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等差数列 综合练习


等差数列习题课
已知数列{a n } 为等差数列,那么有
* 性质1:若 m,?p,?n?(m,?p,?n ? N ) 成等差数列,则 a m , a p , a n 成等差数列.

? m,?p,?n?成等差数列, 证明:根据等差数列的定义,

? p ? m ? n ? p,

? (p ? m)d ? (n ? p)d.

?ap ? am ? an ? ap. 即 a m , a p , a n 成等差数列.
如 a1 , a 6 , a11 成等差数列,a 3 , a 6 , a 9 成等差数列.

性质 2: 在等差数列中, 若 m+n=p+q, 则, am ? an ? a p ? aq 即 m+n=p+q ? am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ∈N ) 但通常 ① 由 am ? an ? a p ? aq 推 不 出 m+n=p+q ,

② a m ? a n ? a m? n 例题讲解:



例 1 在等差数列{ a }中,若 a1 + a6 =9,
n

a4 =7,

求a ,
3

a9

.

a1 + a3 + a5 =-12, 例 2 等差数列{ an }中,

且 a1 · a3 · a5 =80. 求通项 an 例 3 在等差数列{ a }中, 已知 a + a4 +
n

3

a5 + a6 + a7 =450,
a2 + a8 及前


9

9 项和 S .
c a?b?c

例 4 已知 a、 b、 c 的倒数成等差数列, 求证:
a b?c?a


王新敞
奎屯 新疆

b c?a ?b



的倒数

也成等差数列

分析:证给定的是三个数的倒数成等

差数列应充分利用三个数 x、y、z 成 等差数列的充要条件:x+y=2z
王新敞
奎屯 新疆

证明:因为 a、b、c 的倒数成等差 数列
2 1 1 ? ? b a c,

即 2ac=b(a+c) =
c(b ? c) ? a(a ? b) ac

所以

b?c?a a

+

a?b?c c

-2

=
c 2 ? a 2 ? b( a ? c ) ac

-2 =
c 2 ? a 2 ? 2ac ac

-

2 = = =
(a ? c) 2 ac
2(a ? c) 2 b( a ? c )

-2 -2

2(a ? c) b

-2

= 所以
a b?c?a

2(c ? a ? b) b



b c?a ?b



c a?b?c

的倒数也成

等差数列

王新敞
奎屯

新疆

巩固练习: 1.在等差数列 ?a ?中,已知 a
n
5

? 10

,a

12

? 31



求首项 a 与公差 d
1

2. 在等差数列 ?a ? 中 , 若
n

a5 ? 6

a8 ? 15

求a

14

3.在等差数列 ?an ? 中若 a1 ? a2 ? ? ? a5 ? 30 ,
a6 ? a7 ? ? ? a10 ? 80 ,

求 a11 ? a12 ? ? ? a15
?1? bn ? ? ? a ?2? 4.等差数列{ n }中,
b1 ? b2 ? b3 ?
an

,已知:

21 1 , b1b2b3 ? 8 8 ,求数列的通项
2

x ? 5. 已 知 方 程

? 2x ? m?? x2 ? 2x ? n ? ? 0



1 四个根组成一个首项为 4 的等差数

列,则 A.1

m?n

等于:
3 4

B.

1 C. 2

3 D. 8

6.成等差数列的四个数之和为 26, 第 二数和第三数之积为 40, 求这四个 数. (四个数为 2,5,8,11 或 11,8,5,2) 7. 在 等 差 数 列

?an ?

中 , 若

a1 ? a4 ? a8 ? a12 ? a15 ? 2 求 a8 .
8.在等差数列中

?an ? ,
则 C

a1 ? 3a8 ? a15 ? 120

2a9 ? a10

的值 -8

为: A 24 B 22 20 D


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