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湖北省鄂州市2015届高三上学期11月月考数学试卷(理科)


湖北省鄂州市 2015 届高三上学期 11 月月考数学试卷(理科)
一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 案的序号填涂在答题卡上) 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,1},B={x|1≤2 <4},则 A∩B 等于() A.{﹣1,0,1} B.{1} C.{﹣1,1} D.{0,1} 2. (5 分)已知 m,n∈R,则“lnm<lnn”是“e <e ”的() A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D.不充分不必要条件
m n x

3. (5 分)已知向量 值为() A. B. 2



,若



共线,则 m 的

C.
*

D.﹣2

4. (5 分)已知数列{an}对任意的 m、n∈N ,满足 am+n=am+an,且 a2=1,那么 a10 等于() A.3 B. 5 C. 7 D.9 5. (5 分)已知函数 f(x)=sin2x 向左平移 的说法正确的是() A.图象关于点(﹣ C. 在区间[﹣ ,﹣ ,0)中心对称 ]单调递增 B. 图象关于 x=﹣ D.在[﹣ , 轴对称 个单位后,得到函数 y=g(x) ,下列关于 y=g(x)

]单调递减

6. (5 分)如图是某几何体的三视图,则它的体积是()

A.

B.64

C.

D.32

7. (5 分)如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误的为()

A.AC⊥BD B. AC∥截面 PQMN C. AC=BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45°

8. (5 分)已知 f(x)=

,则下列函数的图象错误的是()

A.

f(x﹣1)的图象 B.

f(﹣x)的图象

C.

f(|x|)的图象 |f(x)|的图象

D.

9. (5 分)将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六 条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点 O 为中心﹐其中 ﹐ 分别为原

点 O 到两个顶点的向量﹒若将原点 O 到正六角星 12 个顶点的向量﹐都写成为 a +b 的形式 ﹐则 a+b 的最大值为()

A.2

B. 3

C. 4

D.5

10. (5 分)对于函数 f(x)和 g(x) ,设 m∈{x∈R|f(x)=0},n∈{x∈R|g(x)=0},若存在 m、 n,使得|m﹣n|≤1,则称 f(x)与 g(x)互为“零点关联函数”.若函数 f(x)=e 2 (x)=x ﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数”,则实数 a 的取值范围为() A. B. C.[2,3] D.[2,4]
x﹣1

+x﹣2 与 g

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分.每小题的答案填在答题纸的相应位置) 11. (5 分)已知 α 为第二象限角, ,则 cos2α=.

12. (5 分)某几何体三视图如图所示,其中正视图和侧视图都是等腰梯形,且上底长为 2, 下底长为 4,腰长为 ,则它的体积与表面积之比是.

13. (5 分)函数 f(x)=

,则

f(x)dx 的值为.

14. (5 分)函数 y=f(x)的图象连续且在区间[a,b]上的左右端点分别为 A 和 B,点 M(x0, y0)是该图象上的一点,且 x0=λa+(1﹣λ)b,λ∈[0,1],令向量 = ,



有最大值 k,则称函数 f(x)在[a,b]上“k 阶线性近似”.若函数 f(x)=x +1 在区间

2

[0,1]上“k 阶线性近似”,则实数 k=. 15. (5 分)已知函数 f(x)及其导数 f′(x) ,若存在 x0,使得 f(x0)=f′(x0) ,则称 x0 是 f (x)的一个“巧值点”,下列函数中,有“巧值点”的是. (填上正确的序号) ①f(x)=x , ﹣x ②f(x)=e , ③f(x)=lnx, ④f(x)=tanx, ⑤f(x)=x+ .
2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (12 分)四棱锥 A﹣BCDE 的正视图和俯视图如图,其中正视图是等边三角形,俯视图是 直角梯形. (Ⅰ)若 F 为 AC 的中点,当点 M 在棱 AD 上移动时,是否总有 BF 丄 CM,请说明理由. (Ⅱ)求二面角 B﹣AD﹣C 的平面角的正切值.

