当前位置:首页 >> 数学 >>

2015-2016学年高中数学 2.4第2课时 等比数列的性质课件 新人教A版必修5


成才之路 ·数学
人教A版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章 数列

第二章
2.4 等比数列 第2课时 等比数列的性质

1

自主预习学案

2

课堂探究学案

3

课 时 作 业

自主预习学案

1.了解等比数列的性质的由来. 2.掌握等比数列的性质并能综合运用.

1915 年 , 波 兰 数 学 家 谢 尔 宾 斯 基 (W.Sierpinski) 创 造 了 一 个 美 妙 的 “ 艺 术 品”,被人们称为谢尔宾斯基三角形,如 图所示.如果我们来看一看图中那些白色 三角形的个数,并把它们按面积大小,从 小到大依次排列起来,可以得到一列数:1,3,9,27,81,??我们 知道,这些数构成等比数列,那么等比数列具有哪些独特的性 质呢?

an+1 1. 已知{an}为等比数列, 则对于任意正整数 n, 都有 a = n q ________. an 2. 已知{an}为等比数列, 则对于任意正整数 n、 m 都有a = m
n-m q ________.

3. 若{an}为等差数列,则
a5+a6 成等差数列. (1)a1+a2,a3+a4,________ am+k (2)am,________ ,am+2k(m,k∈N*)成等差数列. a11 2 (3)a7+a9=a5+________ =________ a8.

1 1. 已知{an}是等比数列, (1)试探讨{3an}, {a }, {|an|}, {- n 1 2an}是等比数列吗? (2)a1+a2,a3+a4,a5+a6 成等比数列吗?a1a2,a3a4,a5a6 成等比数列吗? (3)计算 a5· a11,a3· a13,a1· a15,你发现了什么?

等比数列主要有以下性质: (1)若{an}是公比为 q 的等比数列,c 为非零常数,则数列 {can}仍是等比数列,且公比不变仍为 q. 1 1 (2)若{an}是公比为 q 的等比数列,则数列{a }是公比为q的 n 等比数列,数列{|an|}是公比为|q|的等比数列. (3)若数列{an},{bn}是公比分别为 q,q′的等比数列,则 数列{an· bn}是公比为 qq′的等比数列.

(4)若{an}是等比数列, 且 m+n=p+q(m, n, p, q∈N*). 则 am· an=ap· aq,特别地,当 m+n=2p 时,am· an=a2 p; 若{an}是有穷数列,则与首末两项等距离的两项积相等, 且等于首末两项之积,即 a1an=a2an-1=?. (5)若{an}为等比数列, 公比为 q, 则 an=amqn m(m, n∈N*).


(6)若{an}是等比数列,每隔 k(k∈N*)项取出一项,按原来 的顺序排列,所得数列仍是等比数列,且公比为 qk+1.

(7)在等比数列{an}中,连续取相邻 k(k∈N*)项的和(或积) 构成公比为 qk(或 qk2)的等比数列. (8){an}是等差数列,c 是正数,则数列{can}是等比数列. (9){an}是等比数列,且 an>0,则{logaan}(a>0,a≠1)是等 差数列.

1 (1)(2015· 全国Ⅱ文,9)已知等比数列{an}满足 a1=4,a3a5 =4(a4-1),则 a2=( A.2 1 C.2 ) B.1 1 D.8

(2) 已 知 {an} 是 等 比 数 列 , 且 an>0 , a2a4 + 2a3a5 + a4a6 =
25,那么a3+a5=( A.5 C.15 [答案] (1)C (2)A ) B.10 D.20

[解析]

3 由题意可得 a3a5=a2 = 4( a - 1) ? a = 2 ,所以 q 4 4 4

a4 1 =a =8?q=2,故 a2=a1q=2,选 C. 1
2 (2)由等比数列的性质,得 a4a6=a2 5,a2a4=a3, 2 ∴(a3+a5)2=a2 + 2 a a + a 3 3 5 5,

=a2a4+2a3a5+a4a6=25, ∴a3+a5=± 5. ∵an>0,∴a3+a5=5.

