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2012-2013学年第一学期金昌二中高三数学1-1,1-2测试题(含答案)

2012---2013 学年度第一学期期末选修 1-1,1-2 数学期末试卷
一.选择题(每题 5 分,共 60 分) 1.独立性检验,适用于检查 ______ 变量之间的关系 . A.线性 B.非线性 C.解释与预报 ( ) D.分类

2.已知数列 2 , 5,2 2 , 11,? 则 2 5 是这个数列的 ( ) A.第 6 项 B.第 7 项 C.第 19 项 D.第11 项 3.下面说法正确的有 ( ) (1)演绎推理是由一般到特殊的推理; (2)演绎推理得到的结论一定是正确的; (3)演绎推理一般模式是“三段论”形式; (4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.已知 x 与 y 之间的一组数据: x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则 y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过 ( ) (A) (2,2)点 (B)(1.5,0)点 (C)(1,2)点 (D)(1.5,4)点 5. lim A.
?x ?0

f ( x0 ? 3?x) ? f ( x0 ) ? 1 ,则 f ?( x0 ) 等于天星 教育网(((( ?x
B.0 C.3 D. 1 ( )

1 3

6. 下列求导正确的是 1 1 A.(x ? )' ? 1 ? 2 x x x x C.(3 )′=3 log3x

1 B.(log2 x)' ? x ln 2 2 D.(x cosx)′=-2xsinx

7.函数 y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 12x ? 5 在 [0,3] 上的最大值和最小值分别是( ) A. 5,15 B. 5, ? 4 C. 5, ? 15 D. 5, ? 16 8. 如果复数 z ? a 2 ? a ? 2 ? (a 2 ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为( A.1 B.2 C.-2 D.1 或-2 )

x ?1 2) 在点 (3, 处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( x ?1 1 1 A.2 B. C. ? D. ?2 2 2 x 2 10.曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
9. 设曲线 y ? A.

)

11.复平面上矩形 ABCD 的四个顶点中, A、B、C 所对应的复数分别为 2 ? 3i 、 3 ? 2i 、 ? 2 ? 3i ,则 D 点对应的复数是 ( ) A. ? 2 ? 3i B. ? 3 ? 2i C. 2 ? 3i D. 3 ? 2i 12. 函数 f (x) 的定义域为开区间 ( a, b) ,导函数

e2 2

B. 2e

2

C. e

2

D.

9 2 e 4

f ?(x) 在 ( a, b) 内的图象如图所示,则函数 f (x) 在开区间 ( a, b) 内有极小值点 ( )
A.1 个 C.3 个 B.2 个 D. 4 个
a

y

y ? f ?(x )

b

O

x

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)

1 3 x ? f ?(1) x 2 ? x ? 5 ,则 f ?(1) =_____ 3 a b i ?1 ? 4 ? 2i 的复数 z 为 14. 若定义运算 ? ad ? bc ,则符合条件 c d 2 z 2i , 则 1 ? z ? z 2 ? ? ? z 2006 = 15. 已知复数 z ? 1 ? 1? i
13. 若函数 f ( x) ? 16.观察下列式子:



1 4 1 2 1 3 1 5 ? 2 ? 3 , ? 3 ? 4 , ? 4 ? 5 , ? 5 ? 6 , ? ,归纳得出一 2 3 4 1 1 2 3 4


般规律为 三.解答题(共 70 分)

17(10 分). z ? C ,解方程 z ? z ? 2 zi ? 1 ? 2i 。

18(12 分)在 ?ABC 中,角 A,B,C 成等差数列,边 a,b,c 成等比数列,求证: ?ABC 为等边三 角形。

3 2 19(12 分) .已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?

2 与 x ? 1 时都取得极值 3

(1)求 a , b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间 (2)若对 x ? [?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c2 恒成立,求 c 的取值范围。

20(14 分)已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? (c ? 3a ? 2b) x ? d 的图象如图所示. (I)求 c, d 的值; (II)若函数 f (x) 在 x ? 2 处的切线方程为 3x ? y ? 11 ? 0 ,求函数 f (x) 的解析式; (III)在(II)的条件下,函数 y ? f (x) 与 y ? 求 m 的取值范围.

1 f ?( x) ? 5x ? m 的图象有三个不同的交点, 3

21(10 分)用反证法证明:如果 x ?