17. (12 分)已知向量 =(sinx,﹣1) , =(

cosx,﹣ ) ,函数 f(x)=(

)? ﹣2.

(1)求函数 f(x)的最小正周期 T; (2)已知 a,b,c 分别为△ ABC 内角 A,B,C 的对边,其中 A 为锐角,a=2 (A)=1,求 A,b 和△ ABC 的面积 S.

,c=4,且 f

18. (12 分)已知数列{an}的奇数项是首项为 1 的等差数列,偶数项是首项为 2 的等比数列, * 且满足 a2+a3=a4,a11=a3+a4,记 bn=a2n﹣1(n∈N ) (1)求数列{bn}的通项公式; (2)设数列{ }的前 2014 项和为 T2014,求不超过 T2014 的最大整数.

19. (12 分)如图 1,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的 点,且 DE∥BC,DE=2,将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.

20. (13 分)某商场预计从 1 月起前 x 个月顾客对某种商品的需求总量 p(x)= x(x+1) (41 ﹣2x) (x≤12,x∈Z ) (单位:件) (1)写出第 x 个月的需求量 f(x)的表达式;
+

(2)若第 x 个月的销售量 g(x)=

(单位:

件) ,每件利润 q(x)=

(单位:元) ,求该商场销售该商品,预计第几个月的月利润达
6

到最大值?月利润的最大值是多少?(参考数据:e ≈403) 21. (14 分)设函数 f(x)= ﹣aln(1+x) ,g(x)=ln(1+x)﹣bx

(1)若函数 f(x)在 x=0 处有极值,求函数 f(x)的最大值; (2)是否存在实数 b,使得关于 x 的不等式 g(x)<0 在(0,+∞)上恒成立?若存在,求 出 b 的取值范围;若不存在,说明理由; (3)证明:不等式﹣1< ﹣lnx (n=1,2…)

湖北省鄂州市 2015 届高三上学期 11 月月考数学试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (每小题 5 分,共 50 分,下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答 案的序号填涂在答题卡上) x 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,1},B={x|1≤2 <4},则 A∩B 等于() A.{﹣1,0,1} B.{1} C.{﹣1,1} D.{0,1} 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 利用指数函数的性质求出集合 B 中不等式的解集,确定出集合 B,找出 A 与 B 的公 共元素,即可求出两集合的交集. 0 x 2 解答: 解:由集合 B 中的不等式变形得:2 ≤2 <2 , 解得:0≤x<2, ∴B=[0,2) ,又 A={﹣1,1}, 则 A∩B={1}. 故选:B 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)已知 m,n∈R,则“lnm<lnn”是“e <e ”的() A.必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D.不充分不必要条件 考点: 专题: 分析: 解答:
m m n

必要条件、充分条件与充要条件的判断. 简易逻辑. 根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解:由 lnm<lnn 得 0<m<n,
n

由 e <e 得 m<n, m n 则“lnm<lnn”是“e <e ”的必要不充分条件, 故选:B 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键.

3. (5 分)已知向量 值为() A. B. 2



,若



共线,则 m 的

C.

D.﹣2

考点: 平行向量与共线向量;平面向量的坐标运算. 分析: 先由向量的坐标运算表示出 答案. 解答: 解:由题意可知 =m(2,3)+4(﹣1,2)=(2m﹣4,3m+8) 与 , 再根据向量共线定理的坐标表示可得

=(2,3)﹣2(﹣1,2)=(4,﹣1)





共线

∴(2m﹣4)×(﹣1)=(3m+8)×4 ∴m=﹣2 故选 D. 点评: 本题主要考查向量的坐标运算和共线定理.属基础题. 4. (5 分)已知数列{an}对任意的 m、n∈N ,满足 am+n=am+an,且 a2=1,那么 a10 等于() A.3 B. 5 C. 7 D.9 考点: 数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 由 am+n=am+an,a2=1 可得 a4=2a2,a8=2a4,进而可求 a10=a2+a8. 解答: 解:∵am+n=am+an,a2=1,∴a4=2a2=2 ∴a8=2a4=4, ∴a10=a2+a8=5 故选:B. 点评: 本题主要考查由数列的递推公式推导求解数列的项,考查基本运算,属于基础试题.
*

