1 1 ? x 2? x

1 ? 1] x(2 ? x)

2( x ? 1)3 ?0, x( x ? 2)

? G ( x) 在(0,1)上为增函数,
? G( x) ? G(1) ? ?3 ,故(*)式成立,从而 g ?( x1 ? x2 ) ?

1 . 2

22.解: (1)设 P( ? ,? ) , M ( ?1 ,? ) , 则由 OP ,2 5, OM 成等比数列,可得 OP ? OM ? 20 , 即 ? ? ?1 =20 , ?1 =
20

?


20 ? 4 sin ? ,

又 M ( ?1 ,? ) 满足 ?1 ? 4sin ? ,即 ∴ ? sin ? ? 5 , 化为直角坐标方程为 y ? 5 .

?

(2)依题意可得 B(2,5) ,故 k AB ? 1 ,即直线 AB 倾斜角为

? , 4

? 2 t, ?x ? ? 2 ∴直线 AB 的参数方程为 ? 2 ? y ? 3? t, ? ? 2
代入圆的直角坐标方程 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , 得 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 , 故 t1 ? t2 ? ? 2 , t1t2 ? ?3 ? 0 ,

∴ AD ? AE ? t1 ? t2 ? 2 . 23.解:(1)当 a ? ?4 时, f ( x) ? g ( x) 化为 x2 ? 4 ? x ? 1 ? x ? 2 , 当 x ? ?1 ,不等式化为 x 2 +2x ? 5 ? 0 ,解得 x ? ?1 ? 6 或 x ? ?1 ? 6 , 故 x ? ?1 ? 6 ; 当 ?1 ? x ? 2 时,不等式化为 x 2 ? 7 ,解得 x ? ? 7 或 x ? 7 , 故 x?? ; 当 x ? 2 ,不等式化为 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 3 故 x ? 3; 所以 f ( x) ? x 解集为 x x | x ? ?1 ? 6 或 x ? 3? . (2) 由题意可知,即为 x ? [0,3] 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立. 当 0 ? x ? 2 时, x 2 ? a ? 3 ,得 a ? 3 ? x2

?

?

?

min

? ?1 ;

当 2 ? x ? 3 时, x2 ? a ? 2 x ? 1 ,得 a ? ? x2 +2 x ? 1 综上, a ? ?4 .

?

?

min

? ?4 ,

2018 年宁德市普通高中毕业班质量检查 数学(理科)试题参考答案及评分标准 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如 果考生的解法与本解法不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分 细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程 度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的 解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 60 分. 1.B 7.A 2.C 8.C 3.B 9.B 4.D 10.C 5.C 11.A 6.D 12.D

二、填空题:本题考查基础知识和基本运算,每小题 5 分,满分 20 分.

13. 2

14. 2

15. 20 ?

16. 8

附部分试题解答: 10.小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 33,25,20,小女儿和二女儿、小女儿和大 女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是 8,6,5,三个女儿同时回娘家的天数是 1,所以有 女儿在娘家的天数是:33+25+20-(8+6+5)+1=60. 11 . f (?

? 2? ? x) ? ? f (? x) 可 知 , 函 数 f ( x ) 的 对 称 中 心 为 ( ? ,0) . 对 任 意 x ? R , 都 有 3 3

? ? f ( x) ? f (? ) ,知对称轴是 x ? ? ,可知 f (0) ? 0 ,故 b=0. 6 6
12. 令 ae x ?1 ? 1 ? e x ln( x ? 1) ? 0 ,得 设 h( x ) ?

1 ? ln( x ? 1) ? ae?1 , ex

1 ? ln( x ? 1) ,条件转化为 y ? h( x) 与 y ? ae ?1 的图象在 (1, ??) 上有交点, x e
1 1 ex ? x ? 1 ? ? ? 0 ,得 h( x ) 在 [0, ??) 上为增函数, e x x ? 1 e x ( x ? 1)

h?( x) ? ?

?h(1) ? ae?1 ,得 a ? 1 ? e ln 2 .

16 . 依 题 意 可 知 : a2 ? 2a ? 1 ? ?(b2 ? 2b ? 1) , 整 理 得
(a ? 1 ) ? b (? 2 1? ) , 4
a ? b ? 1 , ? 方程表示如图一段弧 AB,

(a ? c)2 ? (b ? c)2 可表示弧上一点到直线 y=-x 的距离的平

方,
?(a ? c)2 ? (b ? c)2 的最小值是 8.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.本小题主要考查数列及数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、 化归与转化思想等,满分 12 分. 解法一: (1)

an ? 2 Sn ? 1 , ?4Sn ? (an ? 1)2 .