2 .试举例探究公比为 q 的等比数列 {an} ,当 q>1 , q = 1 ,
q<1不同情形下{an}的增减变化规律. 等比数列的单调性 (1) 当 a1>0 , q>1 或 a1<0,0<q<1 时,等比数列 {an} 为递增数 列;

(2) 当 a1>0,0<q<1 或 a1<0 , q>1 时,等比数列 {an} 为递减数
列; (3)当q=1时,数列{an}是常数列; (4)当q<0时,数列{an}是摆动数列.

等比数列{an}中,首项为a1,公比为q,则下列条件中,使 {an}一定为递减数列的条件是( )

A.|q|<1
B.a1>0,q<1 C.a1>0,0<q<1或a1<0,q>1 D.q>1 [答案] C

[解析]
a1<0,q>1.

等比数列的增减性由首项的符号以及公比的绝对

值来决定.由 an + 1 - an = a1qn - 1(q - 1)<0 ,得 a1>0,0<q<1 ,或

课堂探究学案

等比数列的性质
在等比数列 {an} 中,已知 a4a7 =- 512 , a3 + a8 =124,且公比为整数,则a10=__________. [答案] 512

[解析] 由等比数列的性质,得 a3a8=a4a7=-512,
? ?a3+a8=124 由? ? ?a3a8=-512 ? ?a3=-4 ? ? ?a8=128

,得

? ?a3=128 或? ? ?a8=-4

.

∵q 为整数, ∴a3=-4,a8=128. a8 128 ∴q = a = =-32, - 4 3
5

∴q=-2. ∴a10=a8· q2=128×4=512.

[方法规律总结]

1 (1)若{an}为等比数列,则{a },{|an|}, n

{a2 n},{pan}(p≠0),{anan+k}均为等比数列; an (2)若{an},{bn}均为等比数列,则{anbn},{b }都是等比数 n 列. (3)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 am· an=ap· aq. (4)若等比数列的下标具有某种规律时,应考虑应用性质求 解.

(1) 在 等 比 数 列 {an} 中 , 已 知 a7a12 = 5 , 则 a8a9a10a11 = __________.

(2){an} 为等比数列,且 a1a9 = 64 , a3 + a7 = 20 ,则 a11 =
________. (3)在等比数列{an}中,若a2·a8=36,a3+a7=15,则公比 q值的个数可能为( A.1个 ) B.2个

C.3个
[答案] (1)25

D.4个
(2)1或64 (3)D

[解析] (1)解法一:∵a7a12=a8a11=a9a10=5, ∴a8a9a10a11=52=25.
17 解法二:由已知得 a1q6· a1q11=a2 q =5, 1

∴a8a9a10a11=a1q7· a1q8· a1q9· a1q10=a4 q34=(a2 q17)2=25. 1· 1· (2)∵a1a9=a3a7=64, ∴a3,a7 是方程 x2-20x+64=0 的两根.
? ?a3=4 解得? ? ?a7=16 ? ?a3=16 或? ? ?a7=4

.

①若 a3=4,a7=16,则由 a7=a3q4 得,q4=4, ∴a11=a7q4=16×4=64. 1 ②若 a7=4,a3=16,则由 a7=a3q 得,q =4,
4 4

1 ∴a11=a7q =4×4=1.
4

故 a11=64,或 a11=1.

(3)∵a2· a8=a3· a7,
? a7=36, ?a3· ∴由? ? ?a3+a7=15,

解得 a3=3,a7=12,或 a3=12,a7=3. 若 a3=3,a7=12,则有 12=3×q4, ∴q4=4, ∴q2=2,q=± 2. 若 a3=12,a7=3,则有 3=12×q4, 1 1 2 2 ∴q =4,q =2,q=± 2 .
4

∴q 的值可能有 4 个.

等比数列的设项技巧 已知四个数前三个成等差,后三个成等比,中 间两数之积为16,首尾两个数之积为-128,求这四个数.

[分析]

求四个数,给出四个条件,若列四个方程组成方

程组虽可解 ,但较麻烦,因此可依据条件减少未知数的个 数.设未知数时,可以根据前三个数成等差来设,也可以依据 后三个数成等比来设,还可以依据中间 ( 或首尾 ) 两数之积来 设,关键是要把握住未知量要尽量少,下一步运算要简捷.