5. (5 分)已知函数 f(x)=sin2x 向左平移 的说法正确的是() A.图象关于点(﹣ C. 在区间[﹣ ,﹣ ,0)中心对称 ]单调递增

个单位后,得到函数 y=g(x) ,下列关于 y=g(x)

B. 图象关于 x=﹣ D.在[﹣ ,

轴对称

]单调递减

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质;简易逻辑. 分析: 根据函数图象的平移变换法则“左加右减,上加下减”,易得到函数 y=sin2x 的图象向 左平移 项即可. 解答: 解: 函数 y=sin2x 的图象向左平移 =sin(2x+ ) . 时,y=sin(﹣ )≠0.图象不关于点(﹣ ,0)中心对称,∴A 不正确; 个单位, 得到的图象对应的函数为 y=sin2 (x+ ) 个单位后,得到的图象对应的函数解析式,然后利用函数的对称性,单调性判断选

对于 A,当 x=﹣ 对于 B,当 x=﹣

时,y=sin0=0,图象不关于 x=﹣ )的周期是 π.

轴对称,∴B 不正确

对于 C,y=sin(2x+

当 x= ∵[﹣

时,函数取得最大值,x=﹣ ,﹣ ]?[﹣ ,﹣ , ],

时,函数取得最小值,

∴在区间[﹣

]单调递增,∴C 正确; )的周期是 π.当 x= 时,函数取得最大值,∴在[﹣ , ]单调递

对于 D,y=sin(2x+

减不正确,∴D 不正确; 故选:C. 点评: 本题考查的知识点是函数图象的平移变换,其中熟练掌握图象的平移变换法则“左加 右减,上加下减”,是解答本题的关键 6. (5 分)如图是某几何体的三视图,则它的体积是()

A.

B.64

C.

D.32

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由题意,还原之后的几何体是三棱柱去掉一个三棱锥的几何体,结合所给数据,即 可得出结论. 解答: 解:由题意,还原之后的几何体是三棱柱去掉一个三棱锥的几何体, 易得其体积为 = ,

故选 A. 点评: 本题考查由三视图求几何体的体积,考查学生的计算能力,比较基础. 7. (5 分)如图,在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在下列命题中,错误的为()

A.AC⊥BD B. AC∥截面 PQMN C. AC=BD D.异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° 考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系. 分析: 首先由正方形中的线线平行推导线面平行,再利用线面平行推导线线平行,这样就 把 AC、BD 平移到正方形内,即可利用平面图形知识做出判断. 解答: 解:因为截面 PQMN 是正方形,所以 PQ∥MN、QM∥PN, 则 PQ∥平面 ACD、QM∥平面 BDA, 所以 PQ∥AC,QM∥BD, 由 PQ⊥QM 可得 AC⊥BD,故 A 正确; 由 PQ∥AC 可得 AC∥截面 PQMN,故 B 正确; 异面直线 PM 与 BD 所成的角等于 PM 与 QM 所成的角,故 D 正确; 综上 C 是错误的. 故选 C. 点评: 本题主要考查线面平行的性质与判定.

8. (5 分)已知 f(x)=

,则下列函数的图象错误的是()

A.

f(x﹣1)的图象 B.

f(﹣x)的图象

C.

f(|x|)的图象 |f(x)|的图象

D.

