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2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)理数


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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 理 数

本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题,共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合 M={-1,0,1},N={0,1,2},则 M∪N=( ) A.{0,1} B.{―1,0,2} C.{―1,0,1,2} D.{―1,0,1} 2.已知复数 z 满足(3+4i)z=25,则 z=( ) A.―3+4i B.―3―4i C.3+4i

D.3―4i

?y ? x ? 3.若变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 m-n=( ? y ? ?1 ?
A.5 B.6 C.7 D.8



4.若实数 k 满足 0<k<9,则曲线 A.焦距相等

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 的( ? ? 1 与曲线 25 ? k 9 25 9 ? k
C.虚半轴长相等



B.实半轴长相等

D.离心率相等 ) D. (―1,0,1)

5.已知向量 a=(1,0,―1) ,则下列向量中与 a 成 60°夹角的是( A. (―1,1,0) B. (1,―1,0) C. (0,―1,1)

6.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示。为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分 层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )

A.200,20

B.100,20

C.200,10

D.100,10 )

7.若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( A.l1⊥l4 B.l1∥l4 C.l1 与 l4 既不垂直也不平行 D.l1 与 l4 的位置关系不确定

8. 设集合 A={(x1, x2, x3, x4, x5)|xi∈{-1, 0, 1}, i=1, 2, 3, 4, 5}, 那么集合 A 中满足条件 “1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5| ≤3”的元素个数为( ) A.60 B.90 C.120 D.130

?2?

第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分。 (一)必做题(9~13 题) 9.不等式|x-1|+|x+2|≥5 的解集为________。 10.曲线 y=e
-5x

+2 在点(0,3)处的切线方程为________。

11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是 6 的概率为________。

12.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的分别为 a,b,c。已知 bcosC+ccosB=2b,则

a ? ________。 b

13.若等比数列{an}的各项均为正数,且 a10a11+a9a12=2e5,则 lna1+lna2+?+lna20=________。 (二)选做题(14~15 题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线 C1 与 C2 的方程分别为 2? cos2 ? ? sin ? 与 ? cos ? ? 1 , 以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标 为________。 15. (几何证明选讲选做题)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=2AE, AC 与 DE 交于点 F,则

?CDF的面积 ? ________。 ?AEF的面积

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin ? x ? (1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ? f ( ?? ) ?

? ?

??

? 5? ? 3 ? , x ? R ,且 f ? ?? 。 4? ? 12 ? 2 ? 3? ? f? ?? ? 。 ? 4 ?

3 ? ?? , ? ? ? 0, ? ,求 2 ? 2?

17. (本小题满分 13 分) 随机观测生产某种零件的某工厂 25 名工人的日加工零件数(单位:件) ,获得数据如下:30,42,41,36, 44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36。 根据上述数据得到样本的频率分布表如下: 分组 [25,30] 频数 3 频率 0.12

?3?

(30,35] (35,40] (40,45] (45,50]

5 8 n1 n2

0.20 0.32 f1 f2

(1)确定样本频率分布表中 n1,n2,f1 和 f2 的值; (2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图; (3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取 4 人,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率。

18. (本小题满分 13 分) 如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC 于点 F,FE∥CD,交 PD 于点 E。 (1)证明:CF⊥平面 ADF; (2)求二面角 D—AF—E 的余弦值。

19. (本小题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+1―3n2―4n,n∈N*,且 S3=15。 (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)求数列{an}的通项公式。

20. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 5 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点为 ( 5, 0) ,离心率为 。 a b 3
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P(x0,y0)为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的轨迹方程。

21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?

1 ( x ? 2 x ? k ) ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3
2 2

,其中 k<-2。

(1)求函数 f ( x ) 的定义域 D(用区间表示) ; (2)讨论函数 f ( x ) 在 D 上的单调性;

?4?

(3)若 k<-6,求 D 上满足条件 f ( x) ? f (1) 的 x 的集合(用区间表示) 。

参考答案 1.C 2.D

3.B

4.A

5.B

6.A 11.

7.D 12.2

8.D 13.50 14. (1,1) 15.9

9.{x|x≤-3 或 x≥2} 16.解: (1) f ?

10.5x+y-3=0

1 6

? 5? ? ? 5? ? ? 3 ? ?? , ? ? A sin ? ? 12 ? ? 12 4 ? 2

∴ A?

2 3 ? , A? 3 。 2 2 ? ?

(2) f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin ? ? ?

??

?? 3 ? ? ? 3 sin ? ?? ? ? ? , 4? 4? 2 ?

∴ 3?

? 2 ? 3 2 (sin ? ? cos ? ) ? (? sin ? ? cos ? ) ? ? , 2 ? 2 ? 2
3 6 , cos ? ? , 2 4

∴ 6 cos ? ?

又 ? ? ? 0,

? ?

