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【2019年整理】10[1]1对弧长的曲线积分10416_图文

第十章 曲线积分与曲面积分
前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度 从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个 区域,在应用领域,有时常常会遇到计算密度不 均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通过 某曲面的流体的流量等,为解决这些问题,需要 对积分概念作进一步的推广,引进曲线积分和曲 面积分的概念,给出计算方法,这就是本章的中 心内容,此外还要介绍 Green 公式、Gauss公 式 和 Stokes 公式,这些公式揭示了存在于各 种积分之间的某种联系。

§10.1 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1.问题的提出
实例:曲线形构件的质量
y
(? i ,? i ) Mi M2 M i ?1 M1

B

L M n ?1

匀质之质量

M ? ? ? s.

分割 M1 , M 2 ,?, M n?1 ? ?si ,
取 (? i ,?i ) ? ?si , ?M i ? ? (? i ,?i ) ? ?si .

A

o

x

求和 M ? ? ? (? i ,?i ) ? ?si .
i ?1

n

近似值 精确值

取极限 M ? lim ? ? (? i ,?i ) ? ?si .
? ?0
i ?1

n

2.定义

设L为xoy面内一条光滑曲线弧 ,函数f ( x , y ) 在L上有界.用L上的点M 1 , M 2 ,?, M n?1把L分成n 个小段.设第i个小段的长度为 ?si , 又(? i , ?i )为第 i个小段上任意取定的一 点, 作乘积f (? i , ?i ) ? ?si , 并作和? f (? i , ?i ) ? ?si ,
i ?1 n

y

B

L M n ?1
(? i ,? i ) M i M2 M i ?1 M A 1

o

x

如果当各小弧段的 长度的最大值 ? ? 0时, 这和的极限存在 , 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在曲线弧 L上对弧长的曲线积分或 第一类曲 线积分, 记作 ? f ( x , y )ds, 即
L

f ( ? i , ? i ) ? ? si . ? ?L f ( x , y )ds ? lim ? ?0 i ?1
积分弧段 积分和式

被积函数

n

曲线形构件的质量 M ? ? ? ( x , y )ds.
L

3.存在条件:

当 f ( x , y )在光滑曲线弧 L上连续时, 对弧长的曲线积分 ?L f ( x , y )ds 存在.
4.推广

函数 f ( x , y , z )在空间曲线弧 ?上对弧长的 曲线积分为

?

?

f ( x , y , z )ds ? lim ? f (? i ,?i ,? i ) ? ?si .
? ?0
i ?1

n

注 函 数f ( x , y )在 闭 曲 线 L上 对 弧 长 的
曲线积分记为 ? f ( x, y)ds.
L

5.性质
(1) ? [ f ( x , y ) ? g( x , y )]ds ? ? f ( x , y )ds ? ? g( x , y )ds.
L L L

( 2) ? kf ( x , y )ds ? k ? f ( x , y )ds ( k为常数).
L L

( 3) ? f ( x , y )ds ? ? f ( x , y )ds ? ? f ( x , y )ds. L L1 L2 ( L ? L1 ? L2 ).

( 4)设在L上f ( x , y ) ? g ( x , y ), 则

?

L

f ( x , y )ds ?

?

L

g ( x , y )ds .

特别地,有 | ? f ( x , y )ds |?
L

?

L

|f ( x , y )|ds .

二、对弧长的曲线积分的计算法
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续, ? x ? ? ( t ), L的参数方程为? (? ? t ? ? )其中 ? y ? ? ( t ), ? ( t ),? ( t )在[? , ? ]上具有一阶连续导数, 且

? ? 2 ( t ) ? ? ? 2 ( t ) ? 0, 则曲线积分? f ( x , y )ds
L

存在,且
? 2 ( t ) ? ? ? 2 ( t )dt ? f ( x , y ) ds ? f [ ? ( t ), ? ( t )] ? ?L ?? (? ? ? )

特殊情形
(1) L : y ? ? ( x ) a ? x ? b.
b

?

L

f ( x , y )ds ? ? f [ x ,? ( x )] 1 ? ? ? 2 ( x )dx.
a

( 2) L : x ? ? ( y )

c ? y ? d.

?
?

L

f ( x , y )ds ? ? f [? ( y ), y ] 1 ? ? ? 2 ( y )dy.
c

d

推广:

? : x ? ? ( t ), y ? ? ( t ), z ? ? ( t ). (? ? t ? ? )
?

f ( x , y , z )ds
? ?

? ? f [? ( t ),? ( t ),? ( t )] ? ? 2 ( t ) ? ? ? 2 ( t ) ? ? ? 2 ( t )dt (? ? ? )

对弧长的积分曲线化为定积分的步骤 1)确定曲线的方程

2)将积分曲线的参数方程代入被积函数,
3)换弧微元

ds ? x? ? y? dt
2 2

4)定积分限,下限—小参数,上限—大参数

例1 计算

?L

xyds

其中L为

x ? y ?a
2 2

2

在第二象限的部分

解一

将L表示为
2

y ? a ? x ,? a ? x ? 0
2 2

a ds ? 1 ? y? dx ? 2 2 dx a ?x 0 3 a a 2 2 ? ? xyds ? x a ? x dx ?L ? 2 2 2 a ? x ?a

解二

将L表示为 x ? ?

a ? y , 0? y?a
2 2

a 2 ds ? 1 ? x? dy ? a 2 ? y 2 dy a 3 a a 2 2 ? ? xyds ? ? ( ? a ? y ) y 2 2 dy ? ? L 2 a ?y 0
解三 将L表示为参数方程

? x ? a cos t ? ? y ? a sin t

(? ? t ? ? ) 2

ds ? ( ? a sin t ) ? (a cos t ) dt ? adt
2 2

? ? xyds ? ? a cos t ? a sin t ? adt
L

?

?

2

a ?? 2

3

例2 求I ? xyzds, 其中? : x ? a cos ?, y ? a sin ?, ?
?

z ? k?的一段. ( 0 ? ? ? 2?)


I ? ? a 2 cos ? sin? ? k? a 2 ? k 2 d? 0
1 ? ? ?ka2 a 2 ? k 2 . 2

2?

注 关于对弧长的曲线积分的对称性
对 ? f ( x , y )ds
L

①若 L 关于 y 轴对称

(1) 当 f ( ? x , y ) ? ? f ( x , y )时 ? f ( x , y )ds ? 0
L
L

( 2)当 f ( ? x , y ) ? f ( x , y )时 ? f ( x , y )ds ? 2? f ( x , y )ds
L1

其中L1 是L 的关于 y 轴对称的部分弧段
L1 ? ?( x , y ) | ( x , y ) ? L , x ? 0?

②若L关于 x 轴对称
(1) 当 f ( x ,? y ) ? ? f ( x , y ) 时 ? f ( x , y )ds ? 0
L

( 2) 当 f ( x ,? y ) ? f ( x , y ) 时 ? f ( x , y )ds ? 2? f ( x , y )ds
L L2

其中L2 是L 的关于x 轴对称的部分弧段

L2 ? ?( x , y ) | ( x , y ) ? L , y ? 0?

与重积分的对称性十分类似

例3 计算

?L

xyds

其中L为

x ? y ?a
2 2

2

的上半圆 解: 由对称性 原式=0

三、几何与物理意义
(1) 当 ? ( x, y )表示 L的线密度时,
M ? ?L ? ( x , y )ds ;

( 2) 当 f ( x , y ) ? 1时, L弧长 ? ?Lds ;
( 3) 当 f ( x , y )表示立于L上的 柱面在点( x , y )处的高时,
s
L
z ? f ( x, y)

S柱面面积 ? ? f ( x , y )ds.
L

(4) 曲线弧对x轴及 y轴的转动惯量,

I x ? ? y ?ds,
2 L

I y ? ? x ?ds.
2 L

(5) 曲线弧的重心坐标
x?ds ? x? , ? ?ds
L L

y?ds ? y? . ? ?ds
L L

例3 计算L为

x ? y ?a
2 2

2

的上半圆

求L的质心及L对于它的对称轴的转动惯量 (设线密度

? ?1)

四、小结
1、对弧长曲线积分的概念
2、对弧长曲线积分的计算 3、对弧长曲线积分的应用

思考题
对弧长的曲线积分的定义中 ?S i 的符号 可能为负吗?

?S i 的符号永远为正,它表示弧段的长度.


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