2a a [解析] 设四个数为 q -a、q、a、aq,
2 a ? ? q =16 则由题意得? ??2a-a?· aq=-128 q ?



? ?a=8 解得? ? ?q=4

? ?a=-8 或? ? ?q=4

.

因此所求的四个数为-4,2,8,32 或 4,-2,-8,-32.

[点评] (1)根据四个数中前 3 个成等差、后三个成等比列 方程时,可以据后三个成等比用 a、q 表示四个数,也可以据前 三个成等差,用 a、d 表示四个数,由于中间两数之积为 16, a 将中间两个数设为q,aq 这样既可使未知量减少,同时解方程 也较为方便. (2)注意到中间两数的特殊地位,可设第三个数为 x,则第 16 32 x3 二个数为 x ,则第一个数为 x -x,最后一个数为16,再利用首 x3 ?32 ? ? -x?=-128, 尾两数之和为-128 可列出关于 x 的方程16· 解 ?x ? 之得 x=± 8,则更简捷.

[方法规律总结] 等比数列中的设项方法与技巧 a (1)若三个数成等比数列, 可设三个数为 a, aq, aq 或q, a,
2

aq. (2)若四个数成等比数列,可设 a,aq,aq2,aq3;若四个数 a a 均为正(负)数,可设q3,q,aq,aq3.

(1) 有四个数成等比数列,将这四个数分别减去 1,1,4,13 , 则成等差数列,则这四个数为________. (2)三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列三个数,

又可成为等比数列,这三个数的和为6,则这三个数为
________. [答案] (1)3,6,12,24 (2)-4,2,8

[ 分析 ]

(1) 四个数成等比数列,可用第一个数与公比 q 表

示各数,然后按所给条件列方程组求解. (2)三个数适当排列,不同的排列方法有 6种,但这里不必 分成6 种,因为若以三个数中哪一个数为等比中项分类,则只 有三种情况,因此对于分类讨论问题,恰当的分类是解决问题 的关键.

[解析] (1)设这四个数分别为 a、aq、aq2、aq3,则 a-1, aq-1,aq2-4,aq3-13 成等差数列,
2 ? 2 ? aq - 1 ? = ? a - 1 ? + ? aq -4? ? ∴? 2 3 ? 2 ? aq - 4 ? = ? aq - 1 ? + ? aq -13? ? 2 ? a ? q - 1 ? =3 ? 整理得? 2 ? aq ? q - 1 ? =6 ?



,解得 q=2,a=3.

因此所求四个数为 3,6,12,24.

(2)由已知,可设这三个数为a-d,a,a+d,则a-d+a+ a+d=6,∴a=2, 这三个数可表示为2-d,2,2+d, ①若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d),解之得d=

6,或d=0(舍去).此时三个数为-4,2,8.
②若2+d是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),解之得d= -6,或d=0(舍去).此时三个数为8,2,-4. ③若2为等比中项,则22=(2+d)·(2-d),∴d=0(舍去). 综上可知此三数为-4,2,8.

数列的开放探究题

已知数列{an}是各项为正数的等比数列,数列 1 {bn}定义为 bn=n[lga1+lga2+?+lgan-1+lg(kan)], 是否存在实 数 k,使得数列{bn}为等差数列?并证明你的结论.
[分析] 先利用数列{an}是等比数列,求出数列{bn}的通项

公式,再求bn+1-bn,看使它成为常数的条件是什么?

[解析] 设数列{an}的公比为 q,则 an=a1qn-1, 1 bn=n[lga1+lg(a1q)+lg(a1q2)+?+lg(ka1qn-1)], 1 1 解得 bn=n[nlga1+2n(n-1)lgq+lgk] 1 1 =lga1+2(n-1)lgq+nlgk,

1 1 1 ∴bn+1-bn=[lga1+2nlgq+ lgk]-[lga1+2(n-1)lgq+ n+1 1 nlgk] 1 1 =2lgq- lgk. n?n+1? 要使数列{bn}为等差数列,只需 k=1, 故存在实数 k=1,使得数列{bn}成为等差数列.