考点: 函数的图象. 专题: 作图题;函数的性质及应用. 分析: 先做出函数 f(x)的图象,通过平移变换域对称变换即可知 A 与 B 正确,根据分段 函数可知 C 正确. 解答: 解:函数 f(x)的图象如图所示:

对于 A:将函数 f(x)向右平移一个单位得 f(x﹣1) ,故 A 是正确的. 对于 B:f(﹣x)的图象与 f(x)关于 y 轴对称,故 B 是正确的. 对于 C:f(|x|)= 是偶函数,函数图象在 y 轴右侧保持不变,左右关于 y

轴对称,C 是正确的. 对于 D,∵f(x)≥0 恒成立,∴|f(x)|的图象与 f(x)的图象一样,故 D 是不正确的. 故答案选:D 点评: 本题考查函数的图象变换,属于基础题. 9. (5 分)将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六 条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点 O 为中心﹐其中 ﹐ 分别为原 点 O 到两个顶点的向量﹒若将原点 O 到正六角星 12 个顶点的向量﹐都写成为 a +b 的形式 ﹐则 a+b 的最大值为()

A.2

B. 3

C. 4

D.5

考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据题意,画出图形,结合图形,得出求 a+b 的最大值时﹐只需考虑图中 6 个顶点 的向量即可,分别求出即得结论. 解答: 解:欲求 a+b 的最大值﹐只需考虑右图中 6 个顶点的向量即可,讨论如下﹔ (1)∵ (2)∵ (3)∵ (4)∵ = ﹐∴(a,b)=(1,0) ; = = = + + + = +3 ﹐∴(a,b)=(3,1) ; = +2 ﹐∴(a,b)=(2,1) ; + = + + = + +( +2 )=2 +3 ﹐

∴(a,b)=(3,2) ; (5)∵ (6)∵ = + = + ﹐∴(a,b)=(1,1) ;

= ﹐∴(a,b)=(0,1)﹒

∴a+b 的最大值为 3+2=5﹒ 故选:D.

点评: 本题考查了平面向量的加法运算及其几何意义问题,解题时应根据题意,画出图形, 结合图形解答问题.

10. (5 分)对于函数 f(x)和 g(x) ,设 m∈{x∈R|f(x)=0},n∈{x∈R|g(x)=0},若存在 m、 n,使得|m﹣n|≤1,则称 f(x)与 g(x)互为“零点关联函数”.若函数 f(x)=e 2 (x)=x ﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数”,则实数 a 的取值范围为() A. B. C.[2,3] D.[2,4]
x﹣1

+x﹣2 与 g

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先得出函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 x=1.再设 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 的零点为 β, x﹣1 2 根据函数 f(x)=e +x﹣2 与 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数”,及新定义的零点关 2 联函数,有|1﹣β|≤1,从而得出 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 的零点所在的范围,最后利用数形结合法 求解即可. 解答: 解:函数 f(x)=e +x﹣2 的零点为 x=1. 2 设 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 的零点为 β, x﹣1 2 若函数 f(x)=e +x﹣2 与 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 互为“零点关联函数”, 根据零点关联函数,则|1﹣β|≤1, ∴0≤β≤2,如图. 由于 g(x)=x ﹣ax﹣a+3 必过点 A(﹣1,4) , 故要使其零点在区间[0,2]上,则
2 x﹣1 x﹣1 2

即 解得 2≤a≤3, 故选:C.

点评: 本题主要考查了函数的零点,考查了新定义,主要采用了转化为判断函数的图象的 零点的取值范围问题,解题中注意体会数形结合思想与转化思想在解题中的应用 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分.每小题的答案填在答题纸的相应位置)

11. (5 分)已知 α 为第二象限角,

,则 cos2α=



考点: 二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题;压轴题;三角函数的求值. 分析: 由 α 为第二象限角, 可知 sinα>0, cosα<0, 从而可求得 sinα﹣cosα 的值, 利用 cos2α= ﹣(sinα﹣cosα) (sinα+cosα)可求得 cos2α. 解答: 解:∵ ∴sin2α=﹣ ,① ∴(sinα﹣cosα) =1﹣sin2α= , ∵α 为第二象限角, ∴sinα>0,cosα<0, ∴sinα﹣cosα= ,②
2

,两边平方得:1+sin2α= ,

∴cos2α=﹣(sinα﹣cosα) (sinα+cosα) =(﹣ = . . )×

故答案为:

点评: 本题考查同角三角函数间的基本关系,突出二倍角的正弦与余弦的应用,求得 sinα ﹣cosα 的值是关键,属于中档题. 12. (5 分)某几何体三视图如图所示,其中正视图和侧视图都是等腰梯形,且上底长为 2, 下底长为 4,腰长为 ,则它的体积与表面积之比是 .