??

10 2 , ? ,∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? 4 2?

∴f?

30 ?3 ? 。 ? ? ? ? ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 4 ?4 ?

17.解: (1)n1=7,n2=2,f1=0.28,f2=0.08。 (2)样本频率分布直方图如图所示。

(3)根据样本频率分布直方图,得每人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为 0.2, 设所取的 4 人中,日加工零件数落在区间(30,35]的人数为ξ , 则ξ ~B(4,0.2) ,P(ξ ≥1)=1―P(ξ =0)=1―(1―0.2)4=1―0.4096=0.5904。 所以 4 人中,至少有 1 人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率为 0.5904。 18.解: (1)证明:∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥AD, 又 CD⊥AD,PD∩CD=D,

?5?

∴AD⊥平面 PCD,∴AD⊥PC, 又 AF⊥PC,AF∩AD=A, ∴PC⊥平面 ADF,即 CF⊥平面 ADF。 (2)解法一:设 AB=1,则 Rt△PDC 中,CD=1, ∵∠DPC=30°,∴PC=2, PD ? 3 ,由(1)知 CF⊥DF, ∴ DF ?

1 3 ,∴ CF ? ,又 FE∥CD, 2 2



DE CF 1 3 3 3 ? ? ,∴ DE ? ,同理 EF ? CD ? , PD PC 4 4 4 4

如图所示,以 D 为原点,建立空间直角坐标系, 则 A(0,0,1) ,E?

? 3 , ? 4 0 ?

? ? 3 3 ? ,F? 。 ? ? ? 4 , 4 ,0? ? , P( 3,0,0) ,C(0,1,0) ? ? ?

设 m=(x,y,z)是平面 AEF 的法向量,

? ? 3 ? , 0, ? 1 ? AE ? ? ? ? 4 ? ? ?m ? AE ? ? ?, 则? ,又 ? ? ? ? 3 ? ?m ? EF 0, , 0 ? ? EF ? ? ? 4 ? ?

? m ? AE ? ? ? ∴? ?m ? EF ? ? ?

3 x?z ?0 4 , 3 y?0 4

令 x=4,得 z ? 3 ,故 m ? (4,0, 3) , 由(1)知平面 ADF 的一个法向量为 PC ? (? 3,1,0) , 设二面角 D—AF—E 的平面角为 ? ,可知 ? 为锐角,

cos? ?| cos?m, PC? |?

| m ? PC | 4 3 2 57 , ? ? 19 | m | ? | PC | 19 ? 2
2 57 。 19

故二面角 D—AF—E 的余弦值为 解法二:设 AB=1, ∵CF⊥平面 ADF,∴CF⊥DF。 ∴在△CFD 中, DF ?

3 , 2

∵CD⊥AD,CD⊥PD,∴CD⊥平面 ADE。 又∵EF∥CD,∴EF⊥平面 ADE。 ∴EF⊥AE,

?6?

∴在△DEF 中, DE ?

3 19 3 , EF ? , AE ? , 4 4 4

在△ADE 中, AE ? 由 VA? DEF ? 解得 hE ? ADF

19 7 ,在△ADF 中, AF ? 。 4 2

1 1 ? S?ADE ? EF ? ? S ?ADF ? hE ? ADF , 3 3 3 ? , 8

设△AEF 的边 AF 上的高为 h, 由 S ?AEF ? 解得 h ?

1 1 ? EF ? AE ? ? AF ? h , 2 2

3 133 , ? 4 14

设二面角 D—AF—E 的平面角为 ? 。 则 sin ? ?

hE ? ADF 3 4 14 133 , ? ? ? ? h 8 3 133 19
2 57 。 19

∴ cos ? ?

? S1 ? a1 ? 2a2 ? 3 ? 4 ? 19.解: (1)依题有 ? S 2 ? a1 ? a2 ? 4a3 ? 12 ? 8 , ? S ? a ? a ? a ? 15 1 2 3 ? 3
解得 a1=3,a2=5,a3=7。 (2)∵Sn=2na+1―3n2―4n, ① ∴当 n≥2 时,Sn―1=2(n―1)an―3(n―1)2―4(n-1)。 ①―②并整理理得 an ?1 ?



(2n ? 1)an ? 6n ? 1 。 2n

由(1)猜想 an=2n+1,下面用数学归纳法证明。 当 n=1 时,a1=2+1=3,命题成立; 假设当 n=k 时,ak=2k+1 命题成立。 则当 n=k+1 时, ak ?1 ?

(2k ? 1)ak ? 6k ? 1 (2k ? 1)(2k ? 1) ? 6k ? 1 ? =2k+3=2(k+1)+1, 2k 2k

即当 n=k+1 时,结论成立。 综上, ? n∈N*,an=2n+1。 20.解: (1)由题意知 c ? 5 , e ? ∴a=3,b2=a2-c2=4, 故椭圆 C 的标准方程为

c 5 ? , a 3

x2 y 2 ? ? 1。 9 4

?7?