[ 方法规律总结 ]

1. 解答存在型数列开放探究题时,先假

设存在,然后依题设条件和等差(等比)数列的定义、性质,通 项及前n项和寻找解题的突破口. 2.①若{an}是等差数列,c是正数,则数列{can}是等比数 列;②若{an}是等比数列,且an>0,则{logaan}(a>0,a≠1)是等 差数列,这两个基本性质反映了等差、等比数列可以互相转 化.

在公差不为零的等差数列 {an} 和等比数列 {bn} 中,已知 a1

=1,且a1=b1,a2=b2,a8=b3.
(1)求数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q; (2)是否存在常数a,b使得对一切正整数n,都有an=logabn

+b成立?若存在,求出a和b;若不存在,说明理由.

[解析] (1)由已知 a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,得
? ?1+d=q ? 2 ? 1 + 7 d = q ? ? ?q=6 ,解得? ? ?d=5 ? ?q=1 或? ? ?d=0

(舍去).

(2)假设存在 a,b 使得 an=logabn+b 成立, 即有 1+5(n-1)=loga6n-1+b. 整理,得(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0. ∵an=logabn+b 对一切正整数 n 恒成立.
? ?5-loga6=0 ∴? ? ?4+b-loga6=0

,∴a= 6,b=1.

5

已知-7,a1,a2,-1 四个实数成等差数列, a2-a1 -4, b1, b2, b3, -1 五个实数成等比数列, 则 b =________. 2
[错解] ∵-7,a1,a2,-1 成等差数列, 1 ∴a2-a1=3[(-1)-(-7)]=2,

∵-4,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列, ∴b2 (-1)=4, 2=(-4)· ∴b2=± 2. a2-a1 ∴ b =± 1. 2

[ 辨析 ] 误.

对等比数列中项的符号 变化规律弄不清导致错 ....

[正解] -1 1 q =2,
2

解法一:设等差数列的公差为 d,等比数列

的公比为 q,则有-7+3d=-1,-4×q4=-1,解得 d=2,

1 所以 a2-a1=d=2,b2=-4×q =-4×2=-2,
2

a2-a1 2 所以 b = =-1. -2 2

解法二:因为-7,a1,a2,-1 四个实数成等差数列, 1 所以 a2-a1=3[(-1)-(-7)]=2, 因为-4,b1,b2,b3,-1 五个实数成等比数列, 所以-4,b2,-1 成等比数列,所以 b2 2=(-4)×(-1)=4, 所以 b2=2 或 b2=-2, 由 b2 1=-4×b2>0 知 b2<0,所以 b2=-2, a2-a1 2 所以 b = =-1. - 2 2

[ 警示 ]

对于等比数列 {an} ,若公比为正数,则每一项同

号,若公比为负数,则所有奇数项的符号相同,所有偶函数项 的符号相同.如本例中,无论公比是正数还是负数,b2与-4一 定同号.

