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2018-2019学年高一数学人教A版必修4课件:1.2 任意角的三角函数1 第2课时_图文

第2课时 三角函数线 课 标 阐 释 1.了解三角函数线的定义.培养数学抽象 素养. 2.能够利用三角函数线表示任意角的三 角函数值.培养数学抽象素养. 3.能利用三角函数线比较三角函数值的 大小,求角的范围.培养数学运算素养. 思 维 脉 络 三角函数线 正弦线 定义 余弦线 正切线 应用 一 二 三 思维辨析 一、有向线段 问题思考 1.直线、射线、线段有什么区别? 提示直线:没有端点,无限长;射线:只有一个端点,无限长;线段:有 两个端点,有限长. 2.填空:有向线段 (1)定义:带有方向的线段叫做有向线段. (2)符号:方向与坐标轴的正方向相同为正,否则为负. (3)记法:有向线段AB的数量记为AB. (4)长度:有向线段AB的长度记为|AB|. 一 二 三 思维辨析 二、三角函数线 问题思考 1.假设第一象限角α的终边与单位圆的交点为P,由点P向x轴作垂 线,垂足为M,由三角函数的定义可知sin α,cos α的值恰好等于线段 MP,OM的长度,当α为第二象限角、第三象限角、第四象限角时,按 照同样的作法,sin α,cos α的值是否还等于线段MP,OM的长度?如果 不相等,那么sin α,cos α值的正负与有向线段MP,OM的数量有何关 系? 提示当α为第二象限角、第三象限角、第四象限角时,sin α,cos α 的值不等于线段MP,OM的长度,sin α,cos α值的正负与有向线段 MP,OM的数量是一致的. 一 二 三 思维辨析 2.填空:三角函数线 如图,设单位圆与x轴的正半轴交于点A,与角α的终边交于点P(角α 的顶点与原点重合,角α的始边与x轴的非负半轴重合). 过点P作x轴的垂线PM,垂足为M,过点A作单位圆的切线交OP的延 长线(或反向延长线)于点T,这样就有sin α=MP,cos α=OM ,tan α=AT . 单位圆中的有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、 正切线,统称为三角函数线. 一 二 三 思维辨析 3.做一做:如图,210°角的正弦线为 正切线为 . ,余弦线为 , 解析由三角函数线的定义可知,210°角的正弦线为MB,余弦线是 OM,正切线是PD. 答案MB OM PD 一 二 三 思维辨析 三、特殊角的三角函数线 问题思考 1.0°,180°角的正弦线、余弦线,正切线有什么特点?90°,270°角的 正弦线、余弦线有何特点?90°,270°角的正切线能否作出? 提示0°,180°角的正弦线是一个点、余弦线与半径重合,正切线是 一个点;90°,270°的正弦线与半径重合、余弦线是一个点,正切线不 存在. 2.填空:特殊角的三角函数线 当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此 时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线 变成一个点,正切线不存在,此时角α的余弦值为0,正切值不存在. 一 二 三 思维辨析 3.做一做:下列角的正切线不存在的是( ) A.- 10 C. 3π 4 11π B. 2 D. 9π 8π 7 解析当角α的终边与y轴重合时,正切线不存在. 9π ∵ 2 的终边在y轴的非负半轴上,∴正切线不存在. 答案B 一 二 三 思维辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”. (1)三角函数线是有向线段,既有大小,又有方向. ( ) (2)正弦线的起点一定在x轴上,余弦线的起点一定是原点,正切线 的起点一定是(1,0). ( ) (3)三角函数线只能表示0°~360°之间角的三角函数值. ( ) (4)任意大小的角都有正切线. ( ) (5)若角θ的余弦线是长度为单位长度的有向线段,则其终边落在x 轴的正半轴上. ( ) (6)终边在第一、三象限角的平分线上的角的正、余弦线,长度相 等、符号相同. ( ) 答案(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ 探究一 探究二 探究三 思维辨析 作三角函数线 【例1】 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线. (1)- ;(2) 解如图. π 4 17π 10π ;(3) . 6 3 其中,各角的正弦线都是MP,余弦线都是OM,正切线都是AT. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 三角函数线的作法步骤: (1)作平面直角坐标系和角的终边. (2)作单位圆,圆与角的终边的交点为P,与x轴正半轴的交点为A. (3)过点P作x轴的垂线,垂足为M. (4)过点A作x轴的垂线,与角的终边或其反向延长线交于点T. (5)有向线段MP,OM,AT分别为角的正弦线、余弦线和正切线. 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练 1 作出- 4 角的正弦线、余弦线和正切线. 9π 解如图所示, 9π - 的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正切线为 AT. 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 利用三角函数线比较三角函数值的大小 【例 2】 (1)设 <α< ,试比较 sin α,cos α,tan α 的大小; (2)分别比较 cos 5 ;tan 3 与 tan 5 的大小. 4π 2π 4π π π 4 2 2π 4π 2π sin 3 与 sin 5 ;cos 3 与 分析(1)确定 α 的终边位置,作出各三角函数线,比较大小;(2)先 在同一单位圆中作出 2π 4π , 两角的各三角函数线,再进行比较. 3 5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解 (1)如图所示,当 <α< 时,角 α 的正弦线为 MP,余弦线为 OM,正 切线为 AT,显然在长度上,|AT|>|MP|>|OM|,且 sin α,cos α,tan α 的值 π π 均为正数,因此当 <α< 时,必有 tan α>sin α>cos α. 4 2 π 4 π 2

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