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高中数学第一章导数及其应用1.2导数的计算基本函数推导过程素材新人教A版选修2_2

基本函数推导过程 这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程: ⒈y=c(c 为常数) y'=0 ⒉y=x^n y'=nx^(n-1) 3.y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x ⒋y=logax(a 为底数,x 为真数) y'=1/x*lna y=lnx y'=1/x ⒌y=sinx y'=cosx ⒍y=cosx y'=-sinx ⒎y=tanx y'=1/cos^2x ⒏y=cotx y'=-1/sin^2x ⒐y=arcsinx y'=1/√(1-x^2) ⒑y=arccosx y'=-1/√(1-x^2) ⒒y=arctanx y'=1/(1+x^2) ⒓y=arccotx y'=-1/(1+x^2) ⒔y=u^v ==> y'=v' * u^v * lnu + u' * u^(v-1) * v 引用的常用公式: 在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到: ⒈y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中 g(x)看作整个变量,而 g'(x)中把 x 看 作变量』 ⒉y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 ⒊y=f(x)的反函数是 x=g(y),则有 y'=1/x' 2 推导过程: 证:1.显而易见,y=c 是一条平行于 x 轴的直线,所以处处的切线都是平行于 x 的,故斜率 为 0。用导数的定义做也是一样的:y=c,△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。 ⒉这个的推导暂且不证, 因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到 n 为任意实数的 一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x 和 y=lnx y'=1/x 这两个结果后能用复合函数的求导给予 证明。 ⒊y=a^x, △y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1) △y/△x=a^x(a^△x-1)/△x 如果直接令△x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数 β =a^△x-1 通过换元进 行计算。由设的辅助函数可以知道:△x=loga(1+β )。 所以(a^△x-1)/△x=β /loga(1+β )=1/loga(1+β )^1/β 显然, 当△x→0 时, β 也是趋向于 0 的。 而 limβ →0 (1+β ) ^1/β =e, 所以 limβ →01/loga (1+β )^1/β =1/logae=lna。 把这个结果代入 lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x 后得到 lim△x→0△y/△x=a^xlna。 可以知道,当 a=e 时有 y=e^x y'=e^x。 1 ⒋y=logax △y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x △y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x 因为当△x→0 时,△x/x 趋向于 0 而 x/△x 趋向于∞,所以 lim△x→0loga (1+△x/x)^(x/△x)=logae,所以有 lim△x→0△y/△x=logae/x。 可以知道,当 a=e 时有 y=lnx y'=1/x。 这时可以进行 y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为 y=x^n,所以 y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以 y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。 ⒌y=sinx △y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2) △y/△x=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)/△x=cos(x+△x/2)sin(△x/2)/(△x/2) 所以 lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2) ·lim△x→0sin (△x/2) / (△x/2) =cosx ⒍类似地,可以导出 y=cosx y'=-sinx。 ⒎y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x ⒏y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x ⒐y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 ⒑y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 ⒒y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 ⒓y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 ⒔联立: ①(ln(u^v))'=(v * lnu)' ②(ln(u^v))'=ln'(u^v) * (u^v)'=(u^v)' / (u^v) 另外在对双曲函数 shx,chx,thx 等以及反双曲函数 arshx,archx,arthx 等和其他较复杂的复 合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与 ⒋y=u 土 v,y'=u'土 v' ⒌y=uv,y=u'v+uv' 均能较快捷地求得结果。 2