(2)设两切为 l1,l2, ①当 l1⊥x 轴或 l1∥x 轴时,l2∥x 轴或 l2⊥x 轴,可知 P(±3,±2) 。 ②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时,x0≠±3,设 l1 的斜率为 k,且 k≠0, 则 l2 的斜率为 ?

1 x2 y 2 ? ? 1 联立, ,l1 的方程为 y―y0=k(x―x0),与 k 9 4

整理得(9k2+4)x2+18(y0―kx0)kx+9(y0―kx0)2―36=0, ∵直线 l1 与椭圆相切,∴Δ =0,即 9(y0―kx0)2k2―(9k2+4)?[(y0―kx0)2―4]=0,
2 2 ∴ ( x0 ? 9)k 2 ? 2x0 y0k ? y0 ?4 ? 0, 2 2 ∴k 是方程的 ( x0 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y0 ? 4 ? 0 的一个根,

同理, ? ∴ k ?? ?

1 2 2 是方程 ( x0 ? 9) x2 ? 2x0 y0 x ? y0 ? 4 ? 0 的另一个根, k

2 ? 1 ? y0 ? 4 2 2 ,整理得 x0 ? ? y0 ? 13 ,其中 x0≠±3, ? 2 ? k ? x0 ? 9

∴点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13(x≠±3) 。 检验 P(±3,±2)满足上式。 综上,点 P 的轨迹方程为 x2+y2=13。 21.解: (1)由题意得(x2+2x+k)+2(x2+2x+k)-3>0, ∴[(x2+2x+k)+3]?[(x2+2x+k)-1]>0, ∴x2+2x+k<-3 或 x2+2x+k>1, ∴(x+1)2<―2―k(―2―k>0)或(x+1)2>2―k(2―l)>0, ∴ | x ? 1|? ?2 ? k 或 | x ? 1|? 2 ? k , ∴ ?1 ? ?2 ? k ? x ? ?1 ? ?2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k 或 x ? ?1 ? 2 ? k , ∴函数 f ( x ) 的定义域 D 为

(??, ?1 ? 2 ? k ) (?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2 ? k ) (?1 ? 2 ? k , ??) 。
(2) f '( x) ? ?

2( x 2 ? 2 x ? k )(2 x ? 2) ? 2(2 x ? 2) 2[ ( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3]3


?

( x 2 ? 2 x ? k ? 1)(2 x ? 2) [ ( x 2 ? 2 x ? k ) 2 ? 2( x 2 ? 2 x ? k ) ? 3]3

2 由 f '( x) ? 0 得 ( x ? 2x ? k ? 1)(2 x ? 2) ? 0 ,即 ( x ? 1 ? ?k )( x ? 1 ? ?k )( x ? 1) ? 0 ,

∴ x ? ?1 ? ?k 或 ?1 ? x ? ?1 ? ?k ,结合定义域知 x ? ?1 ? 2 ? k 或 ?1 ? x ? ?1 ? ?2 ? k , 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (??, ?1 ? 2 ? k ) , (?1, ?1 ? ?2 ? k ) , 同理递减区间为 (?1 ? ?2 ? k , ?1) , (?1 ? 2 ? k , ??) 。

?8?

(3)由 f ( x) ? f (1) 得 ( x2 ? 2x ? k )2 ? 2( x2 ? 2x ? k ) ? 3 ? (3 ? k )2 ? 2(3 ? k ) ? 3 , ∴ [( x2 ? 2 x ? k )2 ? (3 ? k )2 ] ? 2[( x2 ? 2 x ? k ) ? (3 ? k )] ? 0 , ∴ ( x2 ? 2 x ? 2k ? 5) ? ( x2 ? 2 x ? 3) ? 0 , ∴ ( x ? 1 ? ?2k ? 4)( x ? 1 ? ?2k ? 4) ? ( x ? 3)( x ?1) ? 0 , ∴ x ? ?1 ? ?2k ? 4 或 x ? ?1 ? ?2k ? 4 或 x=-3 或 x=1, ∵k<-6,∴ x ? (?1, ?1 ? ?2 ? k ) , ?3 ? (?1 ? ?2 ? k , ?1) ,

?1 ? ?2k ? 4 ? ?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2k ? 4 ? ?1 ? 2 ? k ,
结合函数 f ( x ) 的单调性知 f ( x) ? f (1) 的解集为

(?1 ? ?2k ? 4, ?1 ? 2 ? k ) (?1 ? ?2 ? k , ?3) (1, ?1 ? ?2 ? k ) (?1 ? 2 ? k , ?1 ? ?2k ? 4) 。


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