当 n ? 1 时, 4S1 ? (a1 ? 1)2 ,得 a1 ? 1 . 当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? (an?1 ? 1)2 ,
?4( Sn ? Sn?1 ) ? (an ? 1)2 ? (an?1 ? 1)2 ,

?4an ? an 2 ? 2an ? an?12 ? 2an?1 ,即 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? 2(an ? an ?1 ) ,
an ? 0, ? an ? an ?1 ? 2 .………………………………4 分

? 数列 {an } 是等差数列,且首项为 a1 ? 1 ,公差为 2,
? an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 .………………………………6 分

(2)由(1)可知, bn ? (2n ? 1) ?

1 , 3n

1 1 1 1 ?Tn ? 1 ? ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? ??? ? (2n ? 1) ? n ,——①………………………………7 分 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 ? ??? ? (2n ? 3) ? n ? (2n ? 1) ? n?1 ,——②………………………………8 分 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 ①–②得 Tn ? ? 2( 2 ? 3 ? ??? ? n ) ? (2n ? 1) ? n?1 ………………………………9 分 3 3 3 3 3 3
1 1 ? n ?1 2 1 1 ? ? 2 ? 3 3 ? (2n ? 1) ? n ?1 ,………………………………10 分 1 3 3 1? 3
化简得 Tn ? 1 ?

n ?1 .…………………12 分 3n

解法二: (1)同解法一. (2)由(1)可知, bn ? (2n ? 1) ? 设 bn ? (2n ? 1) ?

1 , 3n

1 1 1 1 ? ( An ? B) ? n ? [ A(n ? 1) ? B] ? n?1 ? (?2 An ? 3 A ? 2B) ? n , n 3 3 3 3

??2 A ? 2, ? A ? ?1, ?? 解得 ? ?3 A ? 2 B ? ?1, ? B ? ?1.

?bn ? (2n ? 1) ?


1 1 1 1 1 ? (?n ? 1) ? n ? (?n) ? n?1 ? n ? n?1 ? (n ? 1) ? n , ………………………………9 3n 3 3 3 3

?Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn

? (1? ?1?

1 1 1 1 ? 2 ? 1 ) ? (2 ? 1 ? 3 ? 2 ) ? 0 3 3 3 3

? [n ?

1 1 ? (n ? 1) ? n ] 3 3
n ?1

n ?1 .………………………………12 分 3n

18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础 知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解:(1)连结 DF , BF . D C

F A B

在矩形 ABCD 中, AD ? 2 3, CD ? 6 ,
? AC ? 4 3, ?CAB ? 300 , ?DAC ? 600 .………………………………1 分

在 ?ADF 中,∵ AF ? 3 ,
? DF 2 ? DA2 ? AF 2 ? 2DA ? AF ? cos ?DAC ? 9 , .………………………………2 分

∵ DF 2 ? AF 2 ? 9 ? 3 ? DA2 ,
? DF ? AC ,即 D?F ? AC .………………………………3 分

又在 ?ABF 中,
BF 2 ? AB2 ? AF 2 ? 2 AB ? AF ? cos ?CAB ? 21 ,………………………………4 分 D ?

∴在 ?D?FB 中, D?F 2 ? FB2 ? 32 ? ( 21)2 ? D?B2 ,

? ,………………………………5 分 ?BF ? DF

AC FB ? F ,

A E

O

F

C

∴ D?F ? 平面 ABC . ∴ D?F ? BC .………………………………6 分

B

(2)解:在矩形 ABCD 中,过 D 作 DE ? AC 于 O ,并延长交 AB 于 E . 沿着对角线 AC 翻折 后, 由(1)可知, OE , OC , OD? 两两垂直, 以 O 为原点, OE 的方向为 x 轴的正方向建立空间直角坐标系 O ? xyz ,则
O(0,0,0), E (1,0,0), D?(0,0,3), B(3,2 3,0) ,………………………………7 分
EO ? 平面 AD?F ,

?OE ? (1,0,0) 为平面 AD?F 的一个法向量. ………………………………8 分
设平面 BD?F 的法向量为 n ? ( x, y, z ),
F (0, t,0) , ? BD? ? (?3, ?2 3,3), BF ? (?3, t ? 2 3,0) ,

? ?n ? BD? ? 0, ? ??3x ? 2 3 y ? 3z ? 0, 由? 得? ? ? ?n ? BF ? 0, ??3x ? (t ? 2 3) y ? 0,
取 y ? 3, 则 x ? t ? 2 3, z ? t , ? n ? (t ? 2 3,3, t ) .………………………………10 分
? cos

?
4

?

| n ? OE | |t ?2 3| 2 , 即 , ? 2 2 2 | n || OE | (t ? 2 3) ? 9 ? t

?t ?

3 . 4

? 当 CF ?