? ?等比数列的性质 等比数列的性质? ? ?等比数列与等差数列的关系


相关文章:
2015-2016学年高中数学 2.4等比数列(第2课时)学案设计 ....pdf
2015-2016学年高中数学 2.4等比数列(第2课时)学案设计 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。第二章 数列 2.4 等比数列 2.4 等比数列(第2课时) 学习目标 ...
...数列第2课时等比数列的性质课件新人教A版必修5_图文....ppt
2016_2017学年高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质课件新人教A版必修5 - 第二章 数列 2.4 等比数列 第 2 课时 等比数列的性质 [学习目标] 1...
高中数学2.4第2课时等比数列的性质练习新人教A版必修5.doc
高中数学2.4第2课时等比数列的性质练习新人教A版必修5 - 【成才之路】2015-2016 学年高中数学 2.4 第 2 课时 等比数列的性 质练习 新人 A 教版必修 5 一、...
高中数学2.4第2课时等比数列的性质课件新人教A必修5_图文.ppt
高中数学2.4第2课时等比数列的性质课件新人教A必修5 - 成才之路 数学 人教A版 必修5 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 数列 第二章 2.4 等比数列 ...
_学年高中数学2.4第2课时等比数列的性质练习新人教A版....doc
_学年高中数学2.4第2课时等比数列的性质练习新人教A版必修5 - 【成才之路】2015-2016 学年高中数学 2.4 第 2 课时 等比数列的性 质练习 新人 A 教版必修 5...
2015-2016年最新审定人教A版高中数学必修五:2.4.2 等比....ppt
2015-2016年最新审定人教A版高中数学必修五:2.4.2 等比数列的性质(优秀课件)_数学_高中教育_教育专区。最新审定人教A版高中数学必修五优秀课件 等比数列的性质 【...
...学年高中数学 2.4第2课时 等比数列的性质练习 新人....doc
【成才之路】学年高中数学 2.4第2课时 等比数列的性质练习 新人教A版必修5 【成才之路】2015-2016 学年高中数学 2.4 第 2 课时 等比数列的性 质练习 新人 A...
...数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质高....doc
_学年高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质高效测评新人教A版必修5 - 2016-2017 学年高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第 2 课时 等 比...
...2016-2017学年高中数学人教A版必修5课件:2.4.2 等比....ppt
【测控指导】2016-2017学年高中数学人教A版必修5课件:2.4.2 等比数列的性质_数学_高中教育_教育专区。第2课时 等比数列的性质 -1- 第2课时 等比数列的性质 M...
...2.4第2课时 等比数列的性质课件 新人教A版必修5_图....ppt
【成才之路】学年高中数学 2.4第2课时 等比数列的性质课件 新人教A版必修5 - 成才之路 数学 人教A版 必修5 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第二章 数列...
2015高中数学第1部分2.4第2课时等比数列的性质课时跟踪....doc
2015高中数学第1部分2.4第2课时等比数列的性质课时跟踪检测新人教A版必修5 - 课时跟踪检测(十一) 一、选择题 等比数列的性质 1 1.等比数列{an}的公比 q=-,...
...2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5.ppt
【名师一号】(学习方略)2015-2016学年高中数学 2.2.2等差数列的性质课件 新人教A版必修5_数学_高中教育_教育专区。第二章 数列 §2.2 等差数列 第二课时 ...
...数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质高....doc
2016_2017学年高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质高效测评新人教A版必修5 - 比数列的性质高效测评 新人教 A 版必修 5 一、选择题(每小题 5...
2.4等比数列第2课时等比数列的性质 课件(人教A版必修5)....ppt
2.4等比数列第2课时等比数列的性质 课件(人教A版必修5)_数学_高中教育_教育专区。新课标 数学教 学教法分析教学方案设计课前自主导学 必修5 思想方法技巧当堂...
...2.4等比数列第1课时等比数列课件新人教A版必修5_图....ppt
2016_2017学年高中数学第二章数列2.4等比数列第1课时等比数列课件新人教A版必修5 - 2.4 等比数列 第1课时 等比数列 自主学习 新知突破 1.理解等比数列的定义,...
...数列第2课时等比数列的性质课件新人教A版必修5_图文....ppt
高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质课件新人教A版必修5_教学
...2.4第二课时等比数列的性质课件新人教A版必修5_图文....ppt
高中数学第二章数列2.4第二课时等比数列的性质课件新人教A版必修5 - 第二课时
...2.4等比数列第2课时等比数列的性质课件新人教A必修5....ppt
新课标高中数学第2章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质课件新人教A必修5 - 新课标导学 数学 必修5 人教A版 第二章 数列 2.4 等比数列 第2课时 等比数列...
...等比数列2.4.2等比数列的性质课件新人教A版必修5_图....ppt
2017_2018学年高中数学第二章数列2.4等比数列2.4.2等比数列的性质课件新人教A版必修5 - 第2课时 等比数列的性质 1.复习巩固等比数列的概念及其通项公式. 2....
2018年秋高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质....doc
2018年秋高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质学案新人教A版必修5 - 第 2 课时 等比数列的性质 学习目标:1.掌握等比数列的性质及其应用(重点)....
更多相关文章: