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【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学苏教版必修二课件:第二章 平面解析几何初步-2.3-2.3.1_图文

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2. 3 2.3.1
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空间直角坐标系 空间直角坐标系
学 业 分 层 测 评

1.了解空间直角坐标系的建系方式.(难点) 2. 能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点. (重点、 易错点)

[ 基础· 初探] 教材整理 1 空间直角坐标系

阅读教材 P118,完成下列问题. 1.空间直角坐标系的概念 从空间某一个定点 O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,这样就建

坐标原点 ,__________ x轴 y轴 立了空间直角坐标系 Oxyz,点 O 叫做___________ 、_________
z轴 叫做坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别称为 和________

xOy yOz zOx __________ 平面、_________ 平面和________ 平面.

2.右手直角坐标系
x轴 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 让 右 手 拇 指 指 向 _______ 的 正 方 向 , 食 指 指 向 y轴 z轴 _________ 的正方向,若中指指向________ 的正方向,则称这个坐标系为右手直

角坐标系.

如图 231,三棱柱 ABCA1B1C1 为直三棱柱,且∠C=90° ,试在图中建立一 个空间坐标系.

图 231

【解】 以 C 为坐标原点, 以 CB 所在直线为 x 轴, 以 CA 所在直线为 y 轴, 以 CC1 所在直线为 z 轴,建立空间坐标系如图.

教材整理 2 空间点的坐标表示 阅读教材 P119,完成下列问题.

射影 ,即经过点 A 作三 对于空间任意一点 A,作点 A 在三条坐标轴上的______ 垂直 于 x 轴、y 轴和 z 轴,它们与 x 轴、y 轴和 z 轴分别交于 P,Q, 个平面分别______
R.点 P,Q,R 在相应数轴上的坐标依次为 x,y,z,我们把有序实数组(x,y,z) 点A的坐标 A(x,y,z) 叫做_________________ ,记为_________________ .

1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在空间直角坐标系中,x 轴上点的坐标满足 x=0,z=0.(×) (2)在空间直角坐标系中,xOz 平面上点的坐标满足 z=0.(×) (3)关于坐标平面 yOz 对称的点的坐标其纵坐标、竖坐标保持不变,横坐标 相反.(√) (4)在空间直角坐标系中,点 P(x,y,z)关于 z 轴的对称点为 P′(-x,-y, z).(√)

2 .在空间直角坐标系中,点 P(2 ,- 4,6) 关于 y 轴对称点 P′ 的坐标为 ____________.
【解析】 点 P(2,-4,6)关于 y 轴对称点 P′的坐标为(-2,-4,-6). 【答案】 (-2,-4,-6)

[ 质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[ 小组合作型]

空间中点的坐标的确定

如图 232,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分 别是棱 BC, CC1 上的点,CF=AB=2CE, AB∶AD∶AA1=1∶ 2∶4.试建立适当的坐标系,写出 E,F 点的坐标.

图 232

【精彩点拨】 可选取 A 为坐标原点,射线 AB,AD,AA1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.

【自主解答】

以 A 为坐标原点,射线 AB,AD,AA1 的方向分别为 x 轴、

y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示. 分别设 AB=1,AD=2, AA1=4, 则 CF=AB=1,

1 1 CE=2AB=2, 1 3 所以 BE=BC-CE=2-2=2. 所以点 E
? ? 3 的坐标为?1,2,0?,点 ? ?

F 的坐标为(1,2,1).

1.建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上. (2)充分利用几何图形的对称性. 2.求某点 M 的坐标的方法 过点 M 分别作三个坐标平面的平行平面(或垂面),分别交坐标轴于 A,B, C 三点,确定 x,y,z.具体理解,可以以长方体为模型,要掌握一些特殊点(落 在坐标轴上的点和落在坐标平面上的点)的坐标表示的特征.

[ 再练一题] 1.在正方体 ABCDA′B′C′D′中,E,F 分别是 BB′,D′B′的中点,棱长为 1, 求 E,F 点的坐标.
【解】 建立如图空间直角坐标系, E 点在 xDy 面上的射影为 B, 1 B(1,1,0),竖坐标为2,
? 1? ∴E?1,1,2?. ? ?