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 空间位置关系与距离.

分析: 由三视图可知:该几何体是圆台,其上下底面直径分别为 2,4,母线长为 .可得圆 台的高 h= .

分别利用圆台的体积与表面积计算公式即可得出. 解答: 解:由三视图可知:该几何体是圆台,其上下底面直径分别为 2,4,母线长为 . 表面积 S=π×1 +π×2 + 圆台的高 h= ∴圆台的体积 V= = ∴ = . . .
2 2

=10π. = .

故答案为:

点评: 本题考查了三视图、圆台的体积与表面积计算公式,属于基础题.

13. (5 分)函数 f(x)=

,则

f(x)dx 的值为 6+π.

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 利用定积分的运算法则,将所求转为﹣2 到 0 和 0 到 2 上的积分,然后计算. 解答: 解:因为函数 f(x)= ,
2

所以

( f x) dx=

= (2x﹣ x ) |

+

=6+π;

故答案为:6+π. 点评: 本题考查了定积分的运算法则的运用;利用定积分的可加性将所求化为两段定积分 计算. 14. (5 分)函数 y=f(x)的图象连续且在区间[a,b]上的左右端点分别为 A 和 B,点 M(x0, y0)是该图象上的一点,且 x0=λa+(1﹣λ)b,λ∈[0,1],令向量 若 =
2



有最大值 k,则称函数 f(x)在[a,b]上“k 阶线性近似”.若函数 f(x)=x +1 在区间

[0,1]上“k 阶线性近似”,则实数 k= .

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 转化思想;函数的性质及应用. 2 分析: 由题意可得,若 A、B 是 f(x)=x +1 图象上横坐标分别为 a、b 的两点,则 A(0, 1) ,B(1,2) ,由两点式求出 AB 的方程,代入 解答: 解:由题意,M、N 横坐标相等,
2

=|x +1﹣x﹣1|求其最大值得答案. 有最大值 k,则为 的最大值,

2

函数 f(x)=x +1 在区间[0,1]上“k 阶线性近似”, 由 A、B 是其图象上横坐标分别为 a、b 的两点,则 A(0,1) ,B(1,2) , ∴直线 AB 方程为 y=x+1 ∴ =|x +1﹣x﹣1|=|x ﹣x|∈[0, ].
2 2

∴实数 k= . 故答案为: . 点评: 题考查向量知识的运用,考查函数最值求解,解答的关键理解新概念,将已知条件 进行转化,是难题. 15. (5 分)已知函数 f(x)及其导数 f′(x) ,若存在 x0,使得 f(x0)=f′(x0) ,则称 x0 是 f (x)的一个“巧值点”,下列函数中,有“巧值点”的是①③⑤. (填上正确的序号) ①f(x)=x , ﹣x ②f(x)=e , ③f(x)=lnx, ④f(x)=tanx, ⑤f(x)=x+ .
2

考点: 导数的运算;命题的真假判断与应用. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 分别求函数的导数,根据条件 f(x0)=f′(x0) ,确实是否有解即可. 2 2 解答: 解:①中的函数 f(x)=x ,f'(x)=2x.要使 f(x)=f′(x) ,则 x =2x,解得 x=0 或 2,可见函数有巧值点; 对于②中的函数,要使 f(x)=f′(x) ,则 e =﹣e ,由对任意的 x,有 e >0,可知方程 无解,原函数没有巧值点; 对于③中的函数,要使 f(x)=f′(x) ,则 lnx= ,由函数 f(x)=lnx 与 y= 的图象它们有交 点,因此方程有解,原函数有巧值点; 对于④中的函数,要使 f(x)=f′(x) ,则 没有巧值点; ,即 sinxcosx=1,显然无解,原函数
﹣x ﹣x ﹣x

