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江苏省涟水县第一中学数学(苏教版)高一下学期期中复习:第三章不等式单元综合测试

第三章不等式单元综合测试
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1.不等式 x2≥2x 的解集是(


) ) )

2.已知 m,n∈R ,且 m+n=2,则 mn 有最大值(

3.设 M=2a(a-2)+3,N=(a-1)(a-3),a∈R,则 N 与 M 的大小关系 ( 1 1 4.设 x,y>0,且 x+2y=3,则 + 的最小值为 ( x y x-y+1≥0 ? ? 5.若实数 x,y 满足?x+y≥0 ? ?x≤0 )

,则 z=3x+2y 的 最小值是(

)

1 1 6.不等式 ax2+bx+2>0 的解集是(- , ),则 a-b 等于( 2 3

)

7.某人要买房,调查数据显示:随着楼层的升高,上下楼耗费的体力增多,因此不满意 度升高,当住第 n 层楼时,上下楼造成的不满意度为 n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境 8 较为安静,因此随着楼层的升高, 环境不满意度降低,当住第 n 层楼时,环境不满意度为 , n 则此人应选( )

π 8.设函数 f(x)=x3+x,x∈R,若当 0≤θ< 时,f(msinθ)+f(1-m)>0 恒成立,则实数 m 的 2 取值范围是( )

9.不等式 x-x2>0 的解集是________. 10.x≥0,y≥0,x+y≤4 所围成的平面区域的周长是________. 11.某种汽车,购车费用是 10 万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9 万元, 年维修费第一年是 0.2 万元,以后逐年递增 0.2 万元.那么这种汽车使用________年时,它的 平均费用最少. 12. 若关于 x 的不等式 4x-2x+1 a≥0 在区间上恒成立, 则实数 a 的取值范围为________.


13.已知 f ( x) ?

x ? 0, ?1, ?1, x ? 0,

则不等式 x ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ≤5 的解集是



14 .已知 a>0,b>0,且 a 2 ?

b2 ? 1 ,则 a 1 ? b2 的最大值是 . 2 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共 90 分)
1 15.(本小题 14 分)已知 a>0,试比较 a 与 的大小. a 1 1 1 16.(本小题 14 分)已知 a、b、c 为不等正数,且 abc=1.求证: a+ b+ c< + + . a b c

?a1+a2?2 17、 (本小题 15 分)已知实数 x, a1, a2, y 成等差数列, x, b1, b2, y 成等比数列, 求 b1b2 的取值范围( ) 1 与函数 y=lg(6+x-x2)的定义 x +2x-8
2

18、(本小题 15 分)设集合 A、B 分别是函数 y=

域,C={x|x2-4ax+3a2<0}.若 A∩B?C,则实数 a 的取值范围(

) .

19.(本小题 16 分)某工厂生产甲、乙两种产品,其产量分别为 45 个与 55 个,所用原料 分别为 A、B 两种规格的金属板,每张面积分别为 2 m2 与 3 m2.用 A 种规格的金属板可造甲种 产品 3 个,乙种产品 5 个;用 B 种规格的金属板可造甲、乙两种产品各 6 个.问 A、B 两种规 格的金属板各取多少张,才能完成计划,并使总的用料面积最省?

20、(本小题 16 分)如图 3 所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN, 要求 B 点在 AM 上, D 点在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知|AB|=3 米,|AD|=2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长度应在什么范围内? (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求出最小值.

图3

第三章 不等式单元综合测试答案
m+n 2 1、x≤0 或 x≥2. 2、mn≤( ) =1. 3、解析:M-N=2a(a-2)+3-(a-1)(a-3)=a2 2 1 1 1 3 3 1 x+2y x+2y 1 2y x 1 2 ≥0,所以 M≥N. 4、解析: + = ( + )= ( + )= ( + +3)≥ (2 2+3)= 2 x y 3x y 3 x y 3 x y 3 3 2y x 3 +1,当且仅当 = ,即 x=3 2-3,y=3- 2时取等号. x y 2 5 解析:在坐标平面内画出已知不等式组表示的平面区域,此区域是以 O( 0,0),A(0,1), 1 1 的 B(- , )为顶点的三角形内部(含边界).当 x=y=0 时,x+2y 取最小值 0,所以 z=3x+2y 2 2 最小值是 1. 2 1 1 1 b 1 1 1 6、解析:∵ =(- )× =- ,∴a=-12.又- =- + =- ,∴b=-2,∴a-b=- a 2 3 6 a 2 3 6 10. 8 8 8 7、解析:只需求不满意度 n+ 的最小值.由均值不等式得 n+ ≥4 2,当且仅当 n= , n n n 8 即 n=2 2≈3 时,n+ 取得最小值. n 8 、解析: ∵ f(x) = x3 + x , x ∈ R 是奇函数且是增函数,∴ f(msinθ) + f(1 - m)>0 恒成立,即 f(msinθ)>f(m-1),∴msinθ>m-1,即 m< 13. (?? , ] ; 14. 1 .∵θ∈上恒成立,只要 a≤0. 1-sinθ

3 2

3 2 4

2 1 a -1 ?a-1??a+1? 15、解:a- = = . a a a

因为 a>0,所以当 a>1 时,

?a-1??a+1? ?a-1??a+1? 1 >0,有 a> ;当 a=1 时, =0,有 a a a a

?a-1??a+1? 1 1 = ;当 0<a<1 时, <0,有 a< . a a a 1 1 1 综上,当 a>1 时,a> ;当 a=1 时,a= ;当 0<a<1 时,a< . a a a 16、 解: 方法 1: ∵ a、 b、 c 为不等正数, 且 abc=1, ∴ a+ b+ c= 1 1 1 1 1 1 + + + b c c a a b 1 1 1 < + + = + + .故原不等式成立. 2 2 2 a b c bc+ca ca+ab 1 1 1 方法 2:∵a、b、c 为不等正数,且 abc=1,∴ + + =bc+ca+ab= + + a b c 2 2 ab+bc > abc2+ a2bc+ ab2c= a+ b+ c.故原不等式成立. 2 17.解:因为 x,a1,a2,y 成等差数列,所以 x+y=a1+ a2. 因为 x,b1,b2,y 成等比数列,所以 xy=b1b2,且 xy≠0. 1 + bc 1 + ca 1 ab

?a1+a2?2 ?x+y?2 x2+y2+2xy x2+y2 所以 = = = +2. b1b2 xy xy xy 2xy 当 x、y 同号时,x2+y2≥2xy,当且仅当 x=y 时,等号成立,又 xy≠0,所以上式≥ + xy 2=4; 2|xy| 当 x、y 异号时,x2+y2≥2|xy|,当且仅当|x|=|y|时,等号成立,又 xy≠0,所以上式≤ xy +2=0. ?a1+a2?2 故 的取值范围为(-∞,0]∪ b1b2 图2 设 A, B 两种金属板各取 x 张,y 张,用料面积为 z,则约束条件为 3x+6y≥45, ? ?5x+6y≥55, ?x≥0, ? ?y≥0,

目标函数 z=2x+3y.

作出可行域,如右图 2 所示的阴影部分. 2 z 2 z 目标函数 z=2x+3y 即直线 y=- x+ ,其斜率为- ,在 y 轴上的截距为 ,且随 z 变化 3 3 3 3 的一族 平行线. 由图知,当直线 z=2x+3y 过可行域上的点 M 时,截距最小,z 最小.
?5x+6y=55, ? 解方程组? 得 M 点的坐 标为(5,5), ? ?3x+6y=45,

此时 zmin=2×5+3×5=25(m2), 即两种金属板各取 5 张时,用料面积最省. |DN| |DC| 3x 20、解:设 AN 的长为 x 米(x>2),由 = ,得|AM|= , |AN| |AM| x-2 ∴S 矩形 AMPN=|AN|· |AM|= 3x2 . x-2 (1) 由 S 矩形 AMPN>32,得 3x2 >32, x-2

8 8 又 x>2, 则 3x2-32x+64>0,解得 2<x< 或 x>8, 即 AN 长的取值范围为(2, )∪(8, +∞). 3 3
2 3x2 3?x-2? +12?x-2?+12 (2)y= = x-2 x-2

12 =3(x-2)+ +12≥2 x-2

12 3?x-2?× +12=24, x-2

12 当且仅当 3(x-2)= ,即 x=4 时,取等号, x-2 ∴当 AN 的长度是 4 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小值为 24 平方米.


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