1 ,那么 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 . 2

22 (12 分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的 生产能耗 y(吨)标准煤的几组对照数据. x 3 4 5 6 (1)请画出上表数据的散点图; y 2.5 3 4 4.5

^ (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y=bx+a; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归 方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5,参考公式 b ?

?x y
i ?1 10 i

n

i

? nx y
)

?x
i ?1

2 i

? nx

2

参考答案(仅供参考) 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

选项

D

B

C

D

A

B

C

C

D

A

D

A

二.填空题 13.

2 3

14. 2 ? 2i

15. i

16.

n ?1 1 ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? n n

三.解答题: 17. 设 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 (a ? bi)(a ? bi) ? 2i(a ? bi) ? 1 ? 2i , 即 a ? b ? 2b ? 2ai ? 1 ? 2i 。
2 2

由?

?? 2 a ? a ?a ? b ? 2b ? 1
2 2

得?

?a1 ? ?1 ?a 2 ? ?1 或? , ?b1 ? 0 ?b2 ? ?2

? z ? ?1或z ? ?1 ? 2i 。
18.略 19.解: (1) f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c, f ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 由 f (? ) ?
'

2 12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 3 9 3 2 ' 2 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ?1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 2 2 2 ( ? ,1) 1 (??, ? ) ? x (1, ??) 3 3 3 ? ? ? 0 0 f ' ( x)

f ( x)

?

极大值

?

极小值

?

2 ,1) ; 3 2 1 2 2 22 3 ?c (2) f ( x) ? x ? x ? 2 x ? c, x ? [ ?1, 2] ,当 x ? ? 时, f ( ? ) ? 3 2 3 27
所以函数 f ( x ) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 ( ?

2 3

2 为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c , x ?[?1, 2]

恒成立,则只需要 c ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2 。
2

20. .解:函数 f (x) 的导函数为

f ' ( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ? 3a ? 2b
'

…………(2 分)

(I)由图可知 函数 f (x) 的图象过点(0,3) ,且 f (1) ? 0

?d ? 3 ?d ? 3 得 ? ?? ?3a ? 2b ? c ? 3a ? 2b ? 0 ?c ? 0 ' (II)依题意 f (2) ? ?3 且 f (2) ? 5

…………(5 分)

?12a ? 4b ? 3a ? 2b ? ?3 ? ?8a ? 4b ? 6a ? 4b ? 3 ? 5
解得 a ? 1, b ? ?6 所以 f ( x) ? x 3 ? 6x 2 ? 9x ? 3
2 3 2 3 2

(III) f ?( x) ? 3x ? 12x ? 9 .可转化为: x ? 6x ? 9x ? 3 ? x ? 4x ? 3 ? 5x ? m 有
2

三个不等实根,即: g ?x ? ? x ? 7 x ? 8x ? m 与 x 轴有三个交点;

?

…………(10 分)

?

g ??x? ? 3x 2 ? 14x ? 8 ? ?3x ? 2??x ? 4?,

x
g ?? x ?
g ?x ?

2? ? ? ? ?, ? 3? ?

2 3
0 极大 值

?2 ? 4 ? ,? ?3 ?


4

?4, ?? ?
+ 增

+ 增

0 极小 值

? 2 ? 68 g? ? ? ? m, g ?4? ? ?16 ? m . …………(12 分) ? 3 ? 27 ? 2 ? 68 ? m ? 0且g ?4? ? ?16 ? m ? 0 时,有三个交点, 当且仅当 g ? ? ? ? 3 ? 27 68 故而, ? 16 ? m ? 为所求. …………(14 分) 27
21. 证明:假设 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,则 x ? ?1 ? 2

1 1 ,下面证明 ?1 ? 2 ? . 2 2 1 3 要证明: ?1 ? 2 ? 成立,只需证: 2 ? 成立, 2 2 9 只需证: 2 ? 成立, 4 1 上式显然成立,故有 ?1 ? 2 ? 成立. ???????????8 分 2 1 1 综上, x ? ?1 ? 2 ? ,与已知条件 x ? 矛盾. 2 2 因此, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 . ???????????10 分
容易看出 ?1 ? 2 ? 22.

解:(1)由题设所给数据,可得散点图如右图:

(2)由对照数据, 计算

得: =86,

x= 已知

=4.5, y = =66.5,

=3.5,

所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为:

b=

=

=0.7,a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35.

^ 因此,所求的线性回归方程为y=0.7x+0.35. (3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为: 90-(0.7×100+0.35)=19.65(吨)标准煤.


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