F 在 xDy 面上的射影为 BD 的中点 G,竖坐标为

?1 1 ? 1,∴F?2,2,1?. ? ?

[ 探究共研型]

空间中点的对称问题
探究 1 在空间坐标系中,点(1,1,1)关于原点对称的坐标是什么? 【提示】 (-1,-1,-1). 探究 2 在空间坐标系中,点(a,b,c)关于 x 轴对称的点的坐标是什么? 【提示】 (a,-b,-c). 探究 3 在空间坐标系中, 点(a, b, c)关于 xOy 平面对称的点的坐标是什么? 【提示】 (a,b,-c).

求点 M(2,-1,3)关于坐标平面、坐标轴及坐标原点的对称点的坐 标. 【精彩点拨】 结合图形,利用图象对称的思想找准对称点.

【自主解答】 点 M 关于 xOy 平面的对称点 M1 的坐标为(2,-1,-3), 关于 xOz 平面的对称点 M2 的坐标为(2,1,3), 关于 yOz 平面的对称点 M3 的坐 标为(-2,-1,3),

关于 x 轴的对称点 M4 的坐标为(2,1,-3), 关于 y 轴的对称点 M5 的坐标为(-2,-1,-3), 关于 z 轴的对称点 M6 的坐标为(-2,1,3), 关于原点的对称点 M7 的坐标为(-2,1,-3).

平面直角坐标系中的对称性可以推广到空间直角坐标系中.在空间直角坐标 系中,任一点 P?x,y,z?的几种特殊的对称点的坐标如下:①关于原点对称的点 的坐标是 P1?-x,-y,-z?;②关于 x 轴?横轴?对称的点的坐标是 P2?x,-y, -z?;③关于 y 轴?纵轴?对称的点的坐标是 P3?-x,y,-z?;④关于 z 轴?竖轴? 对称的点的坐标是 P4?-x,-y,z?;⑤关于 xOy 平面对称的点的坐标是 P5?x,y, -z?;⑥关于 yOz 平面对称的点的坐标是 P6?-x,y,z?;⑦关于 xOz 平面对称的 点的坐标是 P7?x,-y,z?.

[ 再练一题] 2. 在空间直角坐标系中, 点 P(-1,1,2)关于 y 轴对称的点的坐标为________, 关于坐标平面 yOz 对称的点的坐标为________.

【解析】 由对称知识可知,P 关于 y 轴对称的点为(1,1,-2),关于平面 yOz 对称的点为(1,1,2).
【答案】 (1,1,-2) (1,1,2)

[ 构建· 体系]

1.点 P(-1,0,4)位于________平面内.

【解析】 点 P(-1,0,4)的 y 坐标为 0, ∴点 P(-1,0,4)在 xOz 平面内.
【答案】 xOz

2.点 P(1,2,-1)在 yOz 平面内的垂足为 B(x,y,z),则 x+y+z=________.

【解析】 点 P(1,2,-1)在 yOz 平面内的垂足 B(0,2,-1),故 x+y+z= 1.
【答案】 1

3. 在空间直角坐标系中, 点 P(-2,4,4)关于 x 轴的对称点的坐标是________. 【导学号:60420092】 【解析】 因为点 P 关于 x 轴对称后,它在 x 轴的分量不变,在 y,z 轴的 分量变为原来的相反数,所以对称点 P′的坐标为(-2,-4,-4).
【答案】 (-2,-4,-4)

4.设 x,y 为任意实数,相应的所有点 P(x,y,3)的集合是________. 【答案】 过 z 轴上的点(0,0,3)且与 z 轴垂直的平面

5.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=5,AD=4,AA1=4,A1C1 与 B1D1 相交于点 P,建立适当的坐标系,求点 C,B1,P 的坐标.(写出符合题意的一种 情况即可)

【解】 如图,分别以 AD,AB 和 AA1 所在直线为 x 轴、y 轴和 z 轴,建立空间直角坐标系. ∵AB=5,AD=4,AA1=4, ∴B(0,5,0), D(4,0,0), A1(0,0,4), 从而 C(4,5,0), B1(0,5,4). 又 D1(4,0,4), P为
? ? 5 B1D1 的中点,∴P?2,2,4?. ? ?

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)