对于⑤中的函数,要使 f(x)=f′(x) ,则
2 2

,即 x ﹣x +x+1=0,设函数 g(x)=x

3

2

3

﹣x +x+1,g'(x)=3x ﹣2x+1>0 且 g(﹣1)<0,g(0)>0, 显然函数 g(x)在(﹣1,0)上有零点,原函数有巧值点. 故答案为:①③⑤. 点评: 本题主要考查导数的应用,以及函数的方程的判断,考查学生的运算能力. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (12 分)四棱锥 A﹣BCDE 的正视图和俯视图如图,其中正视图是等边三角形,俯视图是 直角梯形. (Ⅰ)若 F 为 AC 的中点,当点 M 在棱 AD 上移动时,是否总有 BF 丄 CM,请说明理由. (Ⅱ)求二面角 B﹣AD﹣C 的平面角的正切值.

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)判断总有 BF 丄 CM,可以通过取 BC 的中点 O,连接 AO,证明 AO⊥CD, 然后证明 CD⊥面 ABC,推出 CD⊥BF.BF⊥AC.通过直线与平面垂直的判定定理证明 BF⊥ 面 ACD,然后说明 BF 丄 CM. (Ⅱ)作 BH 垂直于 AD 于 H 点,连 HF,∠BHF 即为该二面角的平面角,然后解三角形即可 求二面角 B﹣AD﹣C 的平面角的正切值. 解答: 解: (Ⅰ)证明:是总有 BF 丄 CM.理由如下: 取 BC 的中点 O,连接 AO, 由俯视图可知,AO⊥平面 BCDE,CD?平面 BCDE, 所以 AO⊥CD …(2 分) 又 CD⊥BC,AO∩BC=O,所以 CD⊥面 ABC, 因为 BF?面 ABC, 故 CD⊥BF. 因为 F 是 AC 的中点,所以 BF⊥AC.…(4 分) 又 AC∩CD=D 故 BF⊥面 ACD, 因为 CM?面 ACD,所以 BF 丄 CM.…(6 分) (2) 作 BH 垂直于 AD 于 H 点, 连 HF, ∠BHF 即为该二面角的平面角, BC=AB=AC=2, BF= ,

CD=2.AD=2 tan∠BHF= =

,在△ AHF 中,∠FAH=45°,AH⊥HF,∴HF= = …(12 分)



点评: 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用,二面角的求法,考查空 间想象能力以及转化思想的应用.

17. (12 分)已知向量 =(sinx,﹣1) , =(

cosx,﹣ ) ,函数 f(x)=(

)? ﹣2.

(1)求函数 f(x)的最小正周期 T; (2)已知 a,b,c 分别为△ ABC 内角 A,B,C 的对边,其中 A 为锐角,a=2 (A)=1,求 A,b 和△ ABC 的面积 S. 考点: 解三角形;平面向量数量积的运算;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题.

,c=4,且 f

分析: (Ⅰ)利用向量数量积的坐标表示可得,结合辅助角公式可得 f(x)=sin(2x﹣ 利用周期公式 (Ⅱ)由 可得 , 可求; 结合 ,由余弦定理可得,a =b +c ﹣2bccosA,从而有 ,即 b ﹣4b+4=0,解方程可得 b,代入三角形面积公式可求. 解答: 解: (Ⅰ) = = 因为 ω=2,所以 (Ⅱ) 因为 ,所以 , (8 分) = (6 分) = (2 分) (4 分)
2 2 2 2

) ,

则 a =b +c ﹣2bccosA,所以 则 b=2(10 分) 从而

2

2

2

,即 b ﹣4b+4=0

2

(12 分)

点评: 本题主要考查了向量的数量积的坐标表示,辅助角公式的应用,三角函数的周期公 式的应用, 由三角函数值求角, 及三角形的面积公式. 综合的知识比较多, 但试题的难度不大. 18. (12 分)已知数列{an}的奇数项是首项为 1 的等差数列,偶数项是首项为 2 的等比数列, * 且满足 a2+a3=a4,a11=a3+a4,记 bn=a2n﹣1(n∈N ) (1)求数列{bn}的通项公式; (2)设数列{ }的前 2014 项和为 T2014,求不超过 T2014 的最大整数.