11 ? 3 时,二面角 A ? D?F ? B 的大小是 . …………………12 分 4 4

19.本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力, 考查化归与转化思想、函数与方程思想等,考查应用意识.满分 12 分. 解: (1)如图,根据题意得:
CD ? 10 , CE ? 10 3 , AC ? 10 7 , ?DCE ? 700 ? 400 ? 300 .

在 ?CDE 中,由余弦定理得,
DE ? CD2 ? CE 2 ? 2CD ? CE ? cos ?DCE
3 2

? 102 ? (10 3) 2 ? 2 ?10 ?10 3 ?

? 10 , ………………………………2 分

所以客轮的航行速度 V1 ? 10 ? 2 ? 20 (海里/小时) . ………………………………3 分 因为 CD ? DE ,所以 ?DEC ? ?DCE ? 300 , 所以 ?AEC ? 1800 ? 300 ? 1500 . 在 ?ACE 中,由余弦定理得, AC 2 ? AE 2 ? CE 2 ? 2 AE ? CE ? cos ?AEC , 整理得: AE 2 ? 30 AE ? 400 ? 0 , 解得 AE ? 10 或 AE ? ?40 (不合舍去) . ………………………………5 分 所以客轮从 E 处到岛 A 所用的时间 t1 ? 小张到岛 A 所用的时间至少为 t2 ?
1 由于 t2 ? t1 ? , 6 10 1 ? 小时, 20 2

10 7 7 ? 小时. 30 3

所以若小张 9 点半出发,则无法乘上这班客轮………………………………6 分
5 4 (2)在 ?ABC 中, cos ?BAC ? ? , sin ?ACB ? , 5 5 2 5 3 所以 ?ACB 为锐角, sin ?BAC ? , cos ?ACB ? .………………………………7 分 5 5

所以 sin B ? sin[1800 ? (?BAC ? ?ACB)]
? sin(?BAC ? ?ACB)
? sin ?BAC cos ?ACB ? cos ?BAC sin ?ACB

3 2 5 4 5 ? ? ? ? 5 5 5 5 ? 2 5 .………………………………8 分 25

由正弦定理得,

BC AC , ? sin ?BAC sin B
3 5 ? 15 35 ,………………………………9 分

所以 BC ?

10 7 ? 2 5 25

所以小张由岛 C 直接乘小艇去城市 B 的总费用为
f (V ) ? 15 35 1 2 1 50 ( V ? V ? 50) ? 15 35( V ? 1 ? ) ? 165 35 V 2 2 V

( V ? (0,30] ),………………………………10 分
1 50 当且仅当 V ? ,即 V ? 10 时, f (V )min ? 165 35 (元)………………………………11 分 2 V

所 以 若 小 张 由 岛 C 直 接 乘 小 艇 去 B 市 , 其 费 用 至 少 需 165 35 元. ………………………………12 分 … 20.本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推 理论证能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想,考查考生分析问题和解决问题的 能力,满分 12 分. 解: (1)当 k ? 0 时,直线 l // x 轴, 又四边形 MNF1 F2 恰在以 MF1 为直径,面积为 ∴四边形 MNF1 F2 为矩形,且 MF1 ? ∴点 M 的坐标为 (c, 又 ∴
b2 3 ? b, a 2 b 3 ? .………………………………………………………3 分 a 2

25 ? 的圆上, 16

5 .………………………………………………………1 分 2

b2 ) .………………………………………………………2 分 a

设 a ? 2k , b ? 3k ,则 c ? k .

3 在 Rt ?MF1 F2 中, MF2 ? k , F1F2 ? 2k , 2 5 5 ∴ MF1 ? k ? , 2 2
∴ k ?1.

∴ a ? 2, b ? 3 ,………………………………………………………5 分

x2 y 2 ? ? 1 .………………………………………………………6 分 4 3 3 y (2)将 l : y ? kx ? 与椭圆方程联立得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 12kx ? 3 ? 0 , 2 B1 12k 3 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,得 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ? .…………7 分 P 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
∴椭圆 C 的方程为 故 PM ? PN ? 1 ? k 2 ? x1 ? 0 ? 1 ? k 2 ? x2 ? 0 N O

M

x

? (1 ? k 2 ) x1 x2 =


3+3k 2 .………………………………9 分 3 ? 4k 2

B2

MN ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?

192k 2 ? 36 , …………………… 3 ? 4k 2

… 10 分 ∴
3+3k 2 3 192k 2 ? 36 2 ? ? 1 ? k ? , 3 ? 4k 2 7 3 ? 4k 2

即 7 1 ? k 2 ? 192k 2 ? 36 , 解得 k ? ?
11 , 11

11 3 x ? .………………………………12 分 11 2 21.本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识,考查推理论证能

∴直线 l 的方程为 y ? ?

力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、 数形结合思想等.满分 12 分. 解: (1) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 2ax ? 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,
f ( x) 在 (0, ?) 上为单调递增函数,无最大值,不合题意,舍去;………………………………2

1 .………………………………1 分 x

分 当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?
1 , 2a

当 x ? (0, ?

