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大纲版高二(上)〈抛物线及其标准方程1〉课件(几何画板)


抛物线及其标准方程 (一)

冬天来了,有一位园丁打算用一些梅花布 置花园,花园中有一棵大树,花园边有一排围 栏,要使栽植的每一颗梅花与大树的距离和它 与围栏的距离相等。那么他要把这些梅花栽植 成什么形状呢?
M

帮 帮 忙
F

l

椭圆、双曲线
平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的 距离的比是常数e的点的轨迹. 当0<e<1时,是椭圆; 当e>1时,是双曲线. 当e=1时,是什么曲线呢?
l

M
F · F

M

l

l

·
e>1

·
M

· F

0<e <1

e=1

数学这门学科不仅需要观察,还需要实验。(欧拉)

1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. N l

M

定点 F 叫做抛物线的焦点,
定直线 l 叫做抛物线的准线.

· · F

即: 若

MF MN

? 1, 则点M的轨迹是抛物线.

抛物线与椭圆、双曲线
平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的 距离的比是常数e的点的轨迹. 当0<e<1时,是椭圆; 圆 锥 当e>1时,是双曲线. 曲 当e=1时,是抛物线。 线
l M

M
F

l

l

·
F

·
e>1

·
M

· F

0<e <1

e=1

赵州桥

2.抛物线的标准方程
解析法

建系

几何关系式

代数关系式
设点

求曲线方程 的基本步骤 是怎样的?

l N
M

· · F

列式

化简

证明

2-1.抛物线的标准方程的推导
设一个定点F到一条定直线l的距离为常数p (p>0), 如何建立直角坐标系,求出抛物线的方程呢?

l

N K

M

· · F

解:取过点F且垂直于l 的直线为x轴,x轴与l交 于K,以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标 系,

p p 则点F( ,0),l的方程为 x ? ? . 2 2
l

y
M

N K o

· · F

x

2-2.抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px(p>0)叫做 抛物线的标准方程.
y

其中 p 为正常数,它的几何 意义是:焦点到准线的距离. K o

N

M

· · F

x

对“标准”的理解 y2 = 2px(p>0)
l N
M

y N K o
M

· · F

· · F

x

一般地,我们把顶点在原点、焦点F 在坐标 轴上的抛物线的方程叫做抛物线的标准方程. 但是,一条抛物线,由于它在坐标平面内的 位置不同,方程也不同,所以抛物线的标准方 程还有其它形式.

2-3.抛物线标准方程的其他形式
l N y
M

· · F
F

N

M

K o

· · F
y

x

· ·

M

M

· ·
F
o N x

l

N

l

﹒ ﹒ ﹒
o
y

图象 y

开口方向

标准方程

焦点

准线

x

向右 向左

y 2 ? 2 px ( p ? 0) y ? ?2 px
2

p F ( , 0) 2 p F (? , 0) 2 p F (0, ) 2 p F (0, ? ) 2

p x?? 2 p x? 2 p y?? 2 p y? 2

o

x

( p ? 0) x 2 ? 2 py ( p ? 0) x ? ?2 py
2

y

o
y

x

向上


o

x

向下

( p ? 0)

3.例题讲解:

(1)已知抛物线的标准方程是 y 求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线方程是 的焦点坐标和准线方程;

2

? 6x ,

y ? 6x

2

,求它

(3)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程.

练习
1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2 = 20x (3)2y2 +5x =0 (2)y=-2x2 (4)x2 -y =0

注意:求抛物线的焦点坐标一定要 先把抛物线的方程化为标准形式.

2.根据下列条件,写出抛物线的标准方程:

(1)焦点是F(3,0);
1 (2)准线方程 是x = ? ; 4

y2 =12x y2 =x

(3)焦点到准线的距离是2.

y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y或 x2 = -4y.

小结与作业:
1.抛物线的定义和标准方程的推导; 2.抛物线的四种标准方程及相应的焦点坐标、准线方程; 3.数形结合的思想;
形(曲线位置特征) 数(方程形式特征)

定位分析

定量分析

4.数学的简洁美、对称美、统一美。 作业:课本 P133: 3、4、6

反而之: 那数字、 符号 、字母 、式子与图形, 这一个个可爱的小精灵, 在生活中的每个角落都有它们的精彩表演, 令人流连忘返。 稍稍一想, 这一个个可爱的小精灵, 就会为你表演出它们与生活最贴切的一面. 这一面上, 你就会发现, 你甩不开它们, 你也绝对不舍得甩开它们. 到那时, 你就知道, 数学实际上一点也不会不实用, 数学用途很广泛,很实用!
Ying1


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