考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)根据等比数列和等差数列的通项公式,求出首项和公比,公差,即可求出相应 的通项公式. (2)求出数列{ }的通项公式,利用裂项法即可求前 2014 项和为 T2014,即得到得

到结论. 解答: 解: (1)设奇数项构成等差数列的公差为 d,偶数项构成的等比数列的公比为 q, 由 a2+a3=a4,a11=a3+a4,得 ,解得 d=1,q=2,

则 a2n﹣1=1+(n﹣1)×1=n,bn=a2n﹣1=n. (2) = =1+ =1+ ﹣ ,

则数列{

}的前 2014 项和为 T2014= (1+1﹣ ) + (1 ,

) +…+ (1+



=2015﹣

则不超过 T2014 的最大整数为 2014. 点评: 本题主要考查数列通项公式和前 n 项和的计算,利用裂项法法是解决本题的关键, 考查学生的计算能力. 19. (12 分)如图 1,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E 分别是 AC,AB 上的 点,且 DE∥BC,DE=2,将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图 2. (1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.

考点: 向量语言表述面面的垂直、平行关系;直线与平面垂直的判定;用空间向量求直线 与平面的夹角. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)证明 A1C⊥平面 BCDE,因为 A1C⊥CD,只需证明 A1C⊥DE,即证明 DE⊥平 面 A1CD; (2)建立空间直角坐标系,用坐标表示点与向量,求出平面 A1BE 法向量 , =(﹣1,0, ) ,利用向量的夹角公式,即可求得 CM 与平面

A1BE 所成角的大小; (3)设线段 BC 上存在点 P,设 P 点坐标为(0,a,0) ,则 a∈[0,3],求出平面 A1DP 法向 量为 假设平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,则 ,可求得 0≤a≤3,从而可得结论.

解答: (1)证明:∵CD⊥DE,A1D⊥DE,CD∩A1D=D, ∴DE⊥平面 A1CD, 又∵A1C?平面 A1CD,∴A1C⊥DE 又 A1C⊥CD,CD∩DE=D ∴A1C⊥平面 BCDE (2)解:如图建系,则 C(0,0,0) ,D(﹣2,0,0) ,A1(0,0,2 (﹣2,2,0) ∴ 设平面 A1BE 法向量为 ,

) ,B(0,3,0) ,E







∴ 又∵M(﹣1,0, ) ,∴ =(﹣1,0, )

∴ ∴CM 与平面 A1BE 所成角的大小 45° (3)解:设线段 BC 上存在点 P,设 P 点坐标为(0,a,0) ,则 a∈[0,3] ∴ 设平面 A1DP 法向量为 ,





∴ 假设平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直,则 ∴3a+12+3a=0,6a=﹣12,a=﹣2 ∵0≤a≤3 ∴不存在线段 BC 上存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直 ,

点评: 本题考查线面垂直,考查线面角,考查面面垂直,既有传统方法,又有向量知识的 运用,要加以体会.

20. (13 分)某商场预计从 1 月起前 x 个月顾客对某种商品的需求总量 p(x)= x(x+1) (41 ﹣2x) (x≤12,x∈Z ) (单位:件) (1)写出第 x 个月的需求量 f(x)的表达式;
+

(2)若第 x 个月的销售量 g(x)=

(单位:

件) ,每件利润 q(x)=

(单位:元) ,求该商场销售该商品,预计第几个月的月利润达
6

到最大值?月利润的最大值是多少?(参考数据:e ≈403) 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.