1 ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 2a

当 x?( ?

1 , ?? ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减,………………………………3 分 2a 1 1 1 ) ? ? ? ln ? , 2a 2 2a

? f ( x) max ? f ( ?

1 1 1 ?? ? ln ? ? ? ,………………………………4 分 2 2a 2

1 ? a ? ? .………………………………5 分 2

(2)由(1)可知, g ( x) ?
? g ?( x) ? x ? x? 1 ?2. x

1 2 x ? 2 x ? ln x , 2

1 ? 2 ,? g ?( x) ? 0 , x

? g ( x) 在 (0, ??) 上单调递增. ………………………………6 分



3 x1 ? x2 , g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ?3 且 g (1) ? ? , 2

? 0 ? x1 ? 1 ? x2 .………………………………7 分

g ??( x) ? 1 ?

1 x2 ? 1 ? 2 , x2 x

? 当 x ? 1 时, g ??( x) ? 0 , g ?( x) 单调递增,
要证 g ?( x1 ? x2 ) ? 分
1 , 即 g ?( x1 ? x2 ) ? g ?(2) , 只要证 x1 ? x2 ? 2 , 即 x2 ? 2 ? x1 . ……………………8 2

x1 ? 1 ,? 2 ? x1 ? 1 ,
所以只要证 g (2 ? x1 ) ? g ( x2 ) ? ?3 ? g ( x1 ) ? g ( x1 ) ? g (2 ? x1 ) ? ?3 ————(*), ……………9 分 设 G( x) ? g ( x) ? g (2 ? x) ? x2 ? 2x ? 2 ? ln x ? ln(2 ? x) (其中 0 ? x ? 1),
?G?( x) ? 2 x ? 2 ?
? 2(1 ? x)[
?

1 1 ? x 2? x

1 ? 1] x(2 ? x)

2( x ? 1)3 ?0, x( x ? 2)

? G ( x) 在(0,1)上为增函数, ………………………………11 分

? G( x) ? G(1) ? ?3 , 故 (*) 式成立, 从而 g ?( x1 ? x2 ) ?

1 . ………………………………………12 2

分 22.选修 4 ? 4 ;坐标系与参数方程 本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查数 形结合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分. 解: (1)设 P( ? ,? ) , M ( ?1 ,? ) , 则由 OP ,2 5, OM 成等比数列,可得 OP ? OM ? 20 ,………………………………1 分 即 ? ? ?1 =20 , ?1 =
20

?

.………………………………2 分
20 ? 4 sin ? ,………………………………3 分

又 M ( ?1 ,? ) 满足 ?1 ? 4sin ? ,即

?

∴ ? sin ? ? 5 ,………………………………4 分 化为直角坐标方程为 y ? 5 .………………………………5 分 (2)依题意可得 B(2,5) ,故 k AB ? 1 ,即直线 AB 倾斜角为 分

? ,………………………………6 4

? 2 t, ?x ? ? 2 ∴直线 AB 的参数方程为 ? ………………………………7 分 2 ? y ? 3? t, ? ? 2
代入圆的直角坐标方程 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , 得 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 ,………………………………8 分 故 t1 ? t2 ? ? 2 , t1t2 ? ?3 ? 0 ,………………………………9 分 ∴ AD ? AE ? t1 ? t2 ? 2 .………………………………10 分 23.选修 4 ? 5 :不等式选讲 本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考 查分类与整合思想、化归与转化思想等. 满分 10 分. 解:(1)当 a ? ?4 时, f ( x) ? g ( x) 化为 x2 ? 4 ? x ? 1 ? x ? 2 , 分 …………1

当 x ? ?1 ,不等式化为 x 2 +2x ? 5 ? 0 ,解得 x ? ?1 ? 6 或 x ? ?1 ? 6 , 故 x ? ?1 ? 6 ;…………2 分 当 ?1 ? x ? 2 时,不等式化为 x 2 ? 7 ,解得 x ? ? 7 或 x ? 7 , 故 x?? ; …………3 分

当 x ? 2 ,不等式化为 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1 或 x ? 3 故 x ? 3; …………4 分

所以 f ( x) ? x 解集为 x x | x ? ?1 ? 6 或 x ? 3? . …………5 分 (2) 由题意可知,即为 x ? [0,3] 时, f ( x) ? g ( x) 恒成立. …………6 分 当 0 ? x ? 2 时, x 2 ? a ? 3 ,得 a ? 3 ? x2

?

?

?

min

? ?1 ;…………8 分

当 2 ? x ? 3 时, x2 ? a ? 2 x ? 1 ,得 a ? ? x2 +2 x ? 1 综上, a ? ?4 .…………10 分

?

?

min

? ?4 ,


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