专题: 导数的综合应用. 分析: (1)当 x≥2 时,

,验证对 x=1 成立即可; (2)利用导数判断函数的单调性,即可求得函数的最大值. 解答: 解: (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=39;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1 分) 当 x≥2 时,

﹣﹣﹣(2 分) ∴f(x)=﹣3x +42x(x≤12 且 x∈Z )﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) (2)设月利润为 h(x) ,则
2 +

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) ∴ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 当 1≤x≤6 时,h'(x)≥0,当 6<x<7 时,h'(x)<0,h(x)在 x∈[1,6]单调递增,在(6,7) 上单调递减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) + 6 ∴当 1≤x<7 且 x∈Z 时,h(x)max=h(6)=30e ≈12090,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (11 分) 当 7≤x≤8 时,h′(x)≥0,当 8≤x≤12 时,h′(x)≤0, ∴h(x)在 x∈[7,8]上单调递增,在(8,12)上单调递减,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) 当 7≤x≤12 且 x∈Z*时,h(x)max=h(8)=2987<12090,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (13 分) 综上,预计该商品第 6 个月的月利润达到最大,最大利润约为 12090 元﹣﹣﹣﹣﹣(14 分) 点评: 本题主要考查学生的分析问题、解决问题的能力,考查利用导数研究函数的单调性、 求函数的最值的知识及学生的运算求解能力,属于中档题.

21. (14 分)设函数 f(x)=

﹣aln(1+x) ,g(x)=ln(1+x)﹣bx

(1)若函数 f(x)在 x=0 处有极值,求函数 f(x)的最大值; (2)是否存在实数 b,使得关于 x 的不等式 g(x)<0 在(0,+∞)上恒成立?若存在,求 出 b 的取值范围;若不存在,说明理由; (3)证明:不等式﹣1< ﹣lnx (n=1,2…)

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)函数 f(x)在 x=0 处有极值,可得 f′(0)=0,解得 a.再利用导数研究函数的 单调性极值与最值即可得出. (2)由已知得:g′(x)= ﹣b,对 b 分类讨论:b≥1,b≤0,0<b<1,利用导数研究函数

的单调性极值与最值即可得出. (3)由以上可得: 即可得出. 解答: 解: (1)由已知得:f′(x)= ∴f′(0)=1﹣a=0,解得 a=1. ∴f(x)= , ﹣ ,且函数 f(x)在 x=0 处有极值, ,取 x= ,可得 ,

∴f′(x)=

=



当 x∈(﹣1,0)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当 x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,f(x) 单调递减. ∴函数 f(x)的最大值为 f(0)=0. (2)由已知得:g′(x)= ﹣b,

(i)若 b≥1,则 x∈(0,+∞)时,g′(x)<0 恒成立; ∴函数 g(x)在 x∈(0,+∞)上为减函数, ∴函数 g(x)<g(0)=0 在 x∈(0,+∞)上恒成立. (ii)若 b≤0,则 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0. ∴g(x)在 x∈(0,+∞)上为增函数, ∴g(x)>g(0)=0,不能使 g(x)<0 在 x∈(0,+∞)恒成立; (iii)若 0<b<1,则 g′(x)= 当 x∈ ﹣b=0 时,x= ﹣1, 上为增函数,

时,g′(x)≥0,∴g(x)在 x∈

此时 g(x)>g(0)=0, ∴不能使 g(x)<0 在 x∈(0,+∞)恒成立; 综上所述,b 的取值范围是[1,+∞) . (3)证明:由以上可得: 取 x= ,可得 , ,





则 x1= ,xn﹣xn﹣1= ∴数列{xn}是单调递减数列, ∴xn≤x1= , n≥2 时,xn﹣xn﹣1= ∴xn﹣x1 ∴ , .



=﹣

<0,







综上可得:﹣1<

﹣lnx

(n=1,2…)成立.

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法, 考查了利用导数证